第五专题 矩阵地数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

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1、word 第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、数、条件数） 一、行列式 已知Ap×q, Bq×p, 则|Ip+AB|=|Iq+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会

2、归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：，etrA=exp(trA) 性质： 1.，线性性质； 2.； 3.； 4.； 5.为向量； 6.; 从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明； 7.,则,且等号成立的充要条件是A=0； 8.,则，且等号成立的充要条件是A=B（）； 9.对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m×n复矩阵A和B，tr(AHB)是m×n维酉空间上的积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的积，利用Cauch

3、y-schwarz不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m×n复矩阵A和B |tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时 0≤|tr(AB)|≤ 定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则 0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) λ1(B)表示B的最大特征值。 证明： tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≥0，又因为 A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/

4、2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A) =λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) 推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则 tr(A)tr(A-1)≥n 另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。 三、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。 定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A) 性质： 1.； 2.； 3.； 4.，其中X列满秩，Y行满秩

5、（消去法则）。 定理（Sylvester）：设A和B分别为m×n和n×l矩阵，则 Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。 四、相对特征根 定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程 |A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。 性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0 (因为B>0，所以B1/2>0) 注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以

6、特征根为实数。 定义：使(A-λiB)li=0的非零向量li称为对应于λi的A相对于B的特征向量。 性质： ① 设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则 A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l) B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量 （转化为求A B-1的特征向量问题）。 ② 设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则 B-1/2AB-1/2l=λl 可得 A (B-1/2l)=λB(B-1/2l) 则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量 （转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。 五、向量数与矩阵

7、数 向量与矩阵的数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量数。 1. 向量数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。 则称为V中向量x的数，简称为向量数。定义了数的线性空间定义称为赋线性空间。 例1. ，它可表示成，， 就是一种数，称为欧氏数或2-数。 证明： （i）非负性 ， 当且仅当时，即x＝0时，＝0 （ii）齐次性 （iii）三角不等式 ， 根据Hö

8、lder不等式： ， 2. 常用的向量数（设向量为） 1-数：； ∞-数：； P-数： （p>1, p=1, 2,…,∞,）; 2-数：; 椭圆数(2-数的推广): ，A为Hermite正定阵. 加权数：， 当， 证明：显然满足非负性和齐次性 （iii） ，， 应用Hölder不等式 即 3. 向量数的等价性 定理 设、为的两种向量数，则必定存在正数m、M，使得 ，（m、M与x无关），称此为向量数的等价性。 同时有 注： （1）对某一向量X而言，如果它的某一种数小（或大），那么它的其它数也小（或大

9、）。 （2）不同的向量数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。 4、矩阵数 向量数的概念推广到矩阵情况。因为一个m×n阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何一种向量数都可以认为是m×n阶矩阵的矩阵数。 1. 矩阵数定义：设表示数域C上全体阶矩阵的集合。若对于中任一矩阵A，均对应一个实值函数，并满足以下四个条件： （1）非负性： ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性： （3）三角不等式：,则称为广义矩阵数； （4）相容性：,则称为矩阵数。 5. 常用的矩阵数 （1）Frobenius数（F-数） F-数：

10、= = 矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵数与向量数的协调性。 定义：如果矩阵数和向量数满足 则称这两种数是相容的。 给一种向量数后，我们总可以找到一个矩阵数与之相容。 （2）诱导数 设A∈Cm×n，x∈, 为x的某种向量数， 记 则是矩阵A的且与相容的矩阵数，也称之为A的诱导数或算子数。 （3）p-数：， ,x为所有可能的向量，， ， ，， 可以证明下列矩阵数都是诱导数： （1） 列（和）数； （2） 谱数； 的最大特征值称为的谱半径。 当A是Hermite矩阵时，是A的谱半径。 注：谱数有许多良好的性质，因而经常用

11、到。 （3） 行（和）数 （ ，） 定理 矩阵A的任意一种数是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种数是等价的。 定理 设A∈×n，x∈, 则和是相容的 即 证明：由于成立。 定理 设A∈×n，则是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V∈×n，有 证明： 定义 设A∈×n，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为ρ(A)。 定理 ρ(A)不大于A的任何一种诱导数，即 ρ(A)≤ 证明：设λ是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即 Ax=λx 则 |λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||,

12、 ||x||≠0 即 |λ|≤||A|| 试证：设A是n阶方阵，||A||是诱导数，当||A||<1时，I-A可逆，且有 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 证明： 若I-A不可逆，则齐次线性方程组 (I-A)x=0 有非零解x，即x=Ax，因而有 ||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x|| 但这是不可能的，故I-A可逆。 于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1 因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1|| ≤1+||A||﹒|| (I-

13、A)-1|| 即证 ||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1 补充证明||I||=1： 由相容性可知： ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I|| 对于诱导数( ) 。 六、条件数 条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义：设矩阵A是可逆方阵，称||A||﹒||A-1||为矩阵A的条件数，记为cond(A)，即 cond(A)= ||A||﹒||A-1|| 性质： （1）cond(A) ≥1,并且A的条件数与所取的诱导数的类型有关。 因cond(A)= ||A||﹒||A-1||≥||A A-1||=||I||=1 （2）con

14、d(kA)= cond(A)=cond(A-1)，这里k为任意非零常数。 当选用不用的数时，就得到不同的条件数，如： cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1 cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞ cond2(A)= ||A||2﹒||A-1||2=，其中分别为AHA的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数 特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有 cond2(A)= 这里分别为A的特征值的模的最大值和最小值。 如果A为酉阵，则cond2(A)=1 例 求矩阵A的条件数cond1(A)，cond∞(A) 解： ||A||1=max{6;14

15、;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14; 故 ||A-1||1=17/4; ||A-1||∞=47/4; cond1(A)= ||A||1﹒||A-1||1=14×17/4=259/2; cond∞(A)= ||A||∞﹒||A-1||∞=611/4。 例 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。讨论当b有误差δb时，解的相对误差δx的大小。 解：因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b，设解的误差为δx，由 A(x+δx)=b+δb 得 Aδx=δb或δx=A-1δb 得 （1） 又Ax=b，可得 ，或

16、 （2） 所以由（1）和（2），得 这说明相误差的大小与条件数cond(A)密切相关；当右端b的相对误差一定时，cond(A)越大，解的相对误差就可能越大；cond(A)越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(A)可以反映A的特性。 一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。 鉴于矩阵A的条件数数cond(A)有多种，但最常用的条件数是由谱数||A||2导出的，称为谱条件数。在本章中，若无特别声明，讨论的条件数都是谱条件数。 谱条件数： 若A是m×n阶矩阵，且rank(A) =t≤n，则A的条件数定义为 即最大奇异值与最小非零奇异值的商。 （3）其它性质 对任意酉矩阵Q，cond(QAQH)= cond(A-1)； 。 （因） 17 / 17