（江西专用）2019中考数学总复习 第二部分 专题综合强化 专题五 几何探究题 类型1 针对训练

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1、第二部分　专题五 类型一 1．(2018·南昌模拟)我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形． 概念理解 (1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形； 性质探究 (2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求证：∠BAC与∠CDB互补； 拓展应用 (3)如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝2∠B，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4.在BC的延长线上是否存在一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形？如果存在，求出DE的长；如果不存在，说明理由． 　　 (1)解：矩形或正方形． (2)证明：

2、如答图1，延长CD至E，使CE＝BA，连接BE. 在△ABC和△ECB中， ∴△ABC≌△ECB(SAS)， ∴BE＝CA，∠BAC＝∠E. ∵AC＝DB，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E， ∴∠CDB＋∠BDE＝∠CDB＋∠E＝∠BAC＋∠CDB＝180°，即∠BAC与∠CDB互补． 　　 (3)解：存在这样一点E，使得四边形ABED为邻对等四边形，如答图2，在BC的延长线上取一点E，使得CE＝CD＝4，连接DE，AE，BD，则四边形ABED为邻对等四边形．理由如下： ∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED. ∵∠BCD＝2∠ABC， ∴∠ABC＝∠DEB，∴∠ACE＝∠BCD

3、. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴BD＝AE，四边形ABED为邻对等四边形． ∵∠CBA＝∠CAB＝∠CDE＝∠CED， ∴△ABC∽△DEC， ∴＝＝＝，∴DE＝. 2．(2018·淮安)如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝15°； (2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE也

4、是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长． 解：(1)∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B＋∠A＝90°，解得∠B＝15°. (2)如答图1，在Rt△ABC中，∵∠B＋∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，∴∠B＋2∠BAD＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”． ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B＋∠BAE＝90°. ∵∠B＋∠BAE＋∠EAC＝90°，∴∠CAE＝∠

5、B. ∵∠C＝∠C＝90°， ∴△CAE∽△CBA，∴CA2＝CE·CB， ∴CE＝，∴BE＝5－＝. 　　 (3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF， ∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD. ∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°， ∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线， ∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC. ∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122， ∴x＝9或x＝－

6、16(舍去)， ∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝＝＝20. 3．(2015·江西)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c. 特例探索 (1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝____2____，b＝____2____. 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝____2____，b＝____2____. 归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，

7、并利用图3证明你发现的关系式． 拓展应用 (3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长． 解：(1)∵AF⊥BE，∠ABE＝45°， ∴AP＝BP＝AB＝2. ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF∥AB，EF＝AB＝， ∴∠PFE＝∠PEF＝45°，∴PE＝PF＝1. 在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE＝BF＝＝， ∴AC＝BC＝2，∴a＝b＝2. 如答图1，连接EF. 同理可得EF＝×4＝2. ∵EF∥AB，∴△PEF∽△PBA， ∴＝＝＝. 在Rt△ABP中，AB＝4，∠ABP＝30°

8、， ∴AP＝2，PB＝2，∴PF＝1，PE＝. 在Rt△APE和Rt△BPF中，AE＝，BF＝， ∴a＝2，b＝2. (2)猜想：a2＋b2＝5c2，证明如下： 如答图2，连接EF. 设∠ABP＝α，∴AP＝csinα，PB＝ccosα， 由(1)同理可得PF＝PA＝，PE＝PB＝ ， ∴AE2＝AP2＋PE2＝c2sin2α＋， BF2＝PB2＋PF2＝c2cos2α＋， ∴()2＝c2sin2α＋，()2＝＋c2cos2α， ∴＋＝＋c2cos2α＋c2sin2α＋， ∴a2＋b2＝5c2. 　　　　 (3)如答图3，连接AC，EF交于点H，AC与BE交于点Q

9、，设BE与AF的交点为P. ∵点E，G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC. ∵BE⊥EG，∴BE⊥AC. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，∴∠EAH＝∠FCH. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝AD，BF＝BC， ∴AE＝BF＝CF＝AD＝. ∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF＝AB＝3，AP＝PF. 在△AEH和△CFH中， ∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH，∴EP，AH分别是△AFE的中线， 由(2)的结论得AF2＋EF2＝5AE2， ∴AF2＝5()2－EF2＝16，∴AF＝4. 或连接F与AB的中点M

10、，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，由AB＝3，BC＝AD＝及(2)中的结论，直接可求AF. 4．(2017·江西)我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知 (1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；

11、②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4. 猜想论证 (2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 (3)如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 图1 图2 图3 图4 解：(1)①∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′， ∴AD⊥B′C′. ∵∠BAC＝60°，∠BAC

12、＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°， ∴AD＝AB′＝BC. ②∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°. ∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC＝B′C′. ∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4. (2)结论：AD＝BC. 证明如下： 如答图1，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M. ∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC. 第4题答图1 ∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，

13、∠B′AC′＋∠AB′M＝180°， ∴∠BAC＝∠MB′A.∵AB＝AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC＝AM，∴AD＝BC. (3)存在．理由：如答图2，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA，PD，PC，作△PCD的中线PN， 第4题答图2 连接DF交PC于O. ∵∠ADC＝150°， ∴∠MDC＝30°. 在Rt△DCM中，CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°， ∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°. 在Rt△BEM中，∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴

14、DE＝EM－DM＝3. ∵AD＝6，∴AE＝DE.∵BE⊥AD， ∴PA＝PD，PB＝PC. 在Rt△CDF中，CD＝2，CF＝6， ∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°＝∠CPF， 易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF.∵CD∥PF. ∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°， ∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°， ∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°. ∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°， ∴∠APD＋∠BPC＝180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”． 在Rt△PDN中，∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，∴PN＝＝＝. 8