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1、第第2 2章章 线性偏微分方程的分类线性偏微分方程的分类Linear Partial Differential Equations2.1 偏微分方程的基本概念),(21nxxxx自变量),()(21nxxxuxu未知函数121112(, ,)0nmnmmmnnuuuF xxuxxxxx偏微分方程的一般形式PDE的阶：PDE的解 古典解广义解一些概念:是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。 线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE12nmmmm线性线性PDE：PDE中对所含未知函数及其各阶导数未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：2111
2、1,11( ,)( ,)( ,)( ,)nnijnjnnni jjijjuuaxxb xxc xx uf xxx xx , ,ijja b c f其中是给定的函数。,ijja b c系数均为常数.常系数线性常系数线性PDE:不然称为变系数变系数的齐次线性齐次线性PDE:0f .不然称为非齐次非齐次的线性线性PDE的主部的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分。主部PDE中对最高阶导数是线性的。例如：半线性半线性PDE：完全非线性完全非线性PDE：PDE中对最高阶导数不是线性的。211,111(, ,)(, ,).nijnni jnijnuuuuuau xxfu xxxxx xxx 211,11(
3、 ,)(, ,).nijnni jijnuuuaxxfu xxx xxx 拟线性拟线性PDE：拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）0 xu1.0 xuatu2.atxx变换解为：)(yfu 解为：)(atxfu0ua举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）022222xuatu4.02txu3.解为：)()(thxguatxatx变换02u解为：)()(atxhatxgu02222yuxu5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。)(zfr1ln也是解22yxr0633xu
4、xuutu6.特解都不易找到KDV方程举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）其中7.uxteuuu拟线性拟线性PDE8.22vvvvvyyyxxx拟线性拟线性PDE9.)()(,(yxvyyxxvvevvyxa半线性半线性PDE10.uuuxtsin半线性半线性PDE11. 222uuuxt完全非线性完全非线性PDE举例举例（未知函数为二元函数）（未知函数为二元函数）0222222zuyuxutuzuyuxu22222222222222tuzuyuxu拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程举例举例（未知函数为多元函数）（未知函数为多元函数）2.2 二阶线性偏微分方程的分
5、类两个自变量，齐次两个自变量，齐次222111222122220uuuuuaaabbcuxx yyxy 主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。),(),(yxyx非奇异非奇异0yxyx（1）),(),(yxyx),(yxu),(u复合求导xuxuxuyuyuyu2222222222222)(2)(yuyuyuyyuyuyu2222222222222)(2)(xuxuxuxxuxuxuyxuyxuyxuyxyxuyxuyxu22222222)(222111222122220uuuuuaaabbcuxx yyxy 222*111222122220uuuuuaaabbc u
6、 系数之间的关系*2211111222()2()aaaaxxyy*2222111222()2()aaaaxxyy*12111222()aaaaxxxyxyyy（2）（1）（3）其他系数之间的关系222*111122212222,baaabbxx yyxy *( ( , ), ( , )cc xy （3*）222*211122212222,baaabbxx yyxy 0)(2)(22212211yzayzxzaxza考虑考虑如若能找到两个相互独立的解),(yxz),(yxz那么就作变换),(),(yxyx从而有*11220aa（4）0)(2)(22212211yzayzxzaxza假设是方程),
7、(yxz的特解，则关系式是常微分方程（4）Cyx),(0)(2)(22212211dxadxdyadya（5）的一般积分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。定义定义称常微分方程（5）为PDE（1）的 特征方程。特征方程。称（5）的积分曲线为PDE（1）的 特征曲线。特征曲线。0)(2)(22212211dxadxdyadya11221121212aaaaadxdy（6）记记2211212),(aaayx定义定义方程(1)在点 M 处是双曲型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx若在点M处，有0),(yx( ,
8、)x y双曲型双曲型PDEPDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异的右端为两相异的实函数实函数它们的一般积分为,),(CyxCyx),(),(),(yxyx由此令，方程（1）可改写为2uuuABC u双曲型方程的第一标准型ts2211122uuuuABC ustst双曲型方程的第二标准型抛物型抛物型PDEPDE0),(2211212aaayx1112aadxdy由此得到一般积分为,),(Cyx),(),(yxyx由此令其中,),(yx为独立的任意函数。由于0),(yx221112aaa*2211111222()2()aaaaxxyy022211
9、yaxa*12111222()aaaaxxxyxyyy022112211yaxayaxa由此推出因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型*2222111222()2()0aaaaxxyy而22uuuABD u椭圆型椭圆型PDEPDE0),(2211212aaayx11221121212aaaaadxdy右端为两相异右端为两相异的复数的复数由此推出两族复数积分曲线为,),(CyxCyx),(*其中),(),(),(21yxiyxyx),(),(),(21*yxiyxyx),(),(21yxyx由此令从而方程（1）可改写为， 满足方程（4）i0)()()(2)(22212211yiayixiax
10、ia*1122120aaia*1122120, 0aaa2222uuuuABC u椭圆型方程的标准型例例1 10222yyxyxxuyxyuux0)()(222yxxyx,y抛物型方程xyxxydxdy21cxy令xyy01012xxyyxyx02uy0u)()(),(hgu)()(),(xyhyxygyxu例例2 202xxttuau0)(2at,x双曲型方程adtdx1catx2catx例例3 30yyxxuyuTricomi方程椭圆型双曲型0y0y抛物型0yyx,y)(0)(y , 00)(y , 00)(y , 0yydxdy0y0dyyidxCyix3322332yx0y0dyydx
11、Cyx3)(322323)(32)(32yxyx031uuu)()(61uuu1、确定下列各方程为双曲线型、抛物型或椭圆型的范围，并在相应的区域中化方程为标准形式：2xxyyxuux( a) 0 xxyyuxyu( c) 2xxyyuy uy( b) 222xxxxyyyx uxyuy ue(e) 0 xxxyyyuuxu( d) xyxxyye ue uu( f ) 2、求出下列各方程的通解，并代回原方程来检验是否有解：22220 xxxyyyxyx uxyuy uxyuy u(a) 2220 xxyyyyuc yuc u(b) （c为常数）210 xxyyuuc( c) （c为常数）320 xxxyyyuuu( d) 109xxxyyyuuuy( e) 3、求下列方程的特征线，并化方程为标准形式：2345xxxxyyyxyuuuuuue( a) 24230 xxxyyyuuuu( b) 547sinxxxyyyyuuuux(c) 280 xxyyxyuuuuu( d) 292xyyyxyuuuu( e) 97cosyyxyuuuy( f ) 4、已知常系数抛物型方程xxtxuaubucuf证明如果作代换12bxuve那么原方程当 时将化为热传导方程2(/4)cb xxtvavg其中2bxgfe
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