类型形如的积分其中Rcosxsinx为cosx与sinx的有理函数PPT学习教案

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1、会计学1第1页/共85页第2页/共85页实轴上上半平面)(Re)(Re2)(zsfizsfidxxf第3页/共85页掌握掌握Fourier级数的展开方法级数的展开方法掌握掌握Fourier积分与积分与Fourier变换方法变换方法了解了解函数的基本性质函数的基本性质第4页/共85页5.1傅里叶级数一 .周期函数的傅里叶展开第5页/共85页傅立叶傅立叶傅立叶(公元1768年1830年),法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，

2、次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。第6页/共85页 在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数任一函数都

3、能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成 就。第7页/共85页 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以

4、系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的

5、深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。第8页/共85页第9页/共85页t第10页/共85页t第11页/共85页方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近第12页/共85页,.sin,.2sin,sin,.cos,.2cos,cos, 1lxklxlxlxklxlx作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数10)3 . 1 . 5()sincos()(kkklxkblxkaaxf1 傅里叶级数第13页/共85页llllllllllxlxnlxknkxlxnlxknkxlxnlxkxlxkkxlxk0dcossin),(0dsinsin),(

6、0dcoscos0dsin),0(0dcos三角函数族是两两正交的第14页/共85页),2, 1(dsin)(1),2, 1(dcos)(1d)(210klkflbklkflaflallllllkk称为傅里叶系数10)sincos()(kkklxkblxkaaxf第15页/共85页2 傅里叶级数的收敛性 在间断点）在连续点)(0()0(21()(xfxfxxf第16页/共85页第二类间断点第一类间断点左极限及右极限都存在 第17页/共85页.0)1sin()(tg)(点处存在着无限多个极值在靠近存在第二类间断点ttfttf第18页/共85页)8 . 1 . 5(sin)(1kklxkbxf若f

7、(x)是奇函数，则ak为0叫做傅里叶叫做傅里叶正弦正弦级数级数，f(0)=f(l)=0 001( )d021( )cosd0(1,2,)12( )sind( )sind (1,2,)lllllllkkaflkafkllkkbffkllll10)sincos()(kkklxkblxkaaxf第19页/共85页)10. 1 . 5(cos)(10kklxkaaxf若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为叫做傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数, f (0)=f (l)=0 00011( )d( )d212( )cosd( )cosd(1,2,)1( )sind0(1,2,)llllllllkkaffllk

8、kaffkllllkbfkll第20页/共85页延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在(0,l)上均代表f(x)。有时，对函数有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要求边界的限制就决定了延拓的方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ，则应延拓成，则应延拓成奇奇周期函数，周期函数，如要求如要求 f (0)=f (l)=0 ，则应延拓成，则应延拓成偶偶的周期函数。的周期函数。第21页/共85页2sin,2cosiiiieeiee由1022)(klxkilxkiklxkilxkikeeibeeaaxf四 复数形式的傅立叶级数1022klxkikklxkikkeibaeibaa

9、可将级数表示为:第22页/共85页00,1,2,3,2,1,2,3,2kkkkkkcaaibckaibckKK且令), 2 , 1(dsin)(1), 2 , 1(dcos)(1d)(210klkflbklkflaflallllllkk由于01011( )(5.1.13)kk xk xiillkkkk xk xk xiiilllkkkkkfxcc ec ecc ec ec e)14. 1 . 5()(21*deflclkillk22,kklTklTl若，则第23页/共85页2*2( )1( )kkixkkTikTf xc ecfedT 22,kklTklTl若，则22222201( )d2(

10、)cosd(1,2,)2( )sind(1,2,)TTTTTTkkkkafTafkTbfkT LL01( )(cossin)kkkkkf xaaxbx实数形式实数形式复数形式复数形式第24页/共85页1|01|1)(tttf如图所示:11otf(t)1第25页/共85页4( )(4 ),nf tf tn113T=4f4(t)t22,42T2kkk求傅立叶级数展开第26页/共85页22214211( )11( )44111441sin11sinc() (0, 1, 2,)22TkTkkkkkitkTitititiikkkkkcft edtTf t edtedteeeiik K2*21( );(

11、)kkTixikkkTf xc ecfedT ( )kixkkf tc e得113T=4f4(t)t第27页/共85页则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因为处是无定义的严格讲函数在函数定义为, 10sin, 1)0sinc(1sinlim,0sin)sinc(sinc0 xxxxxxxxxx第28页/共85页sinc(x)x2第29页/共85页1sinc() (0, 1, 2,)22,2kkkkckkkkcT L可将 以竖线标在频率图上第30页/共85页4,4822, )8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t第31页/共85页), 2, 1, 0()sinc(

12、41sin4181118181)(81)(11144822neeieidtedtetfdtetfTcnnniintintititiTnnnnnnTTn第32页/共85页以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,482), 2, 1, 0()sinc(41第33页/共85页以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,8162), 2, 1, 0()sinc(81第34页/共85页22111( )11111sin22sinc() (0, 1, 2,)TnTnnnnitnTititiinnnnncft edtTedtTeeeTiTinTT K第35页/共85页第36页/共85页（一）实数形式的傅立

13、叶积分第37页/共85页)()(lim2xfxglg(x)的傅立叶展开式在T时的极限形式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅立叶展开。222222010( )(cossin)1( )d2( )cosd(1,2,)2( )sind(1,2,)TTTTTTkkkkkkkkkg xaaxbxagTagkTbgkT LL第38页/共85页1,kkkl2,kkklTl引入变量22,kT则第39页/共85页T2T201( )d0limlimTTagTT2T2T2T2112( )cosd cos1( )cosd coslimlimkkTkkkkTkgxTgx 余弦部分有限22,kT第40页/共85页2,0,

14、kkTT 变为连续参量，记为 ，求和变成积分，上式成为01( )cosd cosgxd01( )sind singxd同理，正弦部分为第41页/共85页的傅立叶积分表达式，称为非周期函数)(sin)(cos)()(00 xfxdBxdAxf的傅立叶变换式。称为其中)(dsin)(1)(dcos)(1)(xffBfA第42页/共85页的傅立叶积分表达式，称为非周期函数)(sin)(cos)()(00 xfxdBxdAxf周期函数的傅里叶级数展开周期函数的傅里叶级数展开k=k =k/l (k=0,1,2,)是分离值是分离值222222010( )(cossin)1( )d2( )cosd(1,2,

15、)2( )sind(1,2,)TTTTTTkkkkkkkkkg xaaxbxagTagkTbgkT LL的傅立叶变换式。称为其中)(dsin)(1)(dcos)(1)(xffBfA第43页/共85页收敛绝对可积是指的在xxfd| )(|),(傅氏积分定理傅氏积分定理第44页/共85页称为傅立叶正弦积分分为为奇函数，则傅立叶积若xdBxfxfsin)()()(10的傅立叶正弦变换。称为其中)(dsin)(2)(0 xffB的傅立叶积分表达式，称为非周期函数)(sin)(cos)()(00 xfxdBxdAxf的傅立叶变换式。称为其中)(dsin)(1)(dcos)(1)(xffBfA第45页/共

16、85页称为傅立叶余弦积分分为为偶函数，则傅立叶积若xdAxfxfcos)()()(20的傅立叶余弦变换。称为其中)(dcos)(2)(0 xffA第46页/共85页11 |2( ),10 |2( )( )xrect xxf threct t函展傅立分。dcos)()()(0tAtftf叶余弦积分是偶函数，可展为傅里解：1tf(t)1oh第47页/共85页00102( )( )cosd2( )cosd22 sincosdAfhrecthh其傅里1/2oh第48页/共85页为傅立叶积分。展将矩形脉冲)2/()(,21|021|1)(Ttrecthtfxxxrectdcos)()()(0tAtftf

17、叶余弦积分是偶函数，可展为傅里解：Ttf(t)Toh第49页/共85页ThhThrectfATsin2dcos2dcos)2/(2dcos)(2)(000其傅里叶变换为oA()2hT/T2/T3/T4/T频谱图是连续谱，含有一切频率。Toh第50页/共85页:2sin,2cos代入傅里叶积分式由欧拉公式xixixixieeixeexxdBxdAxfsin)(cos)()(00第51页/共85页0011( ) ( )( ) ( )( )22i xi xf xAiBedAiBed0)()(210)()(21)()14. 2 . 5()()(iBAiBAFdeFxfxi两个积分合并 -傅里叶积分式0

18、011 ( )( ) ()()22i xi xAiBedAiBed0011 ( )( ) ()()22i xi xAiBedAiBed第52页/共85页dsin)(1)(dcos)(1)(fBfA，由于d)(21dsin)cos(21)(0*iefifF对于*011( )( )cos()sin()d( )d221( ) d2iiFfifefe对于)15. 2 . 5(d)(21)(, 00*iefF都有还是无论傅里叶变换式1 ( )( )02( )1 ()()02AiBFAiB第53页/共85页可以写成对称的形式：*1( )( ) d2iFfedeFxfxi)(21)(可以记为F(w)=F f

19、(x) 和 f(x)=F-1F(w)F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.*( )( )d1( )( ) d2i xi xf xFeFf x ex傅立叶变换傅立叶逆变换(傅里叶积分式)第54页/共85页傅立叶变换在光学中的应用傅立叶变换在光学中的应用第55页/共85页211( )( )( )di xUxt U xUTe 图像的信息可以用其透过率函数表示：t=t（x），可以展成傅立叶积分形式( )( )di xt xTe*1( )( ) d2i xTt x ex这样把衍射屏的空间频率的信息以透过率函数的形式加到了入

20、射光U1上，变为出射光U2，分析U2的傅立叶变换函数u2（ ），就能得到衍射屏的空间频率信息，即光学图像的样貌。*211( )( ) ( ) d2i xuU x t x ex数学上可以将一个复杂的数学上可以将一个复杂的非周期函数非周期函数做做傅里叶积分变换傅里叶积分变换，相应的在，相应的在物理上，一个复杂物理上，一个复杂结构的光学图像结构的光学图像可以被分解成可以被分解成一系列连续单频信一系列连续单频信息的积分息的积分-傅立叶光学傅立叶光学若用一束复振幅为若用一束复振幅为U1的平行光照射这的平行光照射这个光学图像（衍个光学图像（衍射屏）射屏）第56页/共85页.,)(. 0,0,e0, 0)(

21、1一个函数是工程技术中常碰到的衰减函数叫做指数这个其中其积分表达式的傅氏变换及求函数例tftttfttf(t)第57页/共85页220)(021121de21dee21de)(21)()(iittttftfFtitittiF这就是指数衰减函数的傅氏变换.第58页/共85页.,. 0,e)(22的一个函数也是工程技术中常碰到函数这个函数叫做钟形脉冲其中表达式的傅氏变换及其积分求函数例AAtft4242222e21dee21dee21de)(21)()(AtAtAttftfFittittiF解：Otf(t)第59页/共85页422e21eAAt2222e21eAAt可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函

22、数第60页/共85页的傅立叶积分表达式，称为非周期函数)(sin)(cos)()(00 xfxdBxdAxf周期函数的傅里叶级数周期函数的傅里叶级数展开展开k=k =k/l (k=0,1,2,)是分离是分离值值222222010( )(cossin)1( )d2( )cosd(1,2,)2( )sind(1,2,)TTTTTTkkkkkkkkkg xaaxbxagTagkTbgkT LL的傅立叶变换式。称为其中)(dsin)(1)(dcos)(1)(xffBfA1,kkkl2,kkklTl22,kT第61页/共85页称为傅立叶正弦积分分为为奇函数，则傅立叶积若xdBxfxfsin)()()(1

23、0的傅立叶正弦变换。称为其中)(dsin)(2)(0 xffB第62页/共85页称为傅立叶余弦积分分为为偶函数，则傅立叶积若xdAxfxfcos)()()(20的傅立叶余弦变换。称为其中)(dcos)(2)(0 xffA第63页/共85页可以记为F(w)=F f(x) 和 f(x)=F-1F(w)F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数.可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.*( )( )d1( )( ) d2i xi xf xFeFf x ex傅立叶变换傅立叶逆变换(傅里叶积分式)复数形式的傅立叶积分及其系数表达式复数形式的傅立叶积分及其系数表达式傅立

24、叶变换对傅立叶变换对第64页/共85页)()(de)(21e)(21de)(21)(FixfixxfixfxxfxfxixixiFF0证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得第65页/共85页)()()(dd,).()(ddxfxiFxixfFnnnnF有一般地F第66页/共85页).(1d)()(xfixxfxFF( )( )d( )d( ),dd( )d ) ( )dxxf xxf xxFf xxf xx证 因为= F( )( )fxiFF( )( )dxif xxF第67页/共85页1 ()(0)f axFaaaF则令Faxyxaxfaxfxide)(21)(证：)1de)(21de)

25、(21)(/aF(Faxxfayyfaaxfaxiayi第68页/共85页)()(00 xfexxfxiFF00000()1 ()()ed21( )ed21e( )ede ( )2i xiu xi xi xi uf xxf xxxf uuf uuf xFF令x-x0=u第69页/共85页)()(00 FxfexiF)(de)(21de)(e21)(e0)(000FxxfxxfxfxixixixiF证：第70页/共85页 xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)()()(212121F1212F( )*( )2( )( )f xfxFF证 按傅氏变换的定义, 有

26、的卷积和为其中)()()()(21)(*)(212121xfxfdxffxfxf第71页/共85页()121( )e()ed2iixffxx d xxffxdxffxfxfxiixidde)(e)(21de)()(21)()()(212121F122( )( )FFyx令( )222( )ed( )( )iyfyyF fyF第72页/共85页1 导数定理 F f(n)(x)=(i)nF f(x). 2. 积分定理).(1d)()(xfixxfxFF第73页/共85页)(d)()()(thttxctbxtxatcaibHXHXicbXXai)()()()()()(的解, 其中t+, a,b,c均

27、为常数.第74页/共85页deXtxxi)()(第75页/共85页5.3 函数第76页/共85页.0, 1;0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.第77页/共85页ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00第78页/共85页二 d-函数的定义与性质（1）定义0;0( );0 xxxd0000;( )();tti tttttd第79页/共85页xxttxHttxH0)x00)x1d)()(d)()(2（是阶跃函数dd1奇偶性（-x)=(x), （-x)=-(x)03() ( )dttf ttd挑选性（2）性质0( )f t第80页/共85页( ) ( )1( )ed2i tFtttddFd-函数的傅氏积分为:ddeFtti)()(011e22i tt1( )2ittedd第81页/共85页tttfFtidsine21)()(0F)()(2)(2)(241dee41de2ee210000)()(0000ddddiitititititititi1( )2ittedd第82页/共85页tsint1/21/200O|F()|第83页/共85页第84页/共85页