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1、
提分专练(四) 二次函数小综合
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
|类型2| 二次函数与直线的综合
2.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的对称轴
2、;
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
|类型3| 二次函数与三角形的综合
3.[2018·黄冈] 已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.
(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.
4.[2017·齐齐哈尔] 如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析
3、式;
(2)直接写出点C和点D的坐标;
(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.
注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-,.
图T4-1
|类型4| 二次函数与平行四边形的综合
5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.
(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的
4、垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.
图T4-2
|类型5| 二次函数与相似三角形的综合
6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.
图T4-3
参考答案
1.解:(1)证明:证法一:∵(
5、-2m)2-4(m2+3)=-12<0,
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.
又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,
∴该函数的图象在x轴的上方.
∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向
6、下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,
∴A(-1,0),B(0,4).
∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,
∴C(0+5,4),即C(5,4).
(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,
∴a-b-3a=0.∴b=-2a.
∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.
(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).
①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.
②若a<0
7、,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.
③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:
综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.
3.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.
(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=
8、1+.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.
所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|xA|+·OC·|xB|=·OC·|xA-xB|=×1×2=.
4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)∵x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).
∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴点D的坐标为(1,4).
(3)设点P(x,y),其中x>0,y>0,
∵S△COE=×3
9、×1=,S△ABP=×4y=2y,
S△ABP=4S△COE,
∴2y=4×,∴y=3.
∴-x2+2x+3=3,
解得x=2(x=0舍去).
∴点P的坐标为(2,3).
5.解:(1)B(4,0),C(0,3).
抛物线的解析式为y=-x2+x+3.
顶点D的坐标为1,.
(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,
∴DE=-=.
∵点P为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P的坐标为m,-m2+m+3,
则点F的坐标为m,-m+3.
若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,
∴-m2+m+3--m+3=,
解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).
∴当点P的
10、坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.
6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),
将△ABO经过旋转、平移等变化得到△BCD,
∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.
∴C(1,1).
设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
则有解得:a=-,b=,c=2.
∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.
(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.
∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,
∴=或=3,
过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.
∴△BEF∽△BAO,∴==.
∴当=时,==,
∴EF=,BF=,∴E-,.
设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+,
∴-x2+x+2=-x+,
∴x1=-,x2=1(舍去),∴P1-,.
当=3时,同理可得P2-,.
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云南省2019年中考数学总复习 提分专练（四）二次函数小综合练习
