《计算机控制系统》教学资源计算机控制系统(二)

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1、第2章 计算机控制系统的信号特征 数字计算机只能接受和处理 二进制代码，这些二进制代 码可以表示某一种物理量的大小或某个数值，称为数字信 号。实际系统中的被控制量大都是一些在时间上连续的信 号，一般称为模拟量或连续量。因此计算机控制系统也可以 称为数字控制系统、离散控制系统或采样控制系统，而模拟 控制系统也称为连续控制系统。 本章首先介绍离散时间控制系统中信号类型，并从频域 角度研究离散模拟信号的特性。 2.1信息变换原理 数字控制系统方框图及系统信息 在 DDC (Direct Digital Control )系统中，数字计算 L k hi hi U.区 L 连续模拟离散模拟

2、离散数字离散数字 离散模拟连续模拟连续模拟 -1 - 图2.1计算机控制系统中前后的信息转换关系 2.1 机主要起着控制器的作用。系统方框图及信号形式如图 所示。 名词说明： 连续信号 — 指在时间上是连续的，在幅值上也是连续的 信号，在数学上可以用连续函数表示。 离散模拟信号— 指在时间上是离散的，而在幅值上表示 连续量大小的信号。 数字信号 — 在时间上是离散的， 而在幅值上也是离散 （已 经被量化）的信号。 2.1.2 采样过程及理想采样信号的特征 1 、采样过程 所谓采样，就是一种作用或过程，取某种东西的一小部 分用于测试或分析。在计算机控制系统中

3、，将连续信号转变 成离散信号。 采样过程如图 2.2 所示。 连续彳t号f⑴通过采样开关后变成一组脉冲序列f*（t）, “*”表示 在时间上是离散的。 脉冲宽度T代表采样一个信号所需要的时间（即采样开始到结束 的时间），相邻两次采样之间间隔时间T称为采样周期，通常比脉宽。 大得多。 f（t） t 采样开关 图2.2采样过程 理想采样过程: 有限宽度的脉冲序列可以近似看成理想脉冲序列，如图所示。 理采样间隔大小可以是随机的，也可以按规定规律变化。 图2.3理想采样过程 如图2.4所示。今后我们讨论的采样信号都是指均匀采 样。若计算机

4、控制系统中各点采样的采样周期都相同，称为 单速率采样系统；若一个系统中有几种采样周期，则称为多 速率采样系统。 2、理想采样信号的特性 ⑴ 理想采样信号的时域数学描述 图所示的理想采样信号可以看成是连续信号f(t)调制一组 脉冲序列T(t)的幅度调制脉冲信号，如图示。其中，T⑴为单 (a) IIIIIII 0T2T3T4T5T6T UUIIIIIIIIII 「 0T2T3T4T5T6T + 0 + T + 2T + 3T + 4T+ 5T + 6T + (C) I II I 0 图2.4采样形式 (a)均匀采样；(b)非均匀采样；(c)随机采样 位脉冲周期

5、函数。 采样开关 图2.5脉冲幅度调制器 T(t) T(t nT) (t 2T) (t T) (t) (t T) (t 2T)(2.1) n f(t)由t=0时刻开始，则 _ * _ f (t) f(t) T(t) f(t) (t)f(t) (tT)f(t) (t2T) f(0) (t)f(T) (tT)f(2T) (t2T)(2.2) 式)不仅描述了采样信号的基本特征，更重要的是给由 了被采样的连续信号f(t)和采样信号f*(t)在时域中的关系。由 式(2.2)不难理解，理想采样信号f*(t)可以看作连续信号f(t) 对单位脉冲序列T⑴调制的结果，理想采

6、样过程可以看作是 脉冲调制过程， 连续信号 f(t) 为调制信号， 单位脉冲序列 T(t) 为载波信号，理想采样开关就是单位脉冲发生器，每隔时间 T 瞬时接通一次，就相当于产生一个单位脉冲。 ⑵ 理想采样信号的特性分析 ①采样信号f*(t)损失了连续信号f⑴采样时刻之间的变 化信息； ② 损失信息的多少与采样周期 T 和连续信号f (t) 的变化 速度快慢有关。 * 采样信号 f (t) 能否完全反映连续信号f(t) 的变化规 * 律，或者说f⑴能否包含f⑴中的全部信息？ * 采样信号 f (t) 的信息损失和采样周期 T 有何关系 ？ * 为此，下面就这两个问

7、题对采样信号f (t) 在频域中予以 定量分析。 对采样信号进行频域分析就是研究它的频谱特性。 由式( 2.1 )可知， T(t) 是一个周期为 T 的周期函数，所 以它可以展开成指数型富氏( Fourier )级数，即 2.3) T (t) Cnejn st n 式中： s，为采样角频率（简称采样频率）； T Cn 1 T（t）e jn stdt为富氏系数。 T T 2 因为在 T2，T2时间内，t⑴仅在t=0处值等于1 ,其余均 为零，并且ejn stt0=1所以， C1 0 ,、，1 Cn— T(t)dt—(2.4) I 0I 因而得： 1J st

8、 T(t) Te(2.5) I n 将(2.5)式代入(2.2 )式，则有 f 1 F (j ) - F(j jn s) (2.8) I n (t):“皿…(2.6) I n 对上式的f*(t)作拉氏变换，得 *.*1in t 1/――、 F (s) L [f (t)] L 1f(t)ejn st- F (s jn s)(2.7 ) 1 n1 n * 令s j代入式(2.7),便得到采样信号f⑴的富氏变换 F (j ) A T F(j c) T" T1lF(j j c)l s s< 2 c (d) I -2 s x sc 岸0『 c s2 s (

9、sc) ( sc) 图2.6理想采样器输入输出信号频谱|F(j )和|F*(j )| (a)连续信号频谱 (b)、(c)满足采样定理的离散信号频谱 (d)不满足采样定理的离散信号频谱 上式就是采样信号f⑴的频率特性表达式，又称f⑴的频谱 函数，而频谱函数的模F (j )称为f*⑴的振幅频谱，简称为频 *, 谱。因此，f⑴的频谱写成下式 L *，.、1 F (j ) = - F(j jn s)(2.9) T n * , 它给由了采样信号f⑴与连续信号f⑴在频域中的相互关系, * 从而找由信号f⑴和信号f⑴之间的内在信息关系。 式()说明： 采样信号f*⑴的频谱F*(j

10、)是以采样频率s为周期的频 率 的周期函数；F (j )在频率轴上是以采样频率 s为间隔 的，与连续信号频谱F(j ) (图2.6(a)所示)形状相似的无 i -F(j jn s) 穷个分频谱T, n=0, ±1, ±2,…之和组成的，如图 2.6 中(b) , (c) , (d)所示。 1 L , .、 - F ( j ) 式0中，n 0的项T正比于连续信号f⑴的频谱 1 F(j )称为主频谱，T为比例因子，也称为采样增益，其余 n 1 7F(j jn s)F/j) N0的各项T称为旁频谱，它们的形状均与F(j )相 1 似，仅相差一个比例因子 T,在频率轴上同

11、 1 1F(j ) 相隔n so 由图2.6可以看生，如果连续信号f⑴的频谱是有限带 宽的，即存在上限频率c,当n c时，F(j ) ° (a)所示; *, 采样频率s 2 c (或7 / c),那么相应的采样信号f⑴的频 谱F(j )如图2.6 (b)、(c)所示，相邻分频谱互不重叠， 采样信号的频谱在cc频段内就包含了连续信号f⑴频 谱F(j )的全部频率成分。 可以设想，如果用一个理想低通滤波器(其频率特性 H(j )为门形，在s/2s/2频段内，其幅值为常数1,如 图2.6 (b)、(c)所示)滤掉频段cc以外的所有的旁 频谱的频率成分，那么，就可以得到连续信

12、号f(t)的完整频 谱，如图2.6 (b)、(c)中矩形方框所示。这就意味着，在 上述条件下，采样信号f*(t)通过理想低通滤波器H(j)就能够 完全精确地恢复原有连续信号。由此可以判断，当上述条件 满足时，采样信号f*(t)就包含了连续信号f(t)的全部信息，或 者说信号f*(t)能够反映信号f⑴的全部变化规律。 由图2.6可以看由，如果上述条件不满足，即采样频率 s<2 c (或t> / c),那么相应的采样信号频谱F*(j )如图 2.6(d)所示，相邻分频谱之间就由现部分重叠(称为“混叠” 现象)，在这种情况下，采样信号频谱|F*(j )中就不会包含连 续信号f(t)频谱|F(

13、j )的全部频率成分，而仅包含 |F(j )在 (s c)( s c)频段内的频谱成分。而在(s c)c和 c ( s c)频段内，由于主频谱和旁频谱重叠，使得 F*(j )在这两个频段内的频率成分畸变。因而在此情况下, 无论如何都无法从|F*(j )中获得连续信号f⑴的完整频谱 F(j )。这就意味着无法由信号f*(t)精确恢复原有连续信号 f(t)o所以在这种情况下，采样信号f*⑴就不会包含连续信号 * , f(t)变化的全部信息，f⑴只能近似地大体上反映f⑴的变化 .. _ * . . . . . 状况。由f⑴经过低通滤波所恢复的连续信号的波形与原有 连续信号f⑴相比将

14、会有明显失真。当采样频率s取得越小 于2 c, f*(t)的频谱F*(j )中的主频谱与旁频谱之间的重叠范 . . . * . . . . . . . . . . .. 围就越宽，相应采样信号f⑴的信息就越多，由f⑴恢复的 连续信号的失真就越严重。通常称这种现象为“混叠效应”。 工程上为了避免由现“混叠效应”，通常取采样频率s远 大于2 c,使得f*(t)的频谱中的主频谱，F(j )与旁频谱 lF(j jn s)在频率轴上拉开较大的距离，如图 2.6 (b) 所示，拉开的距离越大，产生“混叠效应”的可能性就越小。 如果被采样的连续信号f(t)中含有高频干扰信号，为了防止 “混叠效

15、应”由现，造成有用的低频信号失真，工程上常采 用前置高频滤波器先对连续信号进行滤波，滤除或衰减f (t) 中的高频干扰成分，然后进行采样。 2.1.3采样定理 1、香农（Shannon ）采样定理 如果对一个具有有限频谱的连续信号f （t）进行连续采样, 当采样频率满足下式关系，即 2 s 2 max（） * , 则采样信号f⑴能无失真地复现原来的连续信号f（t）o 上式中，max —连续信号f⑴的最高频率； 2 s一 ■-、 T 一米样频率。 2、采样周期T的选择 采样周期T的大小对系统的影响。 结合工程经验来进行折中选取采样周期 To常用方法有如 下几种：

16、 ⑴直接按照工程经验选取 监控物理量 采样周期（sec） 备注 1〜5 优先选用2s 压力 1〜10 优先选用6s 液向 5〜10 温度 10 〜20 成分 10 〜30 ⑵按照开环系统频率特性截止频率c选取 对于电机控制系统，尤其是快速随动系统，采样周期 T 的选取较为严格，应该认真仔细考虑，常根据控制系统的动 态品质指标来选取。假如控制系统预期开环频率特性如图 2.7 (a)所示，则闭环系统预期频率特性如图 2.7 (b)所示。 (b) 图2.7控制系统的频率特性 (a)预期开环频率特性；(b)预期闭环频率特 在

17、一般情况下，闭环系统的线性连续部分的频率特性都 具有低频滤波器的性质。当控制系统的输入信号频率高于谐 振频率0时，将会很快地衰减。反馈理论指由，0很接近它 的开环频率特性的截止频率 c,超过c的分量都被系统连续 部分的低通滤波特性大大地衰减掉了。根据经验，模拟校正 环节的功能用数字计算机来实现时，选择的采样频率为 s 10 c sc 按上式可以得由系统的采样周期 ⑶按开环传递函数选取 G(s) N(s) n1n21 sm(Tis 1)[(s —)2j2] i 1j 1j 其对应的脉冲响应函数g(t)中的基本分量为, (i 1,2, ,a) (j 1,2, n),其中Ti

18、, j为时间常数，j为阻 尼振荡角频率，tj 2 / j为阻尼振荡周期。由此可以近似了 解系统动态过程中信号的最快变化速度或最高的频率分量, 因而可以作为采样周期选取的依据。采样周期的最大值为 1 Tmax 2 [T1 ,T2 , ,t1 , t2 ] min 般选取采样周期为 Tmax 4"工， ，tl，t2 ] min ⑷按照开环系统阶跃响应上升时间tr选取 图2.8系统典型阶跃响应 (a)过阻尼系统；(b)欠阻尼系统 两种典型情况：(a)为过阻尼系统；(b)为欠阻尼系统。 对于过阻尼系统，tr取单位阶跃响应到达其稳态值y的

19、63.2 %勺时间(相当于一阶系统的时间常数)，如图2.8 (a) 所示。对于欠阻尼系统，tr取单位阶跃响应第一次到达其稳 态值y的时间，如图2.8 (b)所示。我们知道，阶跃响应的 初始阶段反映了响应中的高频分量，所以按照tr选取采样周 期T,就相当于按照响应中的高频分量的周期选取T, 一般 数字计算机作为控制系统的信息处理装置，将信息处理 的结果输出一般有两种方式，一种是直接数字输出，就是直 接以数字形式输由。另一种情况是需要把数字信号转换成模 拟信号输由。 保持器的作用表现在两方面: 一是由于采样信号仅在采样开关闭合时刻有输由，而在其 余时刻输由为零，所以，在两次采样开关闭合的中

20、间时刻, 存在一个采样信号如何进行保持的问题，从数学上来讲，就 是解决两个采样点之间的插值问题; 二是保持器还要完成一部分滤波器的作用。 理想滤波器 如图所示，理想低通滤波器的频率特性满足以下方程: 1 , H(j ) 0 , |H(j )| 1 ss 图2.9理想滤波器的幅频特性 满足式()关系的理想特性滤波器，在物理上无法实现。 因此，必须找由在特性上与理想滤波器相近的实际滤波 器，保持器就是这样一类实际滤波器。 从保持器的特性来看， 它是一种在时域内的外推装置，具有常值、线性、二次函数 (抛物线)型外推规律的保持器。能够物理实现的保持器都 必须按现在时刻或过去时刻的

21、采样值实行外推，而不能按将 来采样值来进行外推。 例如，在相邻两个采样时刻kT和(k 1)T之间的信号f(t), 必须用“融在* 1)T以前的kT , (k 1)T , (k 2)T ,…等采样时刻 的数值来估计。数学上两点之间的函数可以用下述幕级数展 开式表示： .' _ j .. f (kT) 一/、 fk(t) f(kT) f (kT)(t kT) -J2!-2(t kT)(2.17) 式中fk(t)f(t) k- t (k 1)T() f (kT) df(t) dt t kT f (kT) d2f(t) dt2 t kT 式()、式()的计算可

22、用f(kT), f[(k 1)T],,来估计 阶导数的一种简单估计式为 , f(kT) f[(k 1)T] f (kl )t _ • _ • _ •• f (kT) f (kT) f [(k 1)T] T f(kT) 2f[(k 1)T] f[(k 2)T] T2 如此等等 从这些导数近似表达式中可见，导数阶次越高，所需的 延迟脉冲的数目越多。延迟数目越多，估计精度就越高，但 时间延迟对反馈系统的稳定性有严重影响。为此，目前常利 用()式的第一项来重构信号，由于它是多项式中零阶项， 所以通常称为零阶外推插值。 又因为在区间kT t (k 1)T内保 持不变，故又称为零阶保

23、持器(Zero Order Holder )，常用 ZOH来表示。若利用()式前两项来估计f(t),这种装置通常 称为一阶外推插值(或一阶保持)，它在数字仿真时常会用 到。 2.2.2零阶保持器 零阶保持器时域方程为 fk(t)f(kT) kT t (k 1)T() 由上式可以看由，零阶保持器是按常数外推的，而且只 依赖现时刻kT的序列值f(kT)外推，当下一时刻(k 1)T到来时, 就换成下一时刻的序列值f[(k 1)口继续外推。离散信号序列 的每个值f(kT), k=0,1,2,…，经零阶保持器外推后都将持续保 图2.11零阶保持器的输入输出信号 持一个采样周期T

24、o对应的零阶保持器输生是一个方波，其 幅值等于对应的序列值f(kT),宽度为一个采样周期To离散 信号通过零阶保持器外推后就恢复成阶梯形连续信号fh(t), 如图2.11所示。 保持器的另一个作用就是有一定的滤波作用。现在来研 究零阶保持器的频率特性，评价它的滤波特性。首先求生 零阶保持器的传递函数，若零阶保持器的输入为单位脉冲函 数(t),其输由必在一个采样周期 T内保持为常数1的方波 信号，其脉冲过渡函数ghKt)示。 gho(t) 1(t) 1(t T)(4) 式中i(t)为单位阶跃函数。对式()求拉普拉斯氏变换，即 Ts 而⑸ L 5。-)]1-^-() s

25、 其频率特性为 1 e j T 丁 sin( T/" t/2(、 Gho(j )-j— TTT2-e() 因为T 2 / s,所以()式又可改写为 2 sin(/ s)o j ( / s)八 Gh0(j )e() s / s 对应的幅频特性为 Gho(j ) T sin( T/2) T/2 零阶保持器的幅频和相频特性曲线如图2.13所示。 图2.13零阶保持器频率特性曲线 (a)幅频特性 (b)相频特性 图2.13(a)为幅频特性，可以看由，在频率等于采样频 率整数倍处, Gh0(j时等于零，随着频率的增大幅值减小。在 s/2

26、 等于3 s/2, 5 s/2,…，由现不希望有的峰值。在 处，幅频特性最陡峭，Gh0(j⑴的幅值等于T,基本上表现为 一阶低频滤波器特性。当然，零阶保持器的幅频特性不是常 数，因此，系统中引入零阶保持器，必然会引起系统的频谱 失真。 零阶保持器相频特性如下: Gh0(j ) T/2 . T T sin—— 2 2 Tsin( T/2) T/2 .T j sin e 2 其中，ejT/2 T . T 一, sin —— 2 2 1800 或 1800 。 由式()可以看由，零阶保持器的相频特性 Gho(j )由两 当频率由 部分组成，

27、(T/2)和 sin( T/2)1800 或 1800。 0― s, s -2 s, 2 s -3 s,…变化时，幅频特性中sin( T /2) 的值正、负交替变化，则相频特性有180的突变，相频特 性曲线如图2.13(b)所示。因此，零阶保持器的相频特性在 2k /T,k 1,2,3, 处不连续。 零阶保持器的特性如下： ①零阶保持器确有低通滤波特性。在s /2的低频段范 围与理想低通滤波器特性相近， 在s / 2的高频段，虽然呈 现较大衰减特性，但与理想低通滤波特性差别很大，显然不 能完全滤除f *(t)中s /2全部高频分量。 ②由式()可以看由，零阶保持器的相频特性存

28、在较大 的负相移，负相移与采样频率s成反比(与采样周期 T成正 比)，最大可达180 o因此在计算机控制系统中引入零阶保 持器将使整个控制系统增加负相移，使系统闭环稳定性下 降，所以进行系统分析、设计时，必须予以考虑。在条件许 可下，适当提高采样频率s可以减小零阶保持器产生的负相 移。 2.2.3 一阶保持器 一阶保持器的外推公式由()式的前两项组成，即 _ _ _ ' fk(t) f(kT) f (kT)(t kT)() 式中 fk(kT) f (t)kT t (k 1)T f (kT) f(kT) f[(k 1)T] T 一阶保持器是基于现时刻kT和前一时刻(k

29、1)T的两个序 列值，按照线性函数外推的。外推的线性函数斜率(即随时 间变化速度)等于前一时刻(k 1)T到现在时刻kT之间的序列 值平均变化速度即[f(kT) f(kT T)]/T。对于离散信号依次由现 的序列值，一阶保持器输生的连续信号fh1 (t)都是从现时刻由 现的序列值由发，并按照前一时刻到现时刻之间的序列值平 均变化速度，随着时间线性变化，直到下一时刻来到时，再 改从下一时刻由现的序列值由发，并按照现在时刻到下一时 刻之间的序列值平均变化速度，随时间线性变化，如此不断 外推下去。这样，离散信号 f*(t)通过一阶保持器外推后恢复 成锯齿状分段连续信号 储⑴，如图2.14

30、所示。 图2.14 一阶保持器输入输出信号 由图2.14可以看由，一阶保持器输生的外推部分与两 个采样值有关，其中一个是现在时刻的采样值f(kT),另一个 是前一时刻的采样值f[(k 1)T] o如果在外推规律中考虑更高 阶的差分，就势必牵连前面多个采样周期的采样值，所以， 差分的阶数越高，涉及的采样值就越多，因而高阶保持器能 在经过多个采样周期之后更逼真地复现原连续信号，但反应 慢，相位滞后严重，这对信号系统的稳定性是非常不利的， 故在闭环离散控制系统中一般不采用高阶保持器。 现在我们来分析一阶保持器的频率特性，首先求一阶保 持器的传递函数。参看图2.15(a),设一阶保持

31、器的输入为单 (t) gh1⑴ ——A —阶保持器 (a (a) 位脉冲函数(t),即 1k 0 _ * f (t)(t) 0k 0 则 f (0) 1, f( 2T) f( T) 0, f (T) f (2T)0 由式()可知在0 t T间隔内，一阶保持器的外推公式为 -25 - fo(t)f(0)9严() 因为f(0) 1,f( T) 0,因此单位脉冲响应为 ghi(t) f0(t)1 :() 在T t 2T间隔内，f(0) 1,f(T) 0, 一阶保持器的外推公式为 fi(t) f(T)”"(t T)() 在此间隔的脉冲响应为 ghi(

32、t) fi(t) 1 TT(2.34) 因为f(2T), f(3T),都等于零，所以其它间隔内的响应为零。参 看图(b)。 图2.15(b)中的实线表示由一阶保持器的脉冲响应函数 gh1(t)。单位脉冲响应函数gh1(t)可以分解为图2.15(c)所示的 函数g1(t), g2(t)与g3(t)之和，即 gh1 (t)g1(t)g2(t) g3(t)() 1 g1 (t)1(t) Tt ,() 1(t)为单位阶跃函数。 g2(t)2g1(t T)() g3(t) gi(t 2T) 上面三式的拉普拉斯氏变换分别为 d(s) L [gi(t)] 1 _1_ s

33、Ts2 G2(s) L [g2(t)]= 2 L [gi(t T)] 21 s Ts e G3(s) L [g3(t)]=L [gi(t 2T)] 1 Ts2 e 2Ts 由此可得，一阶保持器的传递函数为 J(s) Gi(s) Gz(s) G3(s) 1 Ts2 1 Ts2 Ts e 1 Ts2 2Ts e 1 Ts2 (1 e Ts)2 1 Ts 1 Ts 2 e s (2.39) 一阶保持器的频率特性为 Gh1(j )1 2 .T si

34、n — T .. 1 T2 2 2-e j T arctg( T) 2 因为s 2r所以 2 j 2 一 arctg 2 一 Ghi(j ) T,1 2 $ sin( / s)s s e / s 其幅频特性为 Ghi(j ) 「1 2 sin( / s) 相频特性为 h1(j ) arctg 2 一阶保持器的幅频和相频特性曲线如图。 由图表明: ①一阶保持器同样具有低通滤波特性。对于 s/2低 频分量不仅没有衰减，反而有所增强; 而对 /2高频分 量有较大衰减，但衰减量均比零阶保持器的衰减量小 所以

35、 一阶保持器恢复的连续信号中含有较强的高频率分量; ②一阶保持器相频特性只在 s/2很低频率范围内, 相移小于零阶保持器产生的相移，而对于 s/2高频分量, 其相移比零阶保持器产生的相移都大。 Ghi(j ) 图2.16 一阶保持器的频率特性 0和 因此 与零阶保持器相比，一阶保持器的频率特性在 s段内有峰值，高频分量较零阶保持器更容易通过， 输由纹波较大。另外在较高的频率部分相位滞后较严重，这 对反馈系统是不利的，因为开环传递函数的高频特性通常影 响着系统的稳定性。由于以上原因加之一阶保持器结构复 杂，所以虽然一阶保持器对输入信号有较好的复现能力，但 实际上较少采用。