量子力学习题问题详解

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1、word 量子力学习题答案 在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： ； 由于所考虑的电子是非相对论的电子〔〕，故： 氦原子的动能是E=1.5kT，求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当时，其能量为 于是有 一维谐振子处于状态中，其中为实常数，求： 1.归一化系数；2.动能平均值。〔〕 解：1.由归一化条件可知： 取相因子为零，如此归一化系数 2. 假如，如此该态为谐振子的基态， 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值

2、问题，用F-H定理是非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 它的基态能量选择为参量，如此: ； 由F-H定理知： 可得： 2.2 由如下定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向(即向原点) 传播的球面波。 解： 在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向(即向原点) 传播的球面波。 2.3 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程 在各区域的具体形式为

3、Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ⑤ ⑥ ⑤ ⑥ ∴ 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。 对应于的归一化的定态波函数为 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解： 令，得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 可见

4、是所求几率最大的位置。 ，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳出现的几率为 令 当为几率最小位置 ∴是最可几半径。 (4) (5) 动量几率分布函数 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，

5、求与此对应的量子体系在如下情况下的定态能量与波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，如此有 哈米顿算符 其本征方程为 (无关，属定态问题) 令 ，如此 取其解为 (可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 即 ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为 (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 A

6、为归一化常数，由归一化条件 ∴ 转子的归一化波函数为 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，如此转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为 (式中设为的本征函数，为其本征值) 令 ，如此有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数 ∴ 转子的定态能量为 可见，能量是分立的，且是重简并的。 3.6 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解： 可见，动量的可能值为 动能的可能值为 对应的几率应为

7、上述A为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ ∴ 动量的平均值为 3.7 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 ∴ 动量几率分布函数为 (2) 或： 被积函数是个奇函数 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布

8、和能量的平均值。 解：一维无限深势阱的的本征函数和本征值为 粒子的几率分布函数为 先把归一化，由归一化条件， ∴ ∴ ∴ 3.9.设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方与角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此状态中，氢原子能量有确定值 角动量平方也有确定值 角动量Z分量的可能值为 ； 其相应的几率分别为 ， 其平均值为 3.11. 解：

9、 的矩阵元和的矩阵元。 解： 4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为 即 两边乘以，得 令 跟课本P.39(2.7-4)式比拟可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为 式中为归一化因子，即 4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 解： 设在的共同表象中，算符的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。 解：的久期方

10、程为 ∴的本征值为 的本征方程 其中设为的本征函数在共同表象中的矩阵 当时，有 ∴ 由归一化条件 取 对应于的本征值0 。 当时，有 ∴ 由归一化条件 取 ∴归一化的对应于的本征值 当时，有 ∴ 由归一化条件 取 ∴归一化的对应于的本征值 由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为 ∴对角化的矩阵为 按照与上同样的方法可得 的本征值为 的归一化的本征函数为 从的共同表象变到表象的变换矩阵为

11、 利用S可使对角化 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取的正方向为Z轴正方向建立坐标系，如此转子的哈密顿算符为 取，如此 由于电场较小，又把视为微扰，用微扰法求得此问题。 的本征值为 本征函数为 的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得

12、 得 ∴ 能量至二级修正值为 课堂上讲过的一些例题： 例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下， = = 0 证明：方法1 同理得： 方法二： 同理得： 例：空间转子处于如下状态 试问： 〔1〕Ψ是否是 L2 的本征态？〔2〕Ψ是否是 Lz 的本征态？ 〔3〕求 L2 的平均值；〔4〕在 Ψ态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值与其相应的几率。 Ψ没有确定的 L2 的本征值，故 Ψ 不是 L2 的本征态。 Ψ是 Lz 的

13、本征态，本征值为 。 〔3〕求 L2 的平均值 〔方法一〕 先验证归一化： 得 归一化波函数： 方法二 利用 〔4〕 例：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。 令：　u1 = Y11 u2 = Y10, u3 = Y1-1 ，如此 Lx 的矩阵元可如下计算： 利用 由此得Lx矩阵元 (Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)

14、21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2 同理可得： 例：证明一维谐振子 = 。 一维谐振子 Hamilton 量： 取μ作为参数λ 由F-y定理 得证。 例：设Hamilton量的矩阵形式为： 〔1〕设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似； 〔2〕求H 的准确本征值； 〔3〕在怎样条件下，上面二结果一致。 解:〔1〕c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为： H0 是对角矩阵，是Ha

15、milton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：E1(0)= 1; E2(0)= 3; E3(0)= - 2。由非简并微扰公式： 得能量一级修正： 能量的二级修正为： 准确到二级近似的能量本征值为： 〔2〕设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得： 得： (3) 将准确解按 c (<< 1)展开： 比拟〔1〕和〔2〕之解，可知，微扰论二级近似结果与准确解展开式不计c4与以后高阶项的结果一样。 27 / 27