高考文科数学二轮分层特训卷：主观题专练 解析几何10 Word版含解析

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1、 解析几何(10) 1．[2019·重庆西南大学附中检测]已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若直线l过点(－2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程； (2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程． 解析：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－2， 易求得直线l与圆C的交点为A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 则圆心C到直线l的

2、距离d＝＝1， 解得k＝， 所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC， 则CM⊥PM， 所以△PMC为直角三角形， 所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2. 设P(x，y)，由(1)知C(－1,2)， |MC|＝. 因为|PM|＝|PO|， 所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2， 化简得点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0. 2．[2019·贵州省适应性考试]已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°

3、，△MF1F2的面积为. (1)求椭圆G的方程； (2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值． 解析：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a， 于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a. 所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝， 解得a＝2，b＝1. 所以椭圆G的方程为＋y2＝1. (2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)． 由于直线l与圆O相切， 则圆心O到l的距离d＝＝1， 即k2t2＝k2＋1，　① 联立化简得(

4、1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝. 设Q(x0，y0)，有解得x0＝. 由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0. 因此＝t＋， 化简得k2＝， 将其代入①式，可得t＝±. 3．[2019·安徽五校联盟质检]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|，且cos∠F1PF2＝. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值

5、范围． 解析：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a， ∴r1＝a，r2＝a. 在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，得a＝2，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)联立方程，得消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48(3＋4k2－m2)>0，　① 设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， ∵|AQ|＝|BQ|，∴AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，∴k

6、≠0，直线QM的斜率存在，∴k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，　② 把②代入①得3＋4k2>2，整理得16k4＋8k2－3>0，即(4k2－1)(4k2＋3)>0，得k>或k<－， 故k的取值范围为∪. 4．[2019·山东济南质量评估]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F，且该椭圆过点(1，－)． (1)求椭圆C的方程； (2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形． 解析：(1)由题意得＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，所以b2＝1， a2＝4，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意可得直线l的斜率存在，

7、 设直线l的方程为y＝kx＋m，联立得 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0得m2＝4k2＋1>0. 设A(x1，y1)，则x1＝＝＝－，y1＝kx1＋m＝＋m＝，即A. 易得B，F(，0)， 则＝，＝， ·＝＋＝－－1＋＋1＝0， 所以⊥，即△FAB为直角三角形． 5．[2019·河南郑州一测]设M为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2＝ ，动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满

8、足|＋|＝|－|，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解析：(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2＝ ，∴2(x0－x，－y)＝(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4， 将x0＝x，y0＝y代入得＋＝1， 即轨迹E的方程为＋＝1. (2)由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0， 即3＋4k2－m2>0， ∴x

9、1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝， ∵|＋|＝|－|，∴⊥，即·＝0， 即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， ∴＋2×＋4＋＝0， ∴7m2－16mk＋4k2＝0， 解得m＝2k或m＝k，均满足3＋4k2－m2>0. 当m＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾； 当m＝k时，l的方程为y＝kx＋k＝k，直线恒过点. ∴直线l过定点，定点坐标为. 6．[2019·安徽合肥一检]设椭圆C：＋＝1(a>b>0)

10、的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程． (2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 解析：(1)由椭圆的离心率为知，b＝c，a＝b，则椭圆C的方程为＋＝1. 易得A(，0)，则由题意知点(，)在椭圆C上，所以＋＝1， 解得所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝，由(1)知，M(，)，N(，－)，＝(，)，＝(，－)，·＝0，所以OM⊥ON. 当过点P且

11、与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则＝，即m2＝2(k2＋1)． 联立直线和椭圆的方程，得消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 则 又＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， 所以·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)·＋km·＋m2 ＝ ＝ ＝ ＝0， 所以OM⊥ON. 综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，都有OM⊥ON. 在Rt△OMN中，易知△OMP～△NOP，所以|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．