山东省德州市2019年中考数学同步复习 重点题型训练 要题加练3 反比例函数的综合题

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1、 要题加练3　反比例函数的综合题 姓名：________　班级：________　用时：______分钟 1．(2018·成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于B(a，4)． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标． 2．(2018·宜宾中考)如图，已知反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y＝－x＋b的

2、图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP，OQ，求△OPQ的面积． 3.(2018·湖州中考)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC＝2，AB＝2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称． (1)当OB＝2时，求点D的坐标； (2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； (3)如图2，将第(2)题中的

3、四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 4．(2018·牡丹江中考)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2－9x＋18＝0的两根，请解答下列问题： (1)求点D的坐标； (2)若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点H，则

4、k＝________； (3)点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：(1)∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)， ∴0＝－2＋b，解得b＝2， ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. ∵一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于B(a，4)， ∴4＝a＋2，解得a＝2，∴B(2，4)， ∴4＝，解得k＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)． (2)∵点A(－2，0)，∴OA＝2. 设点M(m－

5、2，m)，点N(，m)， 当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AONM是平行四边形， |－(m－2)|＝2且m>0， 解得m＝2或m＝2＋2， ∴点M的坐标为(2－2，2)或(2，2＋2)． 2．解：(1)∵反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)， ∴4＝，解得m＝4，∴反比例函数的表达式为y＝. ∵一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x－5. (2)由解得或 ∴点P(－1，－4)． 在一次函数y＝－x－5中，令y＝0得－x－5＝0， 解得x＝－5，故点A(－5，0)， ∴S△OPQ＝S△OP

6、A－S△OAQ＝×5×4－×5×1＝7.5. 3．解：(1)如图，作DE⊥x轴于E. ∵∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝60°. 根据对称性可知DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°， ∴CE＝1，DE＝，∴OE＝OB＋BC＋CE＝5， ∴点D坐标为(5，)． (2)设OB＝a，则点A的坐标(a，2)． 由题意CE＝1，DE＝得D(3＋a，)． ∵点A，D在同一反比例函数图象上， ∴2a＝(3＋a)，∴a＝3，∴OB＝3. (3)存在．k的值为10或12. 提示：①如图，当点A1在

7、线段CD的延长线上，连接AA1，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°. 在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2， ∴AA1＝＝4. 在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°， ∴PA＝，∴PB＝. 设P(m，)，则D1(m＋7，)． ∵P，D1在同一反比例函数图象上， ∴m＝(m＋7)，解得m＝3， ∴P(3，)，∴k＝10. ②如图，当∠PDA1＝90°时，连接AA1，交线段PD于点K. ∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1， ∴△AKP∽△DKA1， ∴＝，∴＝. ∵∠AKD＝∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1， ∴∠KPA1

8、＝∠KAD＝30°，∠ADK＝∠KA1P＝30°， ∴∠APD＝∠ADP＝30°，∴AP＝AD＝2，AA1＝6. 设P(m，4)，则D1(m＋9，)． ∵P，D1在同一反比例函数图象上， ∴4m＝(m＋9)，解得m＝3， ∴P(3，4)，∴k＝12. 综上所述，k的值为10或12. 4．解：(1)∵x2－9x＋18＝0， ∴(x－3)(x－6)＝0，∴x＝3或6. ∵CD＞DE，∴CD＝6，DE＝3. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE＝EC＝＝3， ∴∠DCA＝30°，∠EDC＝60°， ∴Rt△DEM中，∠DEM＝30°， ∴DM＝DE＝. ∵OM⊥

9、AB，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝CD·OM， ∴×6×6＝6OM，∴OM＝3， ∴D(－，3)． (2) (3)存在．点P的坐标为(，)或(－，5)或(，－)． 提示：①∵DC＝BC，∠DCB＝60°，∴△DCB是等边三角形． ∵H是BC的中点，∴DH⊥BC， ∴当Q与B重合时，如图，四边形CFQP是平行四边形． ∵FC＝FB，∴∠FCB＝∠FBC＝30°， ∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝120°－30°＝90°， ∴AB⊥BF. 在Rt△ABF中，∠FAB＝30°，AB＝6， ∴FB＝2＝CP，∴P(，)． ②如图，连接QA. ∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ∥PH. 由①知PH⊥BC，∴CQ⊥BC. 在Rt△QBC中，BC＝6，∠QBC＝60°， ∴∠BQC＝30°，∴CQ＝6. ∵AE＝EC，QE⊥AC，∴QA＝QC＝6， ∴∠QAC＝∠QCA＝60°，∠CAB＝30°， ∴∠QAB＝90°，∴Q(－，6)． 由①知F(，2)， 由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P(－－3，6－)，即(－，5)． ③如图，四边形CQFP是平行四边形， 同理知Q(－，6)，F(，2)，C(，3)， ∴P(，－)． 综上所述，点P的坐标为(，)或(－，5)或(，－)． 7