初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第8章 线段与角试题（无答案） 新人教版

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1、 第二篇平面几何 第8章线段与角 §8．1线段与角度 8．1．1★在线段上有、两点，，，，求的长． 解析有两种情况：点相邻于点，或点相邻于点． (1)当点相邻于点时，如图(a)所示，此时． (2)当点与点相邻时，如图(b)所示，此时． 8．1．2★如图，已知，，的长是66厘米，求之长． 解析由于，、又与有关，所以，只要求出的长即可． 因为，所以 ． 因为（厘米），所以，（厘米）， （厘米），（厘米），因此 （厘米）． 8．1．3★如图，、、依次是线段上的三点，已知厘米，厘米，则图中以、 、、、这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？ 解析以、

2、、、、为端点的线段共十条，所以所有线段长度之和为 （厘米）． 8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形． 问其中最长的一段的取值范围． 解析设是所围成的五边形的某一边（如图），而线段、、、则可看成是点、之间的一条折线，因此， ． 设最长的一段的长度为厘米，则其余4段的和为厘米．由线段基本性质知，所以，又 ， 所以．即最长的一段的长度必须小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一个角的余角与这个角的补角之比是，求这个角的邻补角． 解析设这个角为，则这个角的余角为，这个角的补角为．依照题意，这两个角的比为． 所以，

3、，所以． 从而，这个角的邻补角为． 8．1．6★如图，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分．求的度数． 解析设，则 ，． 因为，所以．因此，． 8．1．7★★★中，是最小角，是最大角，且，若的最大值是，最小值 是，求的值． 解析根据题意，得． 因为，，所以 ， 即． ， 由此得，． 又因为，所以 ， 即，所以． 所以，故 ． 8．1．8★在平面上，一个凸边形的内角和小于，求的最大值， 解析因为凸边形的内角和为，所以，，所以，． 又凸13边形的内角和为 ， 故的最大值是13． 8．1．9★如图所示，求． 解析如图所示，可得， ， 而

4、， 所以． 8．1．10★如图所示，，则____． 解析设与相交于点，与相交于点，记，，则 ， ， ． 把此三式相加得 ， 所以． 8．1．11★如图所示．平面上六个点、、、、、构成一个封闭折线图形．求 的度数． 解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中，而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可得 ， ， ， 而，所以 ， 故． 8．1．12★★如图，在中，为的中点，为上任一点．、分别为、的中点，为的中点，直线与相交于，则． 解析连结，则．于是 ， 所以， 8.1.

5、13★★如图，求图中的大小． 解析1如图(a)，连结．在中，，在中，，又，所以．因此 ． 解析2如图(b)，在中，由三角形外角的性质，得 ， 所以 ． 评注由解析2可以看出，三角形外角的性质虽很简单，却很有用，它能把许多分散的角集中到一个三 角形（或多边形）中来． 8．1．14★★如图，平分，平分，与相交于，若，，求的度数． 解析连结．在中， 所以． 在中，，所以 ． 又因为、分别为、的平分线，所以 ． 在中 ， 即． 所以． 8．1．15★★在中，，、、分别在、、上，且．求证： ． 解析如图，易知． 因为 ， 又

6、 ， 于是． 此即． 8．1．16★如图，平分，平分，若，，求的度数（用、表示）． 解析如图，由与的内角和是可得 ， 由与的内角和是可得 ， 所以 ． 8.1.17★★★如图，求的大小，此处即，余类推， 解析连结、、、．由四边形内角和是可知， ． ， ， ， ， 因此 ． 而，所以，从而 ， 所以 ． 8．1．18★若时钟由2点30分走到2点50分，问：时针和分针各转过多大的角度？ 解析在2点30分，分针指向教字6，在2点50分，分针指向数字10，因此，分针转过了4“格”，而每1“格”为，所以，分针共转过了． 由于时针转动的

7、速度是分针转动速度的，所以，时针转动了． 评注在钟表问题中，有许多有关时针、分针的转角问题，解这类问题的关键是：时针的转动的速度是分针转动速度的，钟面上每1“格”是． 8.1.19时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分针与时针第一次重合？ 解析在开始时，分针“落后”于时针．设分针与时针第一次重合时，时针转动了角，那么，分针转动了．因为分针转速是时针的12倍，所以 ， ． 即时针顺时针方向转动时，分针与时针重合． 评注钟表里的分针与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追赶问题非常相似．行程问题中的 距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的

8、转动速度． 8．1．20★★在4点与5点之间，时针与分针在何时 (1)成； (2)成． 解析(1)如图(a)，在4点整时，时针与分针恰成．由于所问的时间是介于4点到5点之间，因此，这个时间不能计入，从4点开始，分针与时针之间的角度先逐步减少，直至两针重合（夹角为）．之后，分针“超过”时针，两针之间的夹角又逐渐增大（此时，分针在时针的前面）．直到两针夹角又一次成为，这个时间正是我们所要求的． 设时针顺时针转过角后，时针与分针（分针在时针前）成，则 ． 所以． 由于时针每转过（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟）．所以时针每转过 相当于经过2分钟，相当于经过

9、了 （分钟）． 因此，在4点分时，时针与分针成角． (2)如图(b)、(c)所示，由于在整4点时，时针与分针夹角为，因此，在4点与5点之间，时针 与分针成有两种情况： (i)时针在分针之前(如图(b))．设时针转了角，分针转了角，有 ， 所以， 即 用时 （分钟） (ii)时针在分针之后(如图(c))，此时，有关系 ， ， 所以． 用时 （分钟） 综上所述，在4点到5点之间，在4点分与4点分两个时间时，时针与分针成． 评注由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况，因此，按两针夹角情况会出现一解或两解． 8．1．21★如图所示，在中，

10、，，点、分别在边、上，且，求的大小． 解析在线段上取点，使得（事实上，只要以点为圆心，为半径作圆，与交于点即可）．设，则，，，于是 ． 又，所以，于是 ， 而，所以． 故为正三角形，所以，，即． 8．1．22★★如图(a)，在四边形中，，，，求 的度数． 解析作点，如图(b)其与点在边的同侧，使得是正三角形，则与是等腰三角形，其中，， 因此 ，， 故，所以，点在线段 上，所以． §8.2特殊角 8．2．1★以的边为直径作圆，与边交于，与交于(、不与、重合)， ，中有一内角是另一个的2倍，求的3个内角． 解析、为的高，在内部，故为锐角三角形．

11、如图，由于，故，故． 剩下的角中，不可能有或，故只可能是一个为，另一个为． 8．2．2★中，，，点为内一点，， 求． 解析如图，，又，故为的外心，． 又，故，为正三角形，所以． 8．2．3★★将一个等腰三角形划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种形状？并 将所有形状都列出来． 解析如图，设等腰三角形分成与．不妨设，于是，等腰三角形中，只能有．这时，而有三种情况． (1)，则，为等腰直角三角形． (2)．设，则，，，由于，．若，则，得；若，则．得， 这两种情况都是解． (3)，，，显然．由得， 故． 综上，总共有4组解，所求等腰三角形的三个内角分别为(，，

12、)、(，，)、 、． 8．2．4★★设内有一点，，，又，，求 ． 解析如图，作，则 ． 又由正弦定理， ， 于是，． 而，所以． 8．2．5★★已知中，，，在内，且，求的大小． 解析如图，在外作正三角形，则，，，故 ，，又，，有，故． 8．2．6★★★已知中，，，求证：为外接圆半径． 解析如图，延长至，使，则，．取中点，则，，又作的外心，则为外接圆半径，． 故，． 而，故． 评注证明四边形为等腰梯形也可，这样就无须点了． 8．2．7已知中，，，延长至点，使，求． 解析如图，在上找一点，使． 易知， ， 两式相乘，得， 于是，故，，所

13、以． 8．2．8★★★已知等腰，底角，点、分别在、上，、 交于点，，，连结，求． 解析如图，在上找一点，使或，连结． 由于，故．． 又，故．若设在上的垂足为，则．因此， ，． 而、、、共圆，故． 8．2．9★★★中，，，点为内一点，， 求． 解析如图，在内作，则，于是， 为正三角形，，为外心，因此． 8．2．10★★★设点为内一点，，，，，求证：是等腰三角形． 解析如图，作，且，连结、、． 易知，于是． ，．又，所以，为正三角形． 又，，所以为之外心，于是．垂直平分， 所以． 8．2．11★★★已知中，，在上，，在上，，求的大小． 解析如图

14、，作关于的对称点，连结、、、，则为正三角形，． 设，则，．由于和关于对称，故． 在以为圆心、为半径的圆中，恰好是圆心角的一半的补角，故在该圆上， ，又，故，． 8．2．12★★★中．是角平分线，为边上的高，若，求． 解析，故，，在上（而不是延长线上）． ，，故． 于是延长后，至、距离相等，又为角平分线，故至、距离相等，因此至、等距，平分，． （本题几条辅助线用语言即可说明，不添亦可．） 8．2．13★★★中，，，点为内一点，，，求． 解析如图，与在同侧作正三角形，则．又，故 ，．而，，故为外心，．而，所以． 8．2．14★★★如图，凸四边形中，、交于点，，，

15、，，求． 解析作的外心，则为正三角形，．连结，易知，故 ，则，， 于是．而， 故，于是，所以． 8．2．15★★★设中，，，是三角形内一点，，，求． 解析如图，作，则．又， 故，于是，垂直平分，，． 故． 8．2．16★★★★中，，，点、分别是边、上的点，，，点是直线和的交点，证明：直线和垂直． 解析如图，在外作正三角形，连结．，则， 故、、、共圆，．又易知，于是，而 ，所以，于是，从而，故 ．于是易见，．由于，故，这样便有 ，与互余，因此． 8．2．17★★★★已知中，，，延长至点，设点是的中点，求证：当时有． 解析如图，取中点，中点，连结、、

16、、．在上取一点，使，则由得(设为1)，于是，， ．易见，，，设在上的垂足为，则，于是为中点，垂直平分，，因此． 8．2．18★★★如图(a)，在凸四边形中，，，．设线段、的垂直平分线的交点为，求的度数． 解析如图(b)，连结、、、，另知，所以． 设，则 ． 所以 ， 所以，．于是 ， 8．2．19★★★★中，，，点为内一点，，， 求． 解析如图，延长至，使为正三角形，则，．于是是的外心，因此，，．于是， ，，故． 今作的平分线，在上，则，，故，，而，于是，即． 8．2．20★★★★已知点是内一点，延长后交于点，，， ，，求． 解析如图，作平分线，与交于，与交于．易知， ，，． 由，知．，又由正弦定理及角平分线性质，有 ． 于是，因此，而，故，由，得 ． 8．2．21 ★★★★中，，，点为内一点，，求． 解析如图，在外作，使，则，而 ，故为等腰梯形，且． 今在梯形内作正三角形，则，，得，，同理，，因此与重合，故． 18