高一平面向量讲义

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1、word 平面向量讲义 §2.1　平面向量的实际背景与根本概念 1．向量：既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念： (1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量． (3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a平行于b，记作____

2、____． ②规定：零向量与__________平行． 考点一　向量的有关概念 例1　判断如下命题是否正确，并说明理由． ①假如a≠b，如此a一定不与b共线；②假如＝，如此A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有＝；④假如向量a与任一向量b平行，如此a＝0；⑤假如a＝b，b＝c，如此a＝c；⑥假如a∥b，b∥c，如此a∥c. 变式训练1　判断如下命题是否正确，并说明理由． (1)假如向量a与b同向，且|a|>|b|，如此a>b； (2)假如向量|a|＝|b|，如此a与b的长度相等且方向一样或相反； (3)对于

3、任意|a|＝|b|，且a与b的方向一样，如此a＝b； (4)向量a与向量b平行，如此向量a与b方向一样或相反． 考点二　向量的表示方法 例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量、、；　(2)求||. 考点三　相等向量与共线向量 例3　如下列图，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. (1)与a的模相等的向量有多少个？ (2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3

4、)与a共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与a，b，c相等的向量． §2.2　平面向量的线性运算 1．向量的加法法如此 (1)三角形法如此 如下列图，非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，如此向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法如此，叫做向量求和的三角形法如此． 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______. (2)平行四边形法如此 如下列图，两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，如此O、A、

5、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，如此对角线上的向量________＝a＋b，这个法如此叫做两个向量求和的平行四边形法如此． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝______________. (2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________. 3. 相反向量 (1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______. ②假如a，b互为相反向量，如此a＝________，a＋b＝______. ③零向

6、量的相反向量仍是__________． 4. 向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ___________________________________________________________________． (2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，如此向量a－b＝__________.如下列图． (3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，如此这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________. 5．向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个__

7、________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝__________. (2)λa (a≠0)的方向； 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________. 6．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝________. (2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________. 特别地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 7．共线向量定理 向量a (a≠0)与b共线，当且

8、仅当有唯一一个实数λ，使______________． 8．向量的线性运算 向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以与任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________. 考点一　运用向量加法法如此作和向量 例1　如下列图，向量a、b，求作向量a＋b. 变式训练1　如下列图，向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c. 考点二　运用向量加减法法如此化简向量 例2　化简： 〔1〕＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. 〔4〕(－)－(－)．(5)(－)－(－)；

9、 〔6〕(＋＋)－(－－)． 变式训练2　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________. 变式训练3　如下列图，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a， ＝b，＝c，求证：b＋c－a＝. 考点三 向量的共线 例3设e1，e2是两个不共线的向量，假如向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，如此(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．

10、k＝2 D．k＝ 变式训练4 △ABC的三个顶点A，B，C与平面内一点P，且＋＋＝，如此(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上 考点四：三点共线 例4两个非零向量a、b不共线． (1)假如A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)某某数k使ka＋b与2a＋kb共线． 变式训练5 向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，如此一定共线的三点是(　　) A．B、C、D B．A、B、C

11、 C．A、B、D D．A、C、D 变式训练6 平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，如此x＋y＝________. §2.3　平面向量的根本定理与坐标表示 1．平面向量根本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________. (2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底． (1)夹角：

12、两个__________a和b，作＝a，＝b，如此________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角． ①X围：向量a与b的夹角的X围是______________． ②当θ＝0°时，a与b________. ③当θ＝180°时，a与b________. (2)垂直：如果a与b的夹角是________，如此称a与b垂直，记作______________． 3．平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个_________

13、___i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，如此________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，假如A(x，y)，如此＝________，假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此＝________________________. 4．平面向量的坐标运算 (1)假如a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)假如a＝(x1，y1)

14、，b＝(x2，y2)，如此a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)假如a＝(x，y)，λ∈R，如此λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 5．两向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有______________________． (2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例． 6．假如＝λ，如此P与P1、P2三点共线． 当λ∈________时，P位于线段P

15、1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点； 当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上； 当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上． 考点一　对基底概念的理解 例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么如下说法中不正确的答案是(　　) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③假如向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，如此有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④假如存在实数λ

16、，μ使得λe1＋μe2＝0，如此λ＝μ＝0. A．①②B．②③C．③④D．② 变式训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出如下四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号) 考点二　用基底表示向量 例2　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，假如＝a，＝b试用a，b表示、、. 变式训练2　如图，△ABC中，D为BC的中点，E，F为B

17、C的三等分点，假如＝a，＝b，用a，b表示，，. 考点三　平面向量根本定理的应用 例3　如下列图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1. 变式训练3　如下列图，△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b表示向量、； (2)假如＝λ，某某数λ的值． 考点四　平面向量的坐标运算 例4　平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.

18、 变式训练4a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 考点五　平面向量的坐标表示 例5　a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向一样的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj (m∈R)，a∥b，求向量a、b的坐标． 考点六　平面向量坐标的应用 例6　▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标． 变式训练6平

19、行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标． 考点七　平面向量共线的坐标运算 例7　a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 变式训练7A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向一样还是相反？ 考点八　平面向量的坐标运算 例8　点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． 变式训练8点A(

20、1，－2)，假如向量与a＝(2,3)同向，||＝2，求点B的坐标． 考点九　利用共线向量求直线的交点 例9　如图，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标． 变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点坐标． §2.4　平面向量的数量积 1．平面向量数量积 (1)定义：两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ

21、，其中θ是a与b的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为____． (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，如此向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________． 2．数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________________的乘积． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝________(交换律)； (2)(λa)·b＝________＝________(结合律)； (3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．

22、 4．平面向量数量积的坐标表示 假如a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a·b＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 5．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 如此a⊥b⇔________________. 6．平面向量的模 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，如此|a|＝________________. (2)两点间距离公式：假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此||＝________________________. 7．向量的夹角公式 设两非零向

23、量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，如此cos θ＝________＝__________. 考点一　求两向量的数量积 例1　|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 变式训练1　正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 考点二　求向量的模长 例2　|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 变式训练2　|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a

24、＋b|. 考点三　向量的夹角或垂直问题 例3　设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 变式训练3　|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，如此当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 考点四　向量的坐标运算 例4　a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐标；(2)假如c＝(2，－1)，求a(b·c)与(a·b)c. 变式训练4假如a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，如此(a·

25、b)·c＝________；a·(b·c)＝________. 考点五　向量的夹角问题 例5　a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值X围，使得： (1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 变式训练5a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，假如a与b的夹角α为钝角，求λ的取值X围． 考点六　向量数量积坐标运算的应用 例6　在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．

26、 变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标． §2.5　平面向量应用举例 1．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________. (4)求线段的长度或证明线段相等，

27、可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______. 2．力向量 力向量与前面学过的自由向量有区别． (1)一样点：力和向量都既要考虑________又要考虑________． (2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向一样的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的． 3．向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是________． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成． (3)动量mν是______________． (4)功即是力F与

28、所产生位移s的________． 考点一 三角形问题 例1　点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，如此点O 是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点D．三条高的交点 变式训练1 在△ABC中，A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，如此BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B. C．3 D. 变式训练2 假如O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，如此△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形

29、B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 变式训练3 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，(＋－2)·(－)＝0，如此△ABC的形状一定是__________． 考点二 向量的计算 例2　平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，|·＋·＋·＝______. 变式训练4 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，假如＝m，＝n，如此m＋n的值为__________________． 考点三 向量的应用 例3两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，如此当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　) A．40 N B．10 N C．20N D．10 N 变式训练5 在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，如此船实际航行的速度的大小为________． 14 / 14