中考数学总复习训练 分类讨论型问题

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1、word 分类讨论型问题 一、选择题 1．如果x2＋mx＋9是一个完全平方式，那么m的值为(C) A．±3 B．±9 C．±6 D．6 【解析】　完全平方式是(x±3)2，故m＝±6. 2．函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，如此k的取值X围是(B) A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 【解析】①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0， Δ＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，k≤4； ②当k－3＝0，即k＝3时，y＝2x＋1，与x轴有交点． 应当选B. 3．假如正比例函数y＝2kx与反比

2、例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(m，1)，如此k的值是(B) A．－或B．－或 C.D. 【解析】　把A(m，1)代入y＝中，得m＝k. 把A(m，1)代入y＝2kx中，得2km＝1，即2k2＝1， ∴k2＝，∴k＝±. 4．⊙O的直径为10 cm，弦AB为8 cm，P是弦AB上一点，假如OP的长为整数，如此满足条件的点P有(D) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】OP为3时有一条，为4时有两条，为5时有两条，共5条． (第5题) 5．如图，点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足这样条件的点P共有

3、(C) A．2个　　　　　　B．4个 C．6个　　　　　　D．7个 【解析】　当以AB为斜边时，∠APB＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x轴，y轴各有1个交点．∴点P共有6个． 6．如图，直线l的表达式是y＝x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B⊙C，圆心Cy轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，如此该圆的运动时间为(D) A．3 s或6 s B．6 s C．3 s D．6 s或16 s (第6题) (第6题解) 【解析】　如解图． ∵当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x＝3， ∴点A(3，0)，B(0

4、，－4)，∴AB＝5. 当点C在点B上方，直线与圆相切时，连结CD， 如此点C到AB的距离等于1.5， ∴CB÷sin∠ABC×＝2.5. ∴点C运动的距离为1.5＋(4－2.5)＝3，运动的时间为3÷0.5＝6(s)． 同理，当点C在点B下方，直线与圆相切时， 连结CD，如此点C运动的距离为1.5＋(4＋2.5)＝8，运动的时间为8÷0.5＝16(s)． 应当选D. (第7题) 7．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x(s)，四边形PBDQ的面积为y(cm2)，如

5、此y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为(B) 【解析】　当0≤x≤4时，∵正方形的边长为4 cm， ∴y＝S△ABD－S△APQ＝×4×4－·x·x＝8－x2； 当4

6、 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】　分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心，BA为半径的圆的交点； ②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心，BA为半径的圆与以C为圆心，BC为半径的圆的交点； ③以CP为底，B为顶点时，没有．∵是以B为圆心，BA为半径的圆与以B为圆心，BC为半径的圆，∴没有交点． 综上所述，满足要求的点P有4个，即满足要求的点E有4个． 二、填空题 9．五个正整数从小到大排列，假如这组数据的中位数是4，唯一众数是5，如此这五个正整数的和是17或18或19． 【解析】　5个数为2，3，4，5，5或1，2，4，5，5或

7、1，3，4，5，5. 10．假如关于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有实数根，如此k的取值X围是k≥－． 【解析】　提示：分k＝0和k≠0两种情况讨论． 11．A，B两地相距450 km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．甲车速度为120 km/h，乙车速度为80 km/h，过t(h)后两车相距50 km，如此t的值是． 【解析】　分相遇前和相遇后两种情况讨论． ①当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得 120t＋80t＝450－50，解得t＝2； ②当两车相遇后，两车又相距50 km时， 根据题意，得120t＋80t＝450＋50，解得t＝2.5. 12．

8、一个等腰三角形的三边长是x2－7x＋10＝0的根，如此这个三角形的周长等于6或15或12． 【解析】　方程的根为2和5，∴三边长为2，2，2或5，5，5或5，5，2. 13．一个等腰三角形的一个外角等于110°，如此这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°或55°，55°，70°． 【解析】当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°. 14．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE交于点H.假如B

9、H＝AC，如此∠ABC所对的弧长等于_πr或πr． 【解析】分两种情况： (1)如解图①.∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠H＋∠DBH＝90°，∠C＋∠DBH＝90°， ∴∠H＝∠C. 又∵∠BDH＝∠ADC＝90°， ∴△BHD∽△ACD，∴＝＝， ∴BD＝AD，∴∠ABC＝30°， ∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2＝60°， ∴∠ABC所对的弧长＝＝πr. (第14题解) (2)如解图②.同(1)可得BD＝AD，∴∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝150°， ∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°， ∴∠ABC所对的弧长＝＝πr. (第1

10、5题) 15．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.假如PQ＝AE，如此AP等于1或2cm. 【解析】如解图，过点P作PN⊥BC于点N. (第15题解) ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC＝PN. 在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AD＝3， ∴DE＝AD·tan 30°＝. 根据勾股定理，得AE＝＝2. ∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝. 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ∵ ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)， ∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∠

11、AED＝∠PQN＝60°. ∵AD∥BC，∴∠APM＝∠PQN＝60°， ∴∠PMA＝90°. 在Rt△AMP中，∵∠MAP＝30°，cos 30°＝， ∴AP＝＝＝2(cm)． 由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1(cm)． 综上所述，AP等于1 cm或2 cm. 16．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BCP在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，如此CP的长为6或2或4． 【解析】分四种情况讨论： (1)如解图①，当∠C＝60°，点P在线段AC上时，∠ABC＝30°. ∵∠ABP＝30°， ∴点P与点C重合，与条件相矛盾．

12、 (第16题解①) (第16题解②) (2)如解图②，当∠C＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠ABC＝30°. ∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ABC＝30°， ∴AC＝BC＝3. 在△ABC和△ABP中， ∵ ∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3， ∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6. (3)如解图③，当∠ABC＝60°，点P在线段AC上时，∠C＝30°. ∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°， ∴AB＝BC＝3. ∵∠ABP＝30°， ∴AP＝BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°＝∠C， ∴BP＝CP. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得

13、BP2＝AB2＋AP2， ∴BP2＝32＋，解得BP＝2. ∴CP＝BP＝2. (第16题解③) (第16题解④) (4)如解图④，当∠ABC＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠C＝30°. ∵∠ABP＝30°，∠ABC＝60°， ∴△PBC是直角三角形． ∵∠C＝30°，∴BP＝CP. 在 Rt△PBC中，由勾股定理，得CP2＝BP2＋BC2， ∴CP2＝＋62，解得CP＝4. 综上所述，CP的长为6或2或4. (第17题) 17．如图，函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.假如△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，

14、且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，如此满足条件的点P的坐标是(0，－4)，(－4，－4)或(4，4)． 【解析】　如解图，∵△AOE的面积为4， (第17题解) ∴S△AOE＝OE·AE＝4，∴OE·AE＝8， ∴xy＝8，∴k＝8. ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点， ∴2x＝∴x＝±2. 当x＝2时，y＝4；当x＝－2时，y＝－4， ∴A，B两点的坐标分别是(2，4)，(－2，－4)． ∵以点B，O，E，P为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的点P有3个，分别为点P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3

15、(4，4)． 三、解答题 (第18题) 18．如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？假如存在，求出符合条件的点Q的坐标；假如不存在，请说明理由． 【解析】　(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c. ∵直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B， ∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，3)． 又∵抛物线经过A，B，C三点，点C的坐标为(3，0)， ∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)∵y

16、＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴该抛物线的对称轴为x＝1. 设点Q的坐标为(1，m)，如此AQ＝，BQ＝，AB＝. 当AB＝AQ时，＝，解得m＝±， ∴点Q的坐标为(1，)或(1，－)； 当AB＝BQ时，＝，解得m1＝0，m2＝6， ∴点Q的坐标为(1，0)或(1，6)， 但当点Q的坐标为(1，6)时，点A，B，Q在同一条直线上，∴舍去； 当AQ＝BQ时，＝，解得m＝1， ∴点Q的坐标为(1，1)． ∴抛物线的对称轴上存在点Q(1，)，(1，－)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ是等腰三角形． 19．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂

17、直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. (第19题) (1)如图①，连结AF，CE.求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长． (2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中， ①点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t(s)，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②假如点P，Q的运动路程分别为a，b(单位： cm，ab≠0)，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【解析】

18、　(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE. ∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF， ∴四边形AFCE为平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形． 设菱形的边长AF＝CF＝x(cm)，如此BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm. (第19题解①) (2)①显然当点P在AF上时，点Q在CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形； 同理，当点P在AB上时，点Q在DE或CE上，也不

19、能构成平行四边形． 因此只有当点P在BF上，点Q在ED上时，如解图①，才能构成平行四边形， ∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA. ∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t(s)， ∴PC＝5t－5＋5＝5t，QA＝8－(4t－4)＝12－4t， ∴5t＝12－4t，解得t＝. ∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝s. ②由题意得，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上． 分三种情况： ⅰ)如解图②，当点P在AF上，点Q在CE上时，AP＝CQ，即a＝12－b，得a＋

20、b＝12； ⅱ)如解图③，当点P在BF上，点Q在DE上时，AQ＝CP，即12－b＝a，得a＋b＝12； ⅲ)如解图④，当点P在AB上，点Q在CD上时，AP＝CQ，即12－a＝b，得a＋b＝12. (第19题解) 综上所述，a与b满足的数量关系式是a＋b＝12(ab≠0)． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点E(－1，0)，并与直线交于A，B两点． (第20题) (1)求抛物线的表达式． (2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标． (3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB

21、是直角三角形？假如存在，请求出点M的坐标，假如不存在，请说明理由． 【解析】(1)当x＝0时，y＝－x＋2＝2，∴点A(0，2)． 当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝6，∴点P(6，0)． ∵点A(0，2)，E(－1，0)是抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象上的点， ∴解得 ∴抛物线的表达式是y＝－x2＋x＋2. (2)如解图①.在△AOC与△POA中， ∵ ∴△AOC∽△POA， ∴＝，∴OC＝＝＝， ∴点C的坐标为. (第20题解①) (3)假设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，分∠AMB＝90°或∠ABM＝90°两种情况讨论： ①在Rt

22、△MAB中，假如∠AMB＝90°，如此M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上或y轴的正半轴上． i．假如交点在y轴的正半轴上(如解图②)，设点M(0，m)，如此有m＝yB. (第20题解②) 解得∴点B. 此时，点M. x轴的正半轴上(如解图③)，设点M(n，0)，过点B作BD⊥x轴于点D， (第20题解③) 如此有△AOM∽△MDB， ∴＝，∴＝， 解得n1＝，n2＝. 此时，点M或M. ②在Rt△MAB中，假如∠ABM＝90°，如此过点B作BM⊥AP，这时点M会在x轴的正半轴上或y轴的负半轴上． i．假如点M在x轴的正半轴上，如解图④，设点M(t，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，如此有△BMD∽△PBD， ∴＝，∴BD2＝PD·MD， (第20题解④) ∴＝，解得t＝. 此时，点M. M在y轴的负半轴上，如解图⑤，设点M(0，－q)(q>0)，过点B作BF垂直y轴于点F，同上可得BF2＝AF·FM， (第20题解⑤) ∴＝， 解得q＝. 此时，点M. 综上所述，除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是或或或或，共五个点． 16 / 16