重庆市2018年中考数学一轮复习 第五章 四边形 第2节 矩形、菱形、正方形练习

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1、 第2节　矩形、菱形、正方形 (必考，1～3道，4～20分) 　　　　　　　　　玩转重庆10年中考真题(2008～2017年) 命题点1　矩形的性质及相关计算(10年5考) 1. (2014重庆B卷8题4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(　　) A. 30°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120° 第1题图 2. (2015重庆B卷18题4分)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，AE＋AF＝___

2、_____． 第2题图 3. (2013重庆A卷24题10分)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC. (1)求证：OE＝OF； (2)若BC＝2，求AB的长． 第3题图 命题点2　菱形的性质及相关计算(10年6考，与反比例函数结合考查3次) 4. (2014重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为________． 第4题图 5. (2012重庆24题10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的

3、中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME. 第5题图 命题点3　(10年11考，近2年均以正方形为背景涉及折叠变换) 6. (2010重庆10题4分)已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE.过点A作AE的垂线交ED于点P. 　第6题图 若AE＝AP＝1，PB＝.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋；⑤S正方形ABCD＝4＋. 其中正确结论的序号是(　　) A. ①③④ B.

4、①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 7. (2014重庆A卷18题4分)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为__________． 第7题图 　　　 8. (2014重庆B卷18题4分)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH.若BH＝8，则FG＝________． 　　 第8题图 答案 1. B　【解析】∵四

5、边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O，∴OB＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠DBC＝60°. 2. 　【解析】如解图，作FG⊥AC于点G，∴∠FGC＝∠B.∵EC＝FC，∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△GCF(AAS)，∴CG＝BC＝2，BE＝GF.在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝2，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°，∠GAF＝30°，AC＝2AB＝4，∴AG＝4－2.在Rt△AFG中，tan30°＝，∴GF＝＝BE，∴AF＝2GF＝，AE＝2－，∴AF＋AE＝＋2－＝＝. 第2题解图 3. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

6、 ∴AB∥CD，(1分) ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.(2分) ∵AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO(ASA)，(3分) ∴OE＝OF；(4分) 第3题解图 (2)解：如解图，连接BO. ∵OE＝OF，BE＝BF， ∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO， ∴∠BOF＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCF＝90°. 又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA， ∴∠BAC＝∠EOA， ∴AE＝OE. ∵AE＝CF，OE＝OF， ∴OF＝CF. 又∵BF＝BF， ∴Rt△BOF≌Rt△BCF(HL)，(6分) ∴∠OBF

7、＝∠CBF，(7分) ∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE. ∵∠ABC＝90°， ∴∠OBE＝∠ABC＝30°，(8分) ∴∠BEO＝60°， ∴∠BAC＝30°.(9分) ∵tan∠BAC＝， ∴tan30°＝，即＝， ∴AB＝6.(10分) 4. 28　【解析】∵菱形的四条边都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝7，则菱形ABCD的周长为4×7＝28. 5. (1)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD， ∵ME⊥CD， ∴CD＝2CE＝2，(4分)

8、∴BC＝CD＝2；(5分) (2)证明：∵F为边BC的中点， ∴BF＝CF＝BC，∴CF＝CE， 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD，(6分) 在△CEM和△CFM中，， ∴△CEM≌△CFM(SAS)， ∴ME＝MF，(7分) 如解图，延长AB交DF的延长线于点G， ∵AB∥CD，∴∠G＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G， ∴AM＝MG，(8分) 在△CDF和△BGF中，， ∴△CDF≌△BGF(AAS)， ∴GF＝DF，(9分) ∴AM＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.(10分) 第5题解图 6. D　【解析】 序号 逐个分

9、析 正误 ① 在正方形ABCD中，AD＝AB，又∠DAB＝∠PAE＝90°，∴∠DAP＝∠BAE，又∵AE＝AP，∴△APD≌△AEB(SAS) √ ② 如解图，作BF⊥AE的延长线于点F，易知∠BEF＝45°，∴△BEF是等腰三角形，由勾股定理可求得EP2＝12＋12＝2，在Rt△BEP中(理由见③中)BE⊥ED，BE＝＝，∴EF＝BF＝＝，∴点B到直线AE的距离为 第6题解图 × ③ ∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵AE＝AP，∠PAE＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－45

10、°＝90°，∴EB⊥ED √ ④ S△APD＋S△APB＝S△AEB＋S△APB＝S四边形AEBP＝S△AEP＋S△BPE＝＋×EP×BE＝＋××＝＋ × ⑤ 由②知，在Rt△AFB中，AB2＝AF2＋BF2＝(1＋)2＋()2＝4＋＝S正方形ABCD √ 7. 　【解析】如解图，过点O作OG⊥OF，交BF于点G，∵AC与BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BOC＝90°，则∠BOG＝∠COF，又∵OB＝OC，∠BGO＝90°＋∠OFG，∠OFC＝90°＋∠OFG，∴∠BGO＝∠OFC，∴△OBG≌△OCF(AAS)，∴OG＝OF，BG＝CF，∵CD＝6，DE＝2CE，∴CE＝2

11、，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝＝2，∵∠ECB＝∠CFE＝90°，∠OBG＝∠OCF，∠OBC＝∠DCO＝45°，∴∠EBC＝∠FCE，∴△CEF∽△BEC，则＝，即CE2＝EF·BE，则EF＝，∴BF＝，在Rt△FEC中，利用勾股定理可得，CF＝＝＝，故GF＝BF－BG＝－＝，在等腰Rt△OGF中，OF＝GF·sin45°＝×＝. 第7题解图 8. 5　【解析】如解图，连接CG，在△CGD与△CEB中，， ∴△CGD≌△CEB(SAS)，∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴CH＝EH＝GH.过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，又∵∠EHC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠HEM＝∠HCN.在△HEM与△HCN中，，∴△HEM≌△HCN(ASA)，∴HM＝HN，∴四边形MBNH为正方形．∵BH＝8，∴BN＝HN＝4，∴CN＝BC－BN＝6－4＝2.在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝＝＝2，∴GH＝CH＝2.∵HM∥AG，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH，∴＝，即＝，∴FG＝5. 第8题解图 8