（东营专版）2019年中考数学复习 专题类型突破 专题五 二次函数综合题训练

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1、 专题类型突破 专题五　二次函数综合题 类型一 线段、周长问题 (2018·宜宾中考改编)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1. (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设点S是直线l的一点，是否存在点S，使的SB－SA最大，若存在，求出点S的坐标． 【分析】 (1)设顶点式y

2、＝a(x－2)2，将点(4，1)代入即可求a的值，得出抛物线的解析式； (2)联立直线AB与抛物线解析式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为(0，m)，利用等式MA2＝MB2，求出点M的坐标； (3)利用最短线段思想，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l得出点P坐标； (4)由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SB－SA取得最大值． 【自主解答】 1．(2018·广西中考)如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，

3、其中A(－3，0)，C(0，4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； (3)试求出AM＋AN的最小值． 类型二 图形面积问题 (2018·菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D. (1)求此抛物线的解析式； (2)点E是抛物线上一点，且点E关

4、于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积； (3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积． 【分析】 (1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式； (2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积； (3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题． 【自主解答】 2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A

5、(0，1)，点B(－9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； (3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三 抛物线上架构的三角形问题 (2018·怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，

6、点D是该抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式； (2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标； (3)试探究：①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 (1)设交点式y＝a(x＋1)(x－3)，展开得到－2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C(0，3)，然后利用待定系数法求直线AC的解析式； (2)

7、利用二次函数的性质确定D的坐标为(1，4)，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MB＋MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； (3)①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线PC的解析式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标． ②因为△ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可． 【自主解答】 是否

8、存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点． 3．(2018·临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直

9、x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE. ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四 抛物线上架构的四边形问题 (2018·齐齐哈尔中考)综合与探究 如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C. (1)求抛物线的解析式； (2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值； (3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线

10、分别交于点P，N. ①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为________； ②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式； (2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得； (3)①由已知，注意相似三角形的分类讨论． ②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况． 【自主

11、解答】 解答存在性问题的一般思路 解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏． 4．(2017·天水中考)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC. (1)求A，B两点的坐标及抛物

12、线的对称轴； (2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 参考答案 类型一 【例1】 (1)∵抛物线的顶点坐标为(2，0)， 设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2. ∵该抛物线经过点(4，1)， ∴1＝4a，解得a＝， ∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1. (2)存在．

13、联立解得或 ∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，1)． 设点M的坐标为(0，m)， ∴MA2＝(0－1)2＋(m－)2， MB2＝(0－4)2＋(m－1)2. ∵点M到A，B的距离相等， ∴MA2＝MB2， 即(0－1)2＋(m－)2＝(0－4)2＋(m－1)2， ∴m＝，∴点M的坐标为(0，)． (3)存在． 如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值． ∵点B(4，1)，直线l为y＝－1， ∴点B′的坐标为(4，－3)． 设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将A(1，)，B′(4，－3)代入y＝k

14、x＋b得 解得 ∴直线AB′的解析式为y＝－x＋. 当y＝－1时，有－x＋＝－1， 解得x＝， ∴点P的坐标为(，－1)． (4)存在． 点S和点A，B在同一条直线上时，SB－SA最大． ∵点S在直线l上， ∴设点S的坐标为(n，－1)，代入y＝x得n＝－4， ∴点S的坐标为(－4，－1)． 变式训练 1．解：(1)把A(－3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－5ax＋c得 解得 ∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4. ∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3， ∴B(3，0)． ∵BD⊥x轴交抛物线于点D， ∴D点的横坐标为3， 当x＝3时，y＝－×9＋

15、×3＋4＝5， ∴D点坐标为(3，5)． (2)在Rt△OBC中，BC＝＝＝5. 设M(0，m)，则BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1. ∵∠MCN＝∠OCB， ∴当＝时，△CMN∽△COB， 则∠CMN＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)． 当＝时，△CMN∽△CBO， 则∠CNM＝∠COB＝90°， 即＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)． 综上所述，M点的坐标为(0，)或(0，)． (3)如图，连接DN，AD. ∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO. ∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.

16、 ∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN， ∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN， 而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)， ∵AD＝＝， ∴AM＋AN的最小值为. 类型二 【例2】 (1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5经过点B(－5，0)和点C(1，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x－5. (2)∵抛物线y＝x2＋4x－5交y轴于点A， ∴A点坐标为(0，－5)． 又∵点E关于x轴的对称点在直线AD上， ∴点E的纵坐标为5. 如图，过点E作EF⊥DA，交DA的延长线于点F， ∴EF＝5＋|－5|＝10.

17、设点D的坐标为(a，－5)， ∴a2＋4a－5＝－5， ∴a1＝0，a2＝－4， ∴点D的坐标为(－4，－5)， ∴AD＝|－4|＝4， ∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20. (3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，且该直线经过点B(－5，0)和点A(0，－5)， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x－5. 如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，交直线AB于点M. 设P(x，x2＋4x－5)，则M(x，－x－5)， ∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA ＝[(－x－5)－(x2＋4x－5)]×5 ＝－(x2＋5x)＝－(x＋)2＋， ∴当x＝－时，S△ABP

18、最大，最大值为. 将x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－， ∴P点的坐标为(－，－)． 变式训练 2．解：(1)把点A(0，1)，B(－9，10)的坐标代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1. (2)∵AC∥x轴，A(0，1)， 由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0. ∴C(－6，1)． 设直线AB的解析式是y＝kx＋b(k≠0)， 由解得 则直线AB的解析式是y＝－x＋1. 设点P的坐标为(m，m2＋2m＋1)，则点E的坐标为(m，－m＋1)，EP＝－m＋1－(m2＋2m＋1)＝－m2－3m. ∵AC⊥EP，AC＝6，

19、∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF ＝AC·(EF＋PF)＝AC·PE ＝×6×(－m2－3m) ＝－m2－9m＝－(m＋)2＋. 又∵－6＜m＜0， 则当m＝－时，四边形AECP的面积的最大值是， 此时点P的坐标是(－，－)． (3)由y＝x2＋2x＋1＝(x＋3)2－2，得顶点P的坐标是(－3，－2)，此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3， 则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°. 同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC. 可

20、求AB＝9，AC＝6，CP＝3， ①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1(t1，1)， 由＝，得＝，解得t1＝－4. ②当△CQ2P∽△ABC，设Q2(t2，1)， 由＝，得＝，解得t2＝3. 综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(－4，1)或Q2(3，1)． 类型三 【例3】 (1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)， 即y＝ax2－2ax－3a， ∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3. 当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)． 设直线AC的解析式为y＝px＋q， 把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得 ∴直

21、线AC的解析式为y＝3x＋3. (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(1，4)． 如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y轴于M. ∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小． ∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小． 易得直线DB′的解析式为y＝x＋3. 当x＝0时，y＝x＋3＝3， ∴点M的坐标为(0，3)． (3)①存在． 如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P. ∵直线AC的解析式为y＝3x＋3， ∴直线PC的解析式可设为 y＝－x＋b， 把C(0，3)代入

22、得b＝3， ∴直线PC的解析式为y＝－x＋3. 解方程组得或 则此时P点坐标为(，)． 如图，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P′， 直线P′A的解析式可设为 y＝－x＋b1， 把A(－1，0)代入得＋b1＝0，解得b1＝－， ∴直线PC的解析式为y＝－x－. 解方程组得或 则此时P′点坐标为(，－)． 综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)． ②存在． 当点M在x轴上时，设点M的坐标为(n，0)， ∵MA2＝MB2，即[n－(－1)]2＝n2＋(0－3)2， ∴n＝4，∴此时点M的坐标为(4，0)． 当点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，a)，

23、 ∵MA2＝MB2，即[0－(－1)]2＋(a－0)2＝(3－a)2， ∴a＝，∴此时点M的坐标为(0，)． 综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，0)或(0，)． 变式训练 3．解：(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1. ∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3. 又∵tan∠ABC＝2， ∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)． 把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4. (2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2. 如图，设点P的坐标为(

24、m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)， 则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2， 由PE＝DE得－m2－m＋2＝ (－2m＋2)， 解得m＝±1. 又∵－2＜m＜1， ∴m＝－1， ∴点P的坐标为(－1，6)． ②∵M在直线PD上，且P(－1，6)， 设M(－1，y)， ∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2， BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三种情况： (ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2， ∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，

25、 ∴M(－1，3＋)或(－1，3－)； (ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2， ∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1， ∴M(－1，－1)． (ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2， ∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)． 综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)． 类型四 【例4】 (1)将A(－4，0)代入y＝x＋c得c＝4， 将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3， ∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4. (2) 如图，作点C关于抛物

26、线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小． ∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3. 由勾股定理可得OC′＝5， ∴CE＋OE的最小值为5. (3)①当△CNP∽△AMP时， ∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称， ∴NC＝NP＝3， ∴△CPN的面积为. 当△CNP∽△MAP时， 由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°. 如图，过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为(a，0)， ∴EP＝EC＝－a， 则N为(a，－a2－3a＋4)，MP＝－a2－3a＋4－(－2a)＝－a2－a＋4， ∴P(a，－a2－

27、a＋4)， 代入y＝x＋4， 解得a＝－2或a＝0(舍)， 则N(－2，6)，P(－2，2)，故PN＝4. 又∵EC＝－a＝2， ∴△CPN的面积为4. 故答案为或4. ②存在．设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，－a2－3a＋4)，则P点坐标为(a，)， 把点P坐标代入y＝x＋4， 解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1. 当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D(，)； 当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)； 当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)． 变式训练 4．解：(1)当y＝0时，ax2－2

28、ax－3a＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)， 对称轴为直线x＝＝1. (2)∵直线l为y＝kx＋b且过A(－1，0)， ∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l为y＝kx＋k. ∵抛物线与直线l交于点A，D， ∴ax2－2ax－3a＝kx＋k， 即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0. ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4， ∴－3－＝－1×4，∴k＝a， ∴直线l的函数解析式为y＝ax＋a. (3) 图1 如图1，过点E作EF∥y轴交直线l于点F. 设E(x，ax2－2ax－3a)， 则F(x，ax＋a)，EF＝ax2－2ax－3a－

29、ax－a＝ax2－3ax－4a， ∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a， ∴△ACE的面积的最大值为－a. ∵△ACE的面积的最大值为， ∴－a＝， 解得a＝－. (4)以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形． 令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0， 解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)． ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， 设P(1，m)， 如图2，①若AD是矩形ADPQ的一条边， 图2 则易得Q(－4，21a)， m＝21

30、a＋5a＝26a，则P(1，26a)． ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP＝90°， ∴AD2＋PD2＝AP2， ∴52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－， ∴P(1，－)． ②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线， 图3 则易得Q(2，－3a)， m＝5a－(－3a)＝8a， 则P(1，8a)． ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD＝90°， ∴AP2＋PD2＝AD2， ∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 即a2＝. ∵a＜0，∴a＝－，∴P(1，－4)． 综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P坐标为(1，－)或(1，－4)． 21