初中数学竞赛专题复习 第一篇 代数 第4章 方程组试题2 新人教版

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1、 §4.2应用题 4．2．1★小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍，”小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍．”其中为正整数．求的可能值的个数． 解析设小倩、小玲分别所拥有的钱数为元、元，、为非负整数．于是由题设可得 消去得， ． 所以，3，5，15，得，5，6，11，从而分别为8、3、2、1，分别为14、7、6、7． 4．2．2★甲、乙两人从相距120千米的两地同时相对而行，6小时后相遇．如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地点距前一次相遇的地点3千米，求原来甲、乙的速度． 解析设原来甲、乙的速度分别为千米

2、／时，千米／时，则有 ． 如果甲、乙每人各多行2千米，则有 , 解得或 所以，甲、乙原来的速度分别是13（千米／时）、7（千米／时）；或者7（千米／时）、13（千米／时）． 4．2．3★长90米的列车速度是每小时54千米，它追上并超过长50米的列车用了14秒，如果这两列火车相向而行，从相遇到完全离开要用多少时间？ 解析 两列火车的追及问题中，（车速车速2）追及时间两列火车的长度之和．丙列火车的相向 相遇问题中，（车速车速2）相遇时间两列火车的长度之和． 设长90米的列车速度为(米/秒)，长50米的列车速度为（米／秒）． 对于追及，则有，解得（米/秒）． 所以，两列火车相向

3、而行从相遇至完全离开时所用时间为（秒）． 评注对于火车行程问题，首先将火车的运动情况分析清楚，再运用一些常用的数量关系式来求解即可． 4．2．4★火车通过长82米的铁桥用了22秒，如果它的速度加快1倍，通过162米长的铁桥就只用了 16秒，求这列火车原来的速度和它的长度． 解析设这列火车原来的速度为米／秒，它的长度为米．则依题意有 解得．即这列火车原来的速度为8米／秒，它的长度为94米． 4．2．5★某人骑自行车从地到地，途中都是上坡或下坡路，他以每小时12千米的速度下坡，以 每小时4千米的速度上坡．从地到地用了50分钟，从地返回地用了小时．求、两地相距多少千米？ 解析设从

4、地到地，上坡路有千米，下坡路有千米，则 解得（千米）． 所以，、两地相距7千米． 4．2．6★★甲、乙二人骑车在400米环形跑道上进行万米比赛．同时出发后，乙速大于甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟？ 解析设出发时甲的速度为米／分，乙的速度为米／分，第15分钟甲加速后的速度为米／分，依题意得 解得，，. 所以，乙到达终点的时间为（分）． 4．2．7★★甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点出发，按相反方向跑步．甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它们

5、第一次又在处相遇之前，在途中共相遇多少次？ 解析假设跑道长为，甲、乙第一次又在处相遇时所用时间为，甲、乙相遇一次，则跑过的路程为一圈即． 设甲、乙第一次又在点相遇时共跑了圈，则甲、乙两人第一次又在点相遇所跑过的路程为，即 ． 甲、乙第一次又在处相遇时，乙比甲多跑了一圈， ， 解得，则途中相遇次数为（次）． 即他们第一次又在点相遇之前，在途中共相遇12次． 评注因为每圈相遇一次，最后一圈相遇点，故为次（起始点不算在内） 4．2．8★★某船往返于甲、乙两港之间，顺水而下需用8小时，逆水而上需要12小时，由于暴雨后水速增加，该船顺水而行是逆水而行所花时间的，那么逆水而行需几小时？

6、 解析 设甲、乙两港之间距离为，该船在静水中的速度为千米／时，水速为千米／时，水速增加后为千米／时． 依题意得 解得 ，，． 所以水速增加后，该船逆水而行所需时间为 （小时）． 评注 解流水问题只要抓住基本公式：顺水速度船速水速，逆水速度船速水速，则很多该类型 题目都可以通过列方程组迎刃而解，上下坡问题跟流水问题也有类似之处． 4．2．9★★★甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过了一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转身子，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跪了4圈，试问甲的速度是乙的几倍？ 解析 本题是甲

7、、乙两人跑圆圈，先同向，后反向．就问题的实质来说，跑圆圈和跑直线的思考方法相同．如果设甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈的长为．则有，乙跑4圈的速度是，距离为．再设乙跑4圈所用的时间为，于是. 所以，问题转化为如何根据已知条件列出关于、、的表示时间的关系式就可以了． 设甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈的长为，那么有 ． 由于，所以原方程可化为 ， 即． 本题要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我们只需求出为某一常数即可．于是，方程可化为 ， 解得 ，或（舍去）． 所以，甲的速度是乙的倍． 评注 本题中是多设的未知数，它对于列方程来说起到了桥梁作用，使列方程变得思路简单，易

8、于理 解，在方程列出后，直接相约（或相消），又立即去掉了多设的未知数．这种方法称为设辅助元法． 4．2．10★★小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车， 问：发车间隔的时间是多少分钟？ 解析 设18路公交车的速度是米／分，小王行走的速度是米／分，同向行驶的相邻两车的间距为 米． 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 ．① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 ．② 由①，②可得，所以． 即18路公交车息站发车间隔的时间是4分钟． 4

9、．2．11★★两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时 50千米，摩托车后座可带一人．问有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要多少小时？（保留1位小数） 解析 记此三人为甲、乙和丙，甲开摩托车后座带乙人，三人同时出发，甲和乙到地所用时间设为小时，并且放下乙，乙继续步行，到达地所用时间设为小时，而甲马上折返，在地遇到丙后，携带丙乘摩托车驶向地，为了与乙同时到达地，和应当满足如下方程： ①甲和乙到达地时，丙到达地（见下图）步行的路程是千米； ②之间的距离是千米； ③甲折返与丙在地相遇所用时间是小时； ④丙步行到地，所用时间是小时；从地乘摩托车到所

10、用时间是 小时；而乙乘摩托车到地，所用时间是小时；从地步行到达地所用时 间是小时． 从上述分析，可以列出二元一次方程组 解得，． 所以，有三人并配备一辆摩托车从地到地最少需要小时． 4．2．12★★一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做10个，则提前天完成， 若他每天少做5个，则要误期3天．问他要做多少个零件？比定期是多少天？ 解析 设这个工人要做个零件，定期为天，则他每天做个零件．根据题目条件，若他每天多做10个，则可减少天工期．所以，同理，可列另一个方程．即可得方程组 解得 所以，工人要做1350个零件，此定期为27天． 4．2．13★★某

11、项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元．现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？ 解析 设甲、乙、丙单独承包各需、、天完成，则 解得 再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付、、元，则 解得 于是，由甲队单独承包，费用是 （元）． 由乙队单独承包，费用是 （元）． 而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少． 4．2．14★★已知甲、乙、丙三人，甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的倍，乙单独做这件工

12、作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的倍，求丙单独工作所用时间是甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍． 解析 甲、乙、丙独立完成这一工作分别需、、天，再设整个工程是1．于是，乙单独做一天完成的工作量是，丙是，这样乙、丙合做一天完成的工作量是，那么乙、丙合作这项工作所用的时间应是天，依题意有 解得 所以 故丙独立完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需的时间的倍． . 4．2．15★★某商店经销一种商品，由于进货价降低了，使得利润率提高了，那么原来经销这种商品的利润率是多少？ 解析 本题虽然题干很短，但牵涉到的商业方面的概念及公式还是很丰富的．这里，写出

13、几个与利润有 关的“盈亏”公式： (1)利润售出价进货价； (2)利润率； (3)进货价． 本题涉及两种情况，可设原进价为元，销售价为元，并表示出按原价销售的利润率和按新价销 售的利润率，再根据两者之间的关系，得出与的数量关系，最后代入求值． 设原进货价为元，销售价为元，由公式(2)有 按原价销售的利润率为：； 按新价销售的利润率为：． 依题意列方程 ． 解方程得. 因此，原来经销这种商品的利润率 ． 评注 随着市场经济体制的建立，有关营销类应用问题已屡见不鲜，对这类问题，学生首先要了解一些 日常的基本常识和有关名词，如进货、售出价、利润、利润率、盈利、亏本等，

14、同时要掌握好基本关系公式，巧妙地建立关系式． 4．2．16★★现有一块黄铜和一块青铜的混合物，其中含有的铜，的锌和的锡．已知青铜含的铜，的锌和的锡，而黄铜是铜和锌的合金．求黄铜含有铜和锌之比． 解析 设黄铜中含铜，则含锌．黄铜和青铜的混合物中含黄铜，青铜．则 由①，得，③ 由②，得，④ 由③、④，得． 所以，黄铜含有铜和锌之比是． 4．2．17★★李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮，李明买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮，共付了11元，张斌买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮，共付了8.9元，王钢买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱？ 解析

15、设、、分别表示1本练习本、1支圆珠笔和1块橡皮的价钱（以角为单位），得方程组 这是一个三个未知数二个方程的不定方裎，想从中求出、、是很难的，但问题是要我们求的值，故②①得 . 因此，王钢买1本练习本，1支圆珠笔和1块橡皮共付了4.7元． 4．2．18★★学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或日记本，可买多少？ 解析 由于这笔钱是未知的，若直接依题目要求去设未知数，则不易列方程．故像这类题目必需间接设 元．设钢笔元／支，日记本元／本，则这笔钱可表示为：或． 所以．

16、 得． 于是，这笔钱全用于买钢笔，可买 (支)； 这笔钱全用于买日记本，可买 （本）． 4．2．19★★甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道题？ 解析设有道难题，道容易题，中等的（两人解出的）题为道，则由题意可得方程组： ①②，得 . 所以，难题多，难题比容易题多20道． 4．2．20★现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件，乙7件，丙1件共需315元；若购买甲4件， 乙10件，丙1件共需420元，问要购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解

17、析 设甲、乙、丙三种货物每件分别为元、元、元．依题意，得 ①②，得 ． 所以，购买甲、乙、丙各一件共需105元． 4．2．21★★甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29、23、21和17，这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 解析 设四个人的年龄分别为、、、，根据题意有 由上述四式可知 比较⑤、⑥、⑦、⑧知，最大，最小，⑤⑧得． 所以，即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为18. 4．2．22★★★现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍；2年前，父母年龄和是子女年龄和的10倍；6年后，父母年龄的和是子女年龄和的3倍，问共有多少子女？ 解

18、析 设现在父母年龄之和为岁，子女年龄之和为岁，子女共有人，由题意得 ① 代入②、③，得 ② 两式相减，得，所以，子女共有3人． 4．2．23★★★★一次数学竞赛出了、、三道题目，25个学生每人至少能解出一道题目．在这些不能解的学生中，能解的人数等于能解的二倍；在能解的学生中，至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个．如果正好能解一道题目的学生中，有一半不能解．问有多少学生正好能解出这道题目？ 解析 由题意可知，本题涉及的量很多，如果采用直接成间接设元都很难列出方程，因此我们可以采用 设辅助未知数，以此作为桥梁建立等量关系，列出方程．最后，消去辅助未知数，从而获得所要

19、的答案． 设，，分别表示正好能解，与，与与的学生人数，则依题意可得 其中，．，，，，都是非负数． 由①和③，得 ,⑤ 而②可写成 ,⑥ 而④可写成⑦ 由⑤、⑥、⑦得,即 ．⑧ 代入⑥，得.⑨ 因为，，所以由⑧和⑨分别得 ，． 但是是整数，所以． 所以，有6个学生正好能解出这道题目． §4.3含绝对值的方程组 4．3．1★方程组的解的个数为（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 解析若，则于是，这不可能． 若，则于是，解得，进而求得． 所以，原方程组的解为(，)（，9），只有1个解．故选A. 4．3．2★如果和是非零实数，使得和，那

20、么等于（ ）． A．3 B． C． D． 解析 将代入，得． (1)当时，，方程，无实根； (2)当时，，得方程，，解得，正根舍去，从而． 于是． 故． 因此，结论(D)是正确的． 4．2．3★★解方程组 解析 由①得 ． 因为，所以，所以③ 把③代入②，得 ， 即．把代入①，得 ， 即，于是． 由时，得． 故原方程组的解为 4．3．4★★解方程组 解析 由①得或．即或． 可得方程组(①)或（②） 解方程组(①)：由，解得或，再代入，得方程组 （①）的解或 解方程组(②)得或 综上所述，原方程组的解为 4．3．5

21、★★求方程组在实数范围内解的组数． 解析 设．，则原方程组可化为 两式相减并化为 ， 则或． 由此可得 由第一个方程组解得 (，)(0，0)，(4，4)； 由第二个方程组解得 (，)（，），（，）． 由(，)的第一组解推得(，)(0，0)；其他三组解每组可推得(，)的4组解．所以，原方程组共有13组不同的实数解． 4．3．6★★★解方程组： 这里、、、是已知的两两不同的实数． 解析因为、、、是两两不同的实数，又方程组中交换下标、的位置方程组不变，所以可先设．此时方程组可写成 ①②，得 ． ②③，得 . ③④，得 ． 由于、、、两两不同，所以 ⑤⑦，得代入⑥式，得.更由⑤式，得，．故 ． 将代入①式，得． 所以在的条件下，已知方程组的解为，． 在一般情况下，设，这里、、、是1、2、3、4的一个排列，则方程组的解是 ，． 14