2020年中考数学基础题型提分讲练 专题09 圆（含解析）

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1、专题09 圆 必考点1 圆的有关性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大

2、于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 圆周角定理：

3、 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所以添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 【典例1】（2019·山东中考真题）如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A．60° B．50° C．40° D．20° 【答案】B 【解析】 解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点

4、睛】 本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握. 【举一反三】 1. （2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）. A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【解析】 解：连接.， ∵.分别与相切于.两点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 2．（2019·山东中考真题）如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（　　）

5、 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵是的直径，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，选项A成立； ∴，选项B成立； ∴，选项D成立； ∵和中，没有相等的边， ∴与不全等，选项C不成立， 故选C． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理． 3．（2019·吉林中考真题）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为（ ） A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【解析】 解：∵∠ACB=50°， ∴∠AOB

6、=2∠ACB=100°， ∵∠AOP=55°， ∴∠POB=45°， 故选：B． 【点睛】 本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍． 必考点2 直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 直线和圆相交d＜r；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r；直线和圆相交d＜r

7、 3、切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 【典例2】（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】 连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC =, ∴PA= tan6

8、0°×1=. 故选B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键. 【举一反三】 1.（2019·河南中考模拟）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为(　 　) A．65° B．130° C．50° D．100° 【答案】C 【解析】 ∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C． 考点：切线的性质． 2．（2019·江

9、苏中考真题）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 切线性质得到 故选D 【点睛】 本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键 3．（2019·广西中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最

10、短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 【点睛】 此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 必考点3 正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n＞3）等分： （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正

11、多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同

12、的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 【典例3】（2019·浙江中考真题）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵五边形为正五边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】 本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键． 【举一反三】 1．（2019·四川中考模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（　　） A．π B．π C．2π D．π 【答案】A 【解析】 连接

13、OA、OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB=BC=DC=AD， ∴， ∴∠AOB=×360°=90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2， 解得：AO=2， ∴的长为=π， 故选A． 【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 2．（2019·贵州中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【解析】 ∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD， ∴∠CBD＝（1

14、80°﹣120°）＝30°， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键． 3．（2019·山东初三期中）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为圆内接正三角形的面积为， 所以圆的半径为， 所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝×＝1， 故选：B． 【点睛】 本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 必考点4 圆中的计算 圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：；

15、2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为： 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 3、圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的底面周长等于扇形弧长，计算侧面积就是计算扇形面价． 半径是母

16、线长R，圆锥侧面积为S侧面= 【典例4】（2019·河北中考模拟）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ） A．120° B．180° C．240° D．300° 【答案】B 【解析】 设母线长为R，底面半径为r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的2倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为n，有=2πr=πR， ∴n=180°． 故选B． 考点：圆锥的计算 【举一反三】 1．（2019·浙江中考真题）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（

17、） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：该扇形的弧长＝. 故选C． 【点睛】 本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 2．（2019·浙江中考真题）如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接OB，OC． ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°， ∵BC=2， ∴OB=OC=2， ∴的长为=π， 故选A． 【点睛】 本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌

18、握基本知识 3．（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 过作于， ， ， ， 弧的长， 设圆锥的底面圆的半径为，则，解得． 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 1．（2010·山东中考真题）如图，是的弦，半径于点且则的长为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D

19、 【解析】 连接OA， ∵OC⊥AB，AB=6则AD=3 且OA2=OD2+AD2， ∴OA2=16+9， ∴OA =OC=5cm． ∴DC =OC-OD=1 cm 故选D． 2．（2019·湖北中考真题）如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ． 故选A． 【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3．（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，

20、若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ） A．20° B．35° C．40° D．55° 【答案】B 【解析】 连接FB， 则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， ∴∠FEB＝∠FOB=70°， ∵FO＝BO， ∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF＝EB， ∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 4．

21、（2019·甘肃中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　） A．54° B．64° C．27° D．37° 【答案】C 【解析】 解：∵∠AOC＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°， ∵∠CDB＝∠BOC＝27° 故选：C． 【点睛】 此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（2019·湖北中考真题）如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结

22、论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】 解：连结． 为的直径，为的切线， ， ， ，． 又， ， ． 在和中，， ， ． 又点在上， 是的切线；故①正确， ， ， ， 垂直平分， 即，故②正确； 为的直径，为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键． 6．（2019

23、·广东中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】C 【解析】 解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外， 所以，过点P可作⊙O的切线有2条； 故选C. 【点睛】 本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键. 7．（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( ) A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD 【答

24、案】D 【解析】 ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，所以A成立； ∠BPD＝∠APD，所以B成立； ∴AB⊥PD，所以C成立； ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴AB⊥PD，且AC＝BC， 只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立， 故选D． 【点睛】 本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 8．（2019·江苏初三期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣6 B．π C

25、．π﹣3 D．+π 【答案】B 【解析】 解：∵AB=5，AC=3，BC=4， ∴△ABC为直角三角形， 由题意得，△AED的面积=△ABC的面积， 由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积， ∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积=， 故选B． 【点睛】 考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键． 9．（2019·江苏中考真题）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______． 【答案】6 【解析】 解：连接OB,OC

26、 ∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形 ∴OB＝BC＝6， 故答案为6． 【点睛】 本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质． 10．（2018·湖北中考真题）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=_____度． 【答案】60 【解析】 如图，连接OA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠C=20°， ∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=60°， ∵OA=OB， ∴∠B=∠OAB=60°， 故答案为60． 【点睛】本题考查了圆的性质的应用，熟练掌握圆的半径相等、等腰三角形的性

27、质是解题的关键． 11．（2019·山东中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______． 【答案】4 【解析】 解：∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=3， ∵OB=AB=5， ∴在Rt△OBD中，OD==4． 故答案为4． 【点睛】 本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键． 12．（2019·四川中考真题）如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是___． 【答案】． 【解析】 过O作于M

28、，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值， ∵，，⊙O的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴则点P到AC距离的最大值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（2015·河南中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 . 【答案】. 【解析】 连接OE、AE， ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO=30

29、°，∠EOC=60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S扇形AOE= ∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE） = = =． 14．（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为_______； 【答案】100° 【解析】 ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠DCE＝∠A＝100°， 故答案为100° 【点睛】 此题考查圆内接四边形的性质，难度不大 15．（2019·江苏中考真题）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C

30、＝_________°． 【答案】219 【解析】 解：连接AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∵∠P＝102°， ∴∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°， ∵∠DAB＋∠C＝180°， ∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°， 故答案为：219°． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 16．（2019·四川中考真题）如图，在中，．的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线(点为切点)，则线段长的最小值为______． 【答案】 【解析】 连接． ∵是的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段OP最短， ∴PQ的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：． 【点睛】 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键．