《江苏省徐州市2019年中考数学总复习 提分专练05 相似三角形综合问题习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省徐州市2019年中考数学总复习 提分专练05 相似三角形综合问题习题（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、
提分专练(五) 相似三角形综合问题
|类型1| 平面直角坐标系中的相似
1.[2018·鄂州] 如图T5-1,已知直线y=x+与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于
点C0,-,交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M.
(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当△PAB的面积最大时,求△PAB的面积及点P的坐标;
(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时,求Q点的坐标.
图T5-1
|类型2|
2、相似三角形与四边形
2.[2017·大连] 如图T5-2①,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+
∠ADB=∠ACB.
(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为 ;
(2)求的值;
(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A'CD(如图②),连接BA',与CD相交于点P.若CD=,求PC的长.
图T5-2
|类型3| 相似三角形与平行四边形
3.[2018·重庆A卷] 如图T5-3,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD
于点F
3、.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.
(1)若AH=3,EH=1,求△ABE的面积;
(2)若∠ACB=45°,求证:DF=CG.
图T5-3
|类型4| 相似三角形与圆
4.[2017·苏州] 如图T5-4,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,点D在☉O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD
交OE边于点F.
(1)求证:△DOE∽△ABC;
(2)求证:∠ODF=∠BDE;
(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.
图T5-4
4、
|类型5| 相似三角形中的动点问题
5.[2015·宿迁] 如图T5-5,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,4),直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,点M是直线
AB上的一个动点,则PM长的最小值为 .
图T5-5
6.如图T5-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1 cm的速度分别沿CA,CB
向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单
位:s,0
5、为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求出S的最小值;若不存在,请说明理由.
图T5-6
参考答案
1.[解析] (1)将B(4,m)的坐标代入一次函数的关系式即可解得点B的坐标,再将A,B,C三点的坐标代入二次函数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BF⊥x轴于点F,则S△PAB=PE·AF.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+,即可得到S△PAB的函数关系式,将
6、其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得△MAD是等腰直角三角形,则△QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标.
解:(1)将B(4,m)的坐标代入y=x+,得m=×4+=,∴B4,.
将A(-1,0),B4,,C0,-的坐标代入y=ax2+bx+c得解得∴抛物线的解析式为y=x2-x-,∴y=(x2-2x)-=(x-1)2-2,故顶点M的坐标为(1,-2).
(2)如图①,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BF⊥x轴于点F.∵A(-1,0),B4,,∴AF=4―(―1)=5.设点P的坐标为n,n2-n-,则点E的坐标为n,n+.
∵点P在直
7、线AB下方,
∴PE=n+-n2-n-=-n2+n+2,∴S△PAB=S△APE+S△BPE=PE·AG+PE·FG=PE·(AG+FG)=PE·AF=×5-n2+n+2=-+,∴当n=时,△PAB的面积最大,且最大面积为,当n=时,n2-n-=×--=-,
故此时点P的坐标为,-.
(3)∵抛物线的解析式为y=x2-x-=-2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
又∵A(-1,0),∴点D的坐标为(3,0),
又∵M的坐标为(1,-2),∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8,DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8,∴AD2=
8、AM2+DM2,且AM=DM,
∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°,
又∵△QMN∽△MAD,
∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,∠MQN=90°,∠QMN=45°,
又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,此时点D(或点A)与点N重合(如图②),此时MQ⊥x轴,故点Q的坐标为(1,0).
2.解:(1)由于∠ABD+∠ADB=∠ACB,
所以∠BAD+∠ACB=∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,
故答案为:∠BAD+∠ACB=180°.
(2)作DE∥AB,交AC于点E,
则∠DEA=∠BAE,∠OBA=∠ODE,
又∵OB=OD,
9、
∴△OAB≌△OED(AAS),
∴AB=DE,OA=OE,
设AB=DE=CE=x,OA=OE=y,
∵∠EDA+∠DAB=180°,∠BAD+∠ACB=180°,∴∠EDA=∠ACB.
∵∠DEA=∠EAB,
∴△EDA∽△ACB,
∴===,
即=,4y2+2xy-x2=0,
∴2+-1=0,
解得=(舍负),∴=.
(3)作DE∥AB交AC于E.易知DE=CE,∴∠EDC=∠ECD,
∵∠DCA=∠DCA',
∴∠EDC=∠DCA',
∴DE∥CA',
∵AB∥DE,∴AB∥CA',
∴∠ABC+∠A'CB=180°,
∵△EAD∽△ABC,
10、
∴∠DAE=∠ABC=∠DA'C,
∴∠DA'C+∠BCA'=180°,
∴A'D∥BC,∴△PA'D∽△PBC,
∴==,∴=,
即=,∵CD=,∴PC=1.
3.解:(1)∵BH⊥AE于点H,AB=AE,AH=3,EH=1,
∴AE=AH+EH=4=AB.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得BH==.
∴S△ABE=AE·BH=×4×=2.
(2)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC.
∵在▱ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∴△AOF∽△COE.
∴==1,从而AF=CE.∴DF=BE.
过点A作AM⊥BC,过点G作GN⊥BC,垂足分别为M,N,AM交BH
11、于点K,如图.
∵AB=AE,AM⊥BC,
∴BM=ME=BE,
∠BAM=∠EAM,
∠AMB=∠AHK=90°.
又∵∠BKM=∠AKH,
∴∠KBM=∠BAM.
∵∠AMC=90°,∠ACB=45°,∠GNC=90°,
∴∠MAC=45°=∠GCN.
∵∠AGB=∠GBC+∠GCN,∠BAG=∠BAM+∠MAC,
∴∠AGB=∠BAG.∴AB=BG.
又∵∠AMB=∠BNG=90°,∠MAB=∠GBN,
∴△ABM≌△BGN.∴BM=NG.
又∵BE=2BM,GN=GC,
∴BE=2×GC=GC.∴DF=CG.
4.解:(1)证明:∵AB是☉O的直径,∴
12、∠ACB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°.
∴∠DEO=∠ACB.
∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,
∴△DOE∽△ABC.
(2)证明:∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A.
∵∠A和∠BDC都是所对的圆周角,
∴∠A=∠BDC,
∴∠ODE=∠BDC.
∴∠ODF=∠BDE.
(3)∵△DOE∽△ABC,
∴=2=,
即S△ABC=4S△DOE=4S1,
∵OA=OB,∴S△BOC=S△ABC,
即S△BOC=2S1.
∵=,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE,
∴S△DBE=S1,
∴BE=OE,
即O
13、E=OB=OD,
∴sinA=sin∠ODE==.
5. [解析] 根据垂线段最短,所以PM长的最小值就是当PM⊥AB时PM的长.
根据直线y=x-3与x轴,y轴分别交于点A,B,
令x=0,求得y=-3,所以B(0,-3),即OB=3;
令y=0,求得x=4,所以A(4,0),即OA=4.
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:
AB===5.
在Rt△PMB与Rt△AOB中,
∵∠PBM=∠ABO,∠PMB=∠AOB,
∴Rt△PMB∽Rt△AOB,
∴=,即=.
∴PM=.
6.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.根据勾股定理,得AB==5.
14、(1)以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①当△AMP∽△ABC时,=,
即=,
解得t=.
②当△APM∽△ABC时,=,
即=,
解得t=0(不合题意,舍去).
综上所述,当t=时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似.
(2)存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:
假设存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值.
如图,过点P作PH⊥BC于点H.则PH∥AC,
∴=,即=,
∴PH=t,
∴S=S△ABC-S△BPN
=×3×4-×(3-t)·t
=t-2+(00,∴S有最小值.当t=时,S最小值=.
即当t=时,四边形APNC的面积S有最小值,其最小值是 cm2.
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江苏省徐州市2019年中考数学总复习 提分专练05 相似三角形综合问题习题
