CA6140机床尾座设计

资源目录里展示的全都有，所见即所得。下载后全都有,请放心下载。原稿可自行编辑修改=【QQ：401339828 或11970985 有疑问可加】 流体动压轴承-挠性转子系统的非线性动态特性 吕延军 虞烈 刘恒 (西安交通大学润滑理论及轴承研究所 中国西安 710049) 摘要：分析了带液压轴承座的挠性转子系统的非线性动力性。轴通过使用能考虑物体的惯性和剪切力影响的有限元法仿效出来。根据非线性流体动压轴承-转子系统，一种被修改的带有自由接口的模态综合技术是被用来降低柔性转子系统的模型的自由度。根据油膜的物理特性，改变约束的方法是通过引入持续改变的每一阶段的动态的集成与重复的雷诺兹方程式。采用等周图形学的有限元方法解决雷诺兹边值的液体润滑问题而没有增加计算。非线性油膜力及其Jacobians矩阵的数值解必须要具有协调一致的精度。周期通过使用Poincare-Newton-Floquet（PNF）方法而获得，一种方法，把轨迹预测追踪的延续算法和PNF方法结合起来提出计算周期运动的分岔点是由于系统参数的改变而受到影响。局部的稳定和周期运动的分岔现象是通过Floquet 理论获得的。转子系统的混乱运转需进行能量谱的检查。许多的例子显示这项研究能节省计算量而且具有很好的精密度。 关键词：非线性动力学 ;轴承转子系统 ;稳定性 ;分岔 ;混乱 ;有限元方法 0 前言 旋转机已经应用于能量站、飞行器、机床夹具、汽车、以及家庭应用等各个领域。轴承转子系统，就像一种转子机器一样，是一种典型非线性机械系统。这种非线性分析方法已应用于非线性的轴承转子系统上就如同线性分析方法不能应用于分析的那样。很多种方法成为重要的合适于分析的多自由度轴承转子系统的稳定性和分岔问题，因为此种方法不能提高工作效率。 目前世界上有许多研究者致力于非线性动态转子轴承领域的研究。不幸的是他们塑造的转子轴承有一些不利条件被直接利用于指导那些力学产品的设计。因为非线性分析的复杂性，轴承转子系统的非线性模型通常被当作有很少自由度的和分析形式上轴承力的非线性模型。例如，一个匀称的硬的转子[1，2]或者Jefrcott转子模型[3，7]，多项式模型[8，9]，以及或长或短的轴承模型，都不能准确地描述实际的系统。在这些研究过程中的轴承的非线性的油膜力的分析形式而轴承转子系统不能在实践中得以分析。然而，轴承转子在本质上是非线性的，转子支撑的非线性运动是由轴承引起的。非线性的油膜力按照转子的几个交点运动。轴承转子系统的局部非线性和组分是连接在一起的。因此，来自 于非线性的影响是全球的。 Ref.[10]描述一个局部非线性的高位动力系统被运用于模态削减方法上，基于模态的固定接口的综合技术，在Ref.[11]中提出了一种为解决局部非线性的动力系统的周期性和稳定性的方法。在这种理论上，轴被描述为多自由度有限元素使用了2个结点Timoshenko 梁轴有限元模型。根据非线性的转子系统，一种被修改过的带自由接口的模态综合技术是被用来降低柔性转子系统的自由度的有限元模型。在减少以后，系统仍旧保留它的非线性和保存系统的非线性分析力。根据改变约束方法的八个交点的等周图形学的有限元方法是用于解决液体润滑发生在雷诺兹边界的椭圆不等式。一个扰动等式能够得到直接的有限元等式。因此，非线性油膜力及其Jacobians矩阵的数值解必须要具有协调一致的精度。这样不能引起轴的摩擦和应力集中。采用PNF方法，Floquet 理论和轨迹预测追踪的延续算法研究了不平衡响应，T周期运动和随轴承系统设计参数的改变的分岔现象。轴承转子系统的这种混乱状态是从能量谱中调查出来的。 1 动力系统方程式 图1所示的转子-轴承系统是一个典型的非线性动力系统。该系统由线性部分(柔性转轴)和局部非线性部分(径向轴承)组成。图2所示的2节点具有8自由度的Timoshenko梁轴单元模型，由于其可以计及转动惯量与剪切变形的影响，故更接近实际运行的转子系统。因此采用有限元方法建立如下形式的柔性转轴横向振动方程 （1） 式中分别为转轴的质量矩阵、陀螺矩阵、刚度矩阵、周期为 的外力向量(包括重力和不平衡力)和轴承施加于转轴的非线性力向量。对于具有P个节点的转轴，节点位移向量可表示为 式中 分别为第j个节点沿水平和铅垂方向的横向位移与弯曲转角。非线性力向量可表示为 式中Fxj，Fyj分别为轴承作用在轴第j个节点上的水平和铅锤方向的油膜力。由于轴承的非线性油膜力孤立地作用于转子的个别节点上，因此对具有m个轴承支承的转子系统，轴承力 具有如下局部性质 式中xsb∈R4m, Fsb(xsb,xsb)∈R4m可被写成： 图1 转子-轴承系统示意图 图2 转轴有限单元模型 为了简化符号，将式(1)中各元素重新排序且表示为如下分块形式 由于需要花很多的时间计算多自由度的转子系统，在维持系统响应准确的情况下，减少系统的自由度是非常重要的。由于系统是局部非线性的，仅非线性自由度受控于非线性方程，而线性自由度又依赖于非线性自由度，因此可对线性自由度进行减缩，以使该系统降阶。为了避免缩减自由度时，坐标转换给系统的非线性因素带来的数值误差，仅将线性自由度转换为模态坐标，而非线性自由度和决定系统动力特性的非线性力仍保留在物理空间中，使降阶后的系统仍具有局部非线性特征。 为了降低线性组合的自由度，将XS表示为列的线性组合 式中 因此，矩阵的保留弹性特征模态的列是ωk∈(0，ωcut)的无阻尼特征值问题(ks-ω2jms)ψj=0(j=1,…，nk)的质量正则解。矩阵的剩余柔性模态的列可表示为 其中对角矩阵是角频率小于或等于时的谱矩阵。因此 从（11）式开始，可被写成： 这样就有如下整个变换 在以上等式中，矩阵变换T=T1T2T2，运用式(13)，可得缩减的系统方程 通过缩减把n(n=nb +nc)阶方程组减缩为s(s=nb +nc)阶方程组，由式(11)- (I4)，可见转轴的不平衡力及非线性项的影响全部保留在缩减的方程组(14)中。考虑到圆盘的不平衡力的影响，可得动力系统的运动方程 有 式中分md，Gd, Kd, Fdex别为圆盘的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、不平衡力向量。 当引入状态变量后，其相应的系统方程在状态空间中为 2.非线性力的计算及其流体动压轴承的Jacobians 矩阵 对于实际轴承，不具有解析形式的油膜力，而在计算系统非线性响应时，每一时刻动力积分均需要非线性力及其Jacobians矩阵的求解。非线性油膜力及Jacobians矩阵协调一致的精度不仅影响到求周期解的PNF是否收敛，而且对周期解的稳定性及分岔的分析有着极其重要的影响。同时任一时刻油膜力的Jacobians矩阵的准确性又影响着判断周期解稳定性的Floquet乘法的求解。基于以上问题，运用有限元法求解具有变分不等式形式的流体润滑Reynolds边值条件(油膜区域下游边值条件)问题。将油膜力视为某时刻轴颈中心位移及速度的函数， 由此可以得到一组微分方程，根据该方程组的特点，在求出油膜力的同时，可很快求得Jacobians矩阵。 对于有限长轴承流体润滑的Reynolds边值问题: 式中 — —油膜压力函数(表压) — — 润滑油动力粘度 ——轴承长径比的倒数 — — 油膜厚度 — — 从Y轴负方向到油膜位置的角度 — — 偏位角 — — 偏位线与轴承中心连线至油膜位置的角度，如图3和图4所示 式(18)可等价于如下离散的椭圆型变分不等式[18] 式中Φ(p,q)= 是H(Ω)× H(Ω) 上的强制、对称，椭圆双线性泛函,ψ(q)=,k={p∈H(Ω)，p≥0 in Ω}是线性泛函，H(Ω) )是Sobolev空间。是唯一的一层油，是的微分。是偏位线与轴承中心连线至油膜完整区和油膜破裂区交界线（此交界线是随位移及速度扰动变化的曲线)的夹角。由以上等式，油膜厚度h和变角可写成如下方程式： 图3 单块瓦计算坐标 图4 椭圆轴承及其计算坐标 由于非线性油膜力是轴颈中心动态位置的函数，所以油膜力可被写成如下等式： 油膜力Fx ,Fy过对动态压力分布分别积分后得到: 运用8节点等参有限元法可求出油膜区域各节点的压力分布Pi。压力函数P可表示为： 式中 Li——有限元插值函数，把式(23)代入不等式(19)可得如下n阶离散不等 式方程： 式中 为了求解等式（24），组成矩阵和矢量是必要的。把有限插值函数Li，Lj代入，得。然后等式（24）等价为约束迭代方程 式中矩阵 和矢量分别为满足椭圆边值问题第一类及第二类约束条件的稀疏、带状、对称矩阵和列矢量。解出P后，将式(23)代入式(22)可得： 式中 均为常数列矢量。油膜力， 相对于x ，y 和 ，的Jacobians矩阵可表示为: 式中 将式(25)分别对x，y，，求偏导数可得如下扰动方程 将矩阵(k= x，y， ，)和矢量(x, y， ， )组合在一起可以得到如下等式： 把PK (k=x，Y， ，) 代入式(28),求得油膜力的Jacobians矩阵。由于式(31)与式(27)具有类似的形式，不需要再次求解。所以在求解PK (k=x，Y， ，)时可由式(25)、(27)和式(30)的PK很快得到式(29)，而式(29)与式(25)具有相同的系数矩阵。因为式(29)与式(25)具有相同的系数矩阵，所以这样就使得非线性分析所需要的油膜力和油膜Jacobian矩阵能够同时计算完成。然而,为了保证非线性分析的准确性和可靠性，花费在计算每一步重复动态积分的Jacobians矩阵与油膜力自己本身的重复动态积分差不多。 3.非线性周期响应及其解法 运转着的轴承转子系统总是引起扰动。假定系统外在装载根据周期T可得： 系统的稳定现象，i，e 达到最大之后瞬间就会减弱，这种现象可能是由周期、半周期或是混乱引起的。系统的周期性问题可能在某些时间间隔变得不稳定与系统的参数有关。例如，转子的角速度，轴承的直径与宽度比d/B，距离半径比，凹槽周长与宽度比（位于垫片上的凹槽周长），垫片圆弧，椭圆度，质心偏差 ，轴承的非线性是由不稳定引起的，一般说来，系统的最大响应增加且线性系统的响应频率也将作出响应。在实践中，这将可能导致不利的轴摩擦。实际应用上，最重要的是决定这些不稳定性间隔的设计和导致这些间隔的现象：周期、半周期或混乱。 3.1 PNF 方法 采用PNF(Poincare-Newton—Floquet)方法即求解两点边值问题的打靶法并结合Floquet分岔理论的周期解求解及稳定性分析的方法，在选定的Poinca截面上，给出周期解不动点的初始迭代值Xs(t0)，结合方程（34）通过数字时间综合化方法从一个周期T到另一个周期T间发现的问题，如果能满足如下方程： 当系统控制参数u= 时，用Newton—Raphson迭代方法可求得 。雅可比矩阵: 式中的 J= 可对系统方程式(17) 以(X5(t0),I) 为初始值积分一个Poincare映射周期而得到，其中δS(t0)=I， δS(t0+T)=J，式(35)中F=F(t，u，X )= 。 3.2 周期解预测追踪的延续算法和PNF方法 将延续算法和PNF法相结合的方法称为连续周期方法，即计算整个周期解的分支。当 为某一确定值时，就可以得到。连续周期方法就是通过观察改变u在一周期内的变化。开始从一个已知的，，得到周期后n步的方程式： 然后运用打靶法校正系统参数时的周期解。式中 可由系统方程(17)关于轨迹Xs(t0 +T)和 式中。 4 应用算例及结果 带有圆盘刚度（点D1）和椭圆轴承（点B1和点B2，垫弧为150o，润滑油动力粘度取为0.0287Pa.s，宽度与直径比B/d=0.8）的轴承转子系统的不平衡响应已被许多例子分析了（如图1和图4）。轴（直径为0.45m，长8.4m轴向力为2x1011Pa，剪切力为7.6923x1010Pa，质量密度为7800Kg/m3）等同于引入六个有限元素。因此，系统的有限元素模型有七个点（28个自由度）和非线性轴承的两个支撑。一个支撑的轴元素有四个自由度，椭圆轴承使用B1，B2两个支撑点。在这种情况下，系统的四个自由度直接影响非线性力。因此转子系统是一种典型的非线性动力系统。轴的质量偏心（）和圆盘的质量偏心（）有着相同的转动角。有许多的例子采用了八固有模式方法。模态的影响使分析结果的准确性降低了。由于ψ=O.003， μ=0.028 7 Pa·s， =0.556，B’／B=O，ω=l000 r／min,系统的周期问题分别用八固有模式方法和全固有模式方法解决。在选定的Poinca截面上，给出周期解不动点的初始迭代值Xs(t0)，用PNF方法可求得。Floquet乘子模的最大值为|fmax|=O.938861=-0.06375l5+0.936694j,对应的Floquet指数为Re(fe)=-0.0100407, Im( fe)=0.2608l5,采用模型方法( 八固有模式方法)可减少B1的周期数据为XB1=2.00lx10-4，yB1 =2.128x10-5，φB1 =7.443xl0-4， ψB1=-9.405xl0-7.当Floquet乘子模的最大值为|fmax|=O.938924=-0.O64Ol7+0.936739j, 对应的Floquet指数为Re(fe)=-0.OlO03，Im(fe)=-0.26086,运用原始模型可得B1的周期数据如下xB1=1.998x10-4,yB1=2.116×10-5，φB1=7.460×10-4 ，ψB1 =-9.423×10-7 。下面表格可以显示出不同方法计算出的周期误差。 表 周期计算用PNF方法与不同算法（八固有模式方法或全固有模式方法）的对比 ω=1 000 r／rim，δ=0.556，ψ=O.003，B’／B=0 时间（k） 1 2 3 4 误差（） （减少模型） 误差（） （原始模型） 运用PNF方法速度集中是非常迅速的。当使用八固有模式时，由于ψ=O.003，μ= 0.028 7 Pa·s，6=O．556，B'／B=O．4，0<ω<1 526 r／min（i．e．ω =1 526 r／min，|fmax|=1.0通过使用周期连续解决方法），因此周期是稳定的。当环行值的注意时，在B1，D1点的不平衡响应是一个半周期。此时，ψ=0.003, μ=0.0287 Pa. δ=0.556，B’／B=0.4，ω=1 580 r／min，i．e．选定Poincare截面投影在x-y轴的如图5所示。当ψ=0.003，μ=0.0287 Pa·s，δ=0.556， B’／B=0，ω=1 600 r／min时，中心转子B1和D1点的轨迹是不稳定的如图6所示。当ψ=0.003，μ=0.0287 Pa·s，δ=0.556，B’／B=0，, ω=1 800 r（转子的角速度ω=6Oπ rad／s），B1和D1点的混乱运动轨迹如图7所示。图8表示连续的时间yD1和同步能量谱处于混乱状态。能量谱通常用于低能量级的测量—混乱的一个重要特征。 （a）B1点的轨迹 B1点在Poincare截面的轨迹 图5 当ω=1 580 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0.4时，中心转子在B1点的半周期运动轨迹以及其在Poincare截面投影于x-y 轴的轨迹图 （a）B1点的轨迹 （b）D1点的轨迹 图6 当ω=1 600 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0时，中心转子在B1，D1点的轨迹 （a）B1点的轨迹 （b）D1点的轨迹 图7 当ω=1 800 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0时，中心转子在B1，D1点的混乱运动轨迹 (a) D1在y点的连续时间 （b）D1点在y轴的能量谱 图8当ω=1 800 r／min，δ=0.556，ψ=0.003，B’／B=0时，D1在y连续的时间图和同步能量谱 5 结论 轴被描述为多自由度有限元素使用了2个结点带有8个自由度的Timoshenko 梁轴有限元模型。流体扰性转子系统应考虑陀螺仪和剪切力的作用。由于轴承转子系统的局部非线性特征。一个修改过的带自由接口的模态综合技术描述了减少扰性转子系统模型的自由度。为了改变坐标引起的误差，非线性影响仍然存在于物理空间。确保了系统的非线性分析的准确性和节约了计算工作量。在转子轴承支撑实验中，油膜的气蚀领域改变是由于中心转子的移动和速度扰动引起的。根据油膜的物理特性，改变约束的方法是通过引入持续改变的每一阶段的动态的集成与重复的雷诺兹方程式。雷诺兹边值的流体问题得以解决是由于使用了八交点方法的有限元素分析而没有增加计算量。非线性油膜力及其Jacobian矩阵可同时计算和得到同样的精确度。如果系统元素u（例如转子角速度ω，轴承直径宽度比d/B，周长宽度比B’／B和距离半径比ψ，椭圆度δ）当作控制参数分配，综合轨迹预测追踪的延续算法和PNF方法被称为连续周期方法问题导致计算周期运动和分岔现象。轴承转子系统的这种混乱状态是从能量谱中调查出来的。许多的例子显示这项研究能节省计算量而且具有很好的精密度。 Reference 1 Brancati R，Rocca E，Rosso M，et a1．Jouma1 oribt and their stability for rigid unbalance rotors ASME Journa1 of Tribology,1995，117：709～716 2 Della P L，De R E，Rossi C．Static and dynamic behavior of a rigid rotor on iourna1 bearings．Meceanica，1991，26：229-245 3 Kim YB，Noah S Bifurcation analysis for a modified Jeffcott rotor with bearing clearance．Nonlinear Dynamics．1990,1：221～241 4 Ch0i S K．Noach S T. 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