高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练 选考部分13 Word版含解析

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1、 选考部分(13) 1．[2019·湖北宜昌调考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝1. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)若曲线C1上恰好存在三个不同的点到曲线C2的距离相等，求这个点的极坐标． 解析：(1)由消去参数α，得x2＋y2＝4， 即曲线C1的普通方程为x2＋y2＝4. 由ρsin＝1得ρ＝1， 故曲线C2的直角坐标方程为x－y＋2＝0. (2)由(1)知，曲线C1为圆，设圆的半径为r， ∵圆心O到曲线C2：x－y＋

2、2＝0的距离d＝＝1＝r， ∴直接x－y＋4＝0与曲线C1的切点A以及直线x－y＝0与圆的两个交点B，C即为所求． 连接OA，则OA⊥BC，则kOA＝－，直线OA的倾斜角为， 即A点的极角为，所以B点的极角为－＝，C点的极角为＋＝， 故所求点的极坐标分别为，，. 2．[2019·益阳市，湘潭市高三9月调研考试]在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.直线l与曲线C交于A，B两点． (1)求直线l的直角坐标方程； (2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)

3、由ρcos＝得 ρcosθcos－ρsinθsin＝， 又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程为 x－y－1＝0. (2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2＝4， ∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)， 将其代入x2＋4y2＝4得7t2＋4t－12＝0， ∴t1·t2＝－， 故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝. 3．[2019·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(1,0)且倾斜角为，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4s

4、in. (1)求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求＋的值． 解析：(1)由题意知，直线l的参数方程为(t为参数)． ∵ρ＝4sin(θ＋)＝2sinθ＋2cosθ， ∴ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ. ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝2y＋2x， ∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝4. (2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－)2＝4， 得t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－1<0， ∴＋＝＋＝＝＝＝＝. 4．[2019·陕西榆林一模

5、]在平面直角坐标系xOy，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是曲线C1上的动点，将线段OM绕O点按顺时针方向旋转90°得到线段ON，设点N的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)若射线θ＝(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点(除极点外)，且T(4,0)，求△TAB的面积． 解析：(1)由题意得，曲线C1的直角坐标方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0， 故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝10ρsin θ，即ρ＝10sin θ. 设点N(ρ，θ)(ρ≠0)，则由已知得M，将代入C1的极坐标

6、方程，得ρ＝10sin， 则曲线C2的极坐标方程为ρ＝10cos θ(ρ≠0)． (2)将θ＝代入C1，C2的极坐标方程，可得A，B， 又T(4,0)，所以S△TOA＝|OA|·|OT|sin＝15， S△TOB＝|OB|·|OT|sin＝5， 所以S△TAB＝S△TOA－S△TOB＝15－5. 5．[2019·黑龙江牡丹江模拟，数学抽象]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝. (1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程； (2)已知P是曲线C2上一点，求点P到曲线C1

7、的最小距离． 解析：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，得曲线C1的普通方程为x－y＋6＝0. 由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，则3x2＋3y2－2x2＝3. 所以曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1. (2)设P(cos θ，sin θ)，则点P到曲线C1的距离d＝＝， 当cos＝－1时，d取得最小值，且dmin＝2. 故点P到曲线C1的最小距离为2. 6．[2019·安徽江淮六校联考]在平面直角坐标系xOy中，先将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的纵坐标缩短为原来的(横坐标不变)，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极

8、轴，建立极坐标系，C1的极坐标方程为ρ＝4cos α. (1)求曲线C2的参数方程； (2)已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标． 解析：(1)由ρ＝4cos α得ρ2＝4ρcos α， 将代入上式，整理得曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. 设曲线C1上变换前的点的坐标为(x′，y′)，变换后的点的坐标为(x，y)， 由题可知代入曲线C1的直角坐标方程， 整理得曲线C2的方程为＋y2＝1， ∴曲线C2的参数方程为(θ为参数)． (2)设四边形MNPQ的周长为l，点M(2cos θ，sin θ)， 则l＝8cos θ＋4sin θ＝4＝4sin(θ＋φ)， 且cos φ＝，sin φ＝， ∵0<θ<，∴φ<θ＋φ<＋φ， ∴sin≤sin(θ＋φ)≤1， ∴lmax＝4，当且仅当θ＋φ＝时，l取最大值，此时θ＝－φ， 2cos θ＝2sin φ＝，sin θ＝cos φ＝，故此时M.