北师大版八年级数学上册第一章勾股定理　单元测试题

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1、第一章 勾股定理　 第Ⅰ卷　(选择题　共30分) 一、选择题(每题3分,共30分) 1.已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　　) 图1 A.直角

2、三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 3. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何.”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大.题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 (　　) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 4 如图2,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端

3、距离地面2.4米.若保持梯子底端的位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为 (　　) 图2 A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 5.将面积为8π的半圆与两个正方形按图2所示的方式摆放,则这两个正方形面积的和为(　　) 图2 A.16 B.32 C.8π D.64 6.若△ABC的三边长a,b,c满足a-b2+b-2+c2-82=0,则下列对此三角形的形状描述最确切的是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 7.如图3所示,AC⊥BD,O为垂足,设m=AB2+CD2,n=AD

4、2+BC2,则m,n的大小关系为(　　) 图3 A.mn D.不能确定 8.如图4,A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上,且MN∥EF,某施工队在A,B,C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°,∠CBE=25°,AB=160 km,BC=120 km,则A,C两村之间的距离为 (　　) 图4 A.250 km B.240 km C.200 km D .180 km 9.如图5,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是(　　) 图5 A.

5、5 B.6 C.4 D.4.8 10.如图6所示,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为 (　　) 图6 A.3 B.4 C.5 D.6 请将选择题答案填入下表: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 答案 第Ⅱ卷　(非选择题　共70分) 二、填空题(每题3分,共18分) 11.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是　　　　.  12.古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m

6、表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是　　　　　　.  13.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图7所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=b,BC=a,如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,那么(a+b)2的值为　　　　.  图7 14.已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AC,BC,AB为直径作半圆,如图8所示,则阴影部分的面积是　　　　.  图8

7、 15.如图9所示,把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在AD边上的点P处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则BC边的长为　　　　.  图9 16.如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设移动的时间为t s,当t=　　　　时,△ABP为直角三角形.  图10 三、解答题(共52分) 17.(6分)如图11,在△ABC中,D是BC上的一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17. (1)判断AD与BC的位置关系,并说明理由; (2)求△ABC的

8、面积. 图11 18.(6分)如图12,在△ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,试求△ABC的面积. 图12 19.(6分)如图13是某同学设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4 m,又往北走1.5 m,遇到障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m后往东一拐,仅走0.5 m就到达了B处,则点A,B之间的距离是多少? 图13 20.(6分)如图14所示,有两根长杆隔河相对,一杆高3 m,另一杆高2 m,两杆相距5 m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼

9、鹰,它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动) 图14 21.(6分)如图15,河边有A,B两个村庄,A村距河边10 m,B村距河边30 m,两村平行于河边方向的水平距离为30 m,现要在河边建一抽水站,需铺设管道抽水到A村和B村. (1)求铺设管道的最短长度是多少,请画图说明; (2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少? 图15 22.(6分)有一个如图16所示的长方体的透明鱼缸,假设其

10、长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵. (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?请画出它的爬行路线,并用箭头标注; (2)试求小虫爬行的最短路程. 图16 23.(8分)如图17,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均 为1. (1)如图①,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由; (2)如图②,连接三格和两格的对角线,求∠α+∠

11、β的度数(要求:画出示意图,并说明理由). 图17 24.(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是:①如图18,先裁下一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm 的长方形纸片ABCD;②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据步骤①②解答下列问题: (1)找出图中∠FEC的余角; (2)求EC的长. 　 图18 答案 1.B　2.C　3.A　4.C　5.D　6.C　7.B　8.C　9.D　10.D　 11.60°　 12.答

12、案不唯一,如20,99,101　 13.18　 14.6 15.24　 18.解:如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD和Rt△ACD中, 因为AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2, 所以AB2-BD2=AC2-CD2. 设CD=x, 因为AB=17,BC=9,AC=10,所以BD=9+x, 故172-(9+x)2=102-x2, 解得x=6. 所以AD2=AC2-CD2=102-62=82. 所以AD=8. 所以△ABC的面积为·BC·AD=×9×8=36. 19.解:如图,过点B作BC⊥AD于点C.由图可知AC=4-2+0.5

13、=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5 m,即点A,B之间的距离是6.5 m. 20.解:由题意可知AB=2 m,CD=3 m,BC=5 m,AE=DE. 设BE=x m,则EC=(5-x)m. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2. 在Rt△DCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2. 所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,则5-x=2. 所以杆AB底部距小鱼3 m,杆CD底部距小鱼2 m. 21.解:(1)如图,过点

14、A作AC垂直河边于点C,延长AC至点D,使CD=AC,连接BD,交河边于点E,连接AE,则抽水站应建在点E处,可使铺设的管道最短,最短长度为AE+BE,即BD的长. 过点B作BF⊥AC于点F. 由题意,得AC=10 m,CF=30 m,BF=30 m, 所以CD=AC=10 m. 所以DF=10+30=40(m). 在Rt△BDF中,BD2=302+402=502, 所以BD=50 m. 即铺设管道的最短长度是50 m. (2)最低费用为50×500=25000(元). 22.解:(1)如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接A'G,与BC交于点Q,连接AQ,QG,则

15、 AQ→QG为最短路线. (2)由(1)得A'B=AB=60 cm.因为AE=40 cm,AA'=120 cm,所以A'E=120-40=80(cm).因为EG=60 cm,所以A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000.所以A'G=100 cm.所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm.所以小虫爬行的最短路程为100 cm. 23.解:(1)AB⊥BC.理由:如图①,连接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°. 所以AB⊥BC.

16、 (2)∠α+∠β=45°.理由:如图②,在格点上取一点B,连接AB,BC.由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形且 ∠ABC=90°.又因为AB=BC,所以△ABC是等腰直角三角形.所以∠BAC=45°,即∠α+ ∠γ=45°.由图可知∠β=∠γ,所以∠α+∠β=45°. 24.解:(1)∠CFE,∠BAF. (2)由折叠的性质,得AF=AD=20 cm,EF=DE.设EC=x cm,则EF=DE=(16-x)cm. 在Rt△ABF中,BF2=AF2-AB2=202-162=144,所以BF=12 cm. 所以FC=BC-BF=20-12=8(cm). 在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,即(16-x)2=82+x2,解得x=6, 所以EC的长为6 cm. 11 / 11