（贵阳专用）2019中考数学总复习 第二部分 热点专题解读 专题六 函数的综合探究针对训练

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1、第二部分　专题六　 1．如图，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D． (1)求a，b的值及反比例函数的解析式； (2)若点P在直线y＝－x＋2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标； (3)在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)∵直线y＝－x＋2与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于A(a,3)，B(3，b)两点， ∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得a＝－1，b＝－1， ∴A(－1,3)，

2、B(3，－1)． ∵点A(－1,3)在反比例函数y＝图象上， ∴k＝－1×3＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. (2)设点P(n，－n＋2)． ∵A(－1,3)，∴C(－1,0)． ∵B(3，－1)，∴D(3,0)． ∴S△ACP＝AC·|xP－xA|＝×3·|n＋1|， S△BDP＝BD·|xB－xP|＝×1·|3－n|. ∵S△ACP＝S△BDP，∴×3·|n＋1|＝×1·|3－n|， 解得n＝0或n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)． (3)存在．设M(m,0)(m＞0)， ∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA2＝(m＋1)2＋9，MB2＝(m－3)2

3、＋1，AB2＝32， ∵△MAB是等腰三角形，∴①当MA＝MB时， ∴(m＋1)2＋9＝(m－3)2＋1，∴m＝0(舍)； ②当MA＝AB时，∴(m＋1)2＋9＝32， ∴m＝－1＋或m＝－1－(舍)， ∴M(－1＋，0)； ③当MB＝AB时，(m－3)2＋1＝32， ∴m＝3＋或m＝3－(舍)， ∴M(3＋，0)． 则满足条件的M(－1＋，0)或(3＋，0)． 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y＝3x－4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y＝也经过A点，连接BC． (1)求k的值； (2)判断△ABC的形状

4、，并求出它的面积； (3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如答图1，过点A分别作AQ⊥y轴于Q点，AN⊥x轴于N点． 答图1 ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AQ＝AN. 设点A的坐标为(a，a)， ∵点A在直线y＝3x－4上， ∴a＝3a－4，解得a＝2， 则点A的坐标为(2,2)． ∵双曲线y＝也经过A点，∴k＝4. (2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)． ∵直线y＝3x－4与y轴的交点为C，∴C(0，－4)， ∴

5、AB2＋BC2＝(4－2)2＋22＋42＋(－4)2＝40， AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△ABC＝AB·BC＝×2×4＝8. (3)存在．如答图2，假设双曲线上存在一点M，使得△PAM是等腰直角三角形． 答图2 ∴∠PAM＝90°＝∠OAB， AP＝AM，连接BM.∵k＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝. ∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM. 在△AOP和△ABM中， ∴△AOP≌△ABM(ASA)， ∴∠AOP＝∠ABM， ∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°， ∴点

6、M的横坐标为4，∴M(4,1)． 则在双曲线上存在一点M(4,1)，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰三角形． 3．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4,0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称． (1)求一次函数，反比例函数的解析式； (2)求证：点C为线段AP的中点； (3)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 解：(1)∵点A与点B关于y轴对称，∴AO＝BO. ∵A(－4,0)，∴B(4,0)． ∵PB

7、⊥x轴于点B，∴P(4,2)． 把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m＝8， ∴反比例函数的解析式为y＝. 把A，P两点坐标分别代入一次函数解析式可得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. (2)证明：∵点A与点B关于y轴对称，∴OA＝OB． ∵PB⊥x轴于点B，∴∠PBA＝∠COA＝90°， ∴PB∥CO，∴点C为线段AP的中点． (3)存在点D，使四边形BCPD为菱形． 理由如下： ∵点C为线段AP的中点，∴BC＝AP＝PC， ∴BC和PC是菱形的两条边． 由y＝x＋1可得C(0,1)． 如答图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接

8、PD，BD， 答图 ∴D(8,1)，且PB⊥CD， ∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4， ∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形， ∴存在满足条件的点D，其坐标为(8,1)． 4．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝与y＝(x＞0,0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4. (1)当m＝4，n＝20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式． ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． (2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不

9、能，试说明理由． 解：(1)①如答图1.∵m＝4， ∴反比例函数y＝的解析式为y＝. ∵当x＝4时，y＝1，∴B(4,1)， ∴当y＝2时，2＝，解得x＝2，∴A(2,2)． 设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 将A(2,2)，B(4,1)两点分别代入， 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3. ②四边形ABCD是菱形． 理由如下：如答图2，由①知，B(4,1)， ∵BD∥y轴，∴D(4,5)． ∵点P是线段BD的中点，∴P(4,3)． ∵当y＝3时，由y＝得x＝， 由y＝得x＝， ∴PA＝4－＝，PC＝－4＝，∴PA＝PC． ∵PB＝PD，∴四边形ABC

10、D为平行四边形， ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形． 　　　　 图1　　　　　　　　　图2 答图 (2)四边形ABCD能成为正方形． 理由：当四边形ABCD是正方形时， 则PA＝PB＝PC＝PD(设为t，t≠0)， ∵当x＝4时，y＝＝， ∴B(4，)， ∴A(4－t，＋t)，C(4＋t，＋t)， ∴(4－t)(＋t)＝m，∴t＝4－， ∴C(8－，4)，∴(8－)×4＝n，∴m＋n＝32. ∵点D的纵坐标为＋2t＝＋2(4－)＝8－， ∴D(4,8－)，∴4(8－)＝n，∴m＋n＝32. 5．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴，y轴分别交于A，B

11、两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，点D(2，－3)，OA＝2. (1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的解析式； (2)直接写出k1x＋b－≥0时自变量x的取值范围； (3)动点P(0，m)在y轴上运动，当|PC－PD|的值最大时，直接写出P点的坐标． 解：(1)∵点D(2，－3)在反比例函数y2＝的图象上， ∴k2＝2×(－3)＝－6，∴y2＝－. 如答图，过点D作DE⊥x轴于E. 答图 ∵OA＝2，∴A(－2,0)， ∵A(－2,0)，D(2，－3)在y1＝k1x＋b的图象上， ∴解得 ∴y1＝－x－. (2)由图可得，当k1x＋

12、b－≥0时，x≤－4或0＜x≤2. (3)P点坐标为(0，－)．理由如下： 由解得或 ∴C(－4，)， 如答图，作C(－4，)关于y轴对称点C′(4，)，延长C′D交y轴于点P， ∴由C′和D的坐标可得，直线C′D解析式为y＝x－， 令x＝0，则y＝－， ∴当|PC－PD|的值最大时，点P的坐标为(0，－)． 6．如图1，直线y＝kx＋b与双曲线y＝(x＞0)相交于点A(1，m)，B(4，n)，与x轴相交于C点． (1)求点A，B的坐标及直线y＝kx＋b的解析式； (2)求△ABO的面积； (3)如图2，在x轴上是否存在点P，使得PA＋PB的和最小？若存在，请说明理由

13、并求出P点坐标． 解：(1)∵点A(1，m)，B(4，n)在双曲线y＝(x＞0)上， ∴m＝4，n＝1， ∴A(1,4)，B(4,1)， ∴解得 ∴直线y＝kx＋b的解析式为y＝－x＋5. (2)如答图1，设直线AB与y轴交于D点，由(1)知，直线AB的解析式为y＝－x＋5， ∴C(5,0)，D(0,5)， ∴OC＝5，OD＝5. ∴S△AOB＝S△COD－S△AOD－S△BOC＝×5×5－×5×1－×5×1＝. (3)存在，理由：如答图2， 作点B(4,1)关于x轴的对称点B′(4，－1)，连接AB′交x轴于点P，连接BP，在x轴上取一点Q，连接AQ，BQ. ∵点

14、B与点B′关于x轴对称， ∴点P，Q是BB′中垂线上的点，∴PB′＝PB，QB′＝QB，在△AQB′中，AQ＋B′Q＞AB′， ∴AP＋BP的最小值为AB′. ∵A(1,4)，B′(4，－1)， ∴直线AB′的解析式为y＝－x＋， 令y＝0，则0＝－x＋， 解得x＝， ∴P(，0)． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A(－6,0)，D(－2，－8)． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A，C重合，过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标； (3)

15、在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2－8，把A(－6,0)代入得a(－6＋2)2－8＝0，解得a＝. ∴抛物线的解析式为y＝(x＋2)2－8， 即y＝x2＋2x－6. (2)如答图，当x＝0时，y＝x2＋2x－6＝－6，则C(0，－6)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 把A(－6,0)，C(0，－6)分别代入得 解得∴直线AC的解析式为y＝－x－6. 设P(x，x2＋2x－6)(－6＜x＜0)，则E(x，－x－6)． ∴PE＝－x－6－(x2＋2x－6

16、)＝－x2－3x＝－(x＋3)2＋， ∴当x＝－3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(－3，－)． (3)存在． 如答图，抛物线的对称轴为直线x＝－2，设M(－2，t)． ∵A(－6,0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72， AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t＋6)2. 当AC2＋AM2＝CM2，△ACM为直角三角形， 即72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t＋6)2， 解得t＝4，此时点M坐标为(－2,4)； 当AC2＋CM2＝AM2时，△ACM为直角三角形， 即72＋(－2)2＋(t＋6)2＝(－2＋6)2＋t2，

17、解得t＝－8，此时点M的坐标为(－2，－8)； 当CM2＋AM2＝AC2时，△ACM为直角三角形， 即(－2)2＋(t＋6)2＋(－2＋6)2＋t2＝72， 解得t1＝－3＋，t2＝－3－，此时点M的坐标为(－2，－3＋)或(－2，－3－)． 综上所述，点M的坐标为(－2,4)或(－2，－8)或(－2，－3＋)或(－2，－3－)． 8．(2018·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE. (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴

18、上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y＝－x2－x＋6. (2)由A(－4,0)，E(0，－2)可得AE所在的直线解析式为y＝－x－2， 过点D作DF⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如答图， 设D(m，－m2－m＋6)， 则点F(m，－m－2)， ∴DF＝－m2－m＋6－(－m－2)＝－m2－

19、m＋8， ∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝·DF·AG＋·DF·EH＝×DF·(AG＋HE)＝×DF×4＝2×(－m2－m＋8)＝－(m＋)2＋， ∴当m＝－时，S△ADE最大，最大值为. (3)存在，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)． 【解法提示】y＝－x2－x＋6的对称轴为直线x＝－1， 设P(－1，n)，又E(0，－2)，A(－4,0)， 可得PA＝，PE＝， AE＝＝2， 当PA＝PE时，＝， 解得n＝1，此时P(－1,1)； 当PA＝AE时，＝2， 解得n＝±，此时P点的坐标为(－1，±)； 当PE＝AE时，＝2， 解得n＝－2

20、±， 此时P点的坐标为(－1，－2±)， 综上所述，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)． 9．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1,0)，B(－3,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P在直线BD上，当PE＝PC时，求点P的坐标． (3)在(2)的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1,0)，B(－3,0)，

21、 ∴　解得 即抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. (2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3， ∴C(0，－3)，抛物线的顶点坐标为D(－1，－4)， ∴E(－1,0)．设直线BD的解析式为y＝mx＋n， ∴　解得 ∴直线BD的解析式为y＝－2x－6. 设点P(a，－2a－6)．∵C(0，－3)，E(－1,0)， 根据勾股定理得，PE2＝(a＋1)2＋(－2a－6)2，PC2＝a2＋(－2a－6＋3)2. ∵PC＝PE， ∴(a＋1)2＋(－2a－6)2＝a2＋(－2a－6＋3)2， 解得a＝－2，∴y＝－2×(－2)－6＝－2， ∴P(－2，－2)．

22、(3)如答图，作PF⊥x轴于F，∴F(－2,0)． 设M(d,0)，∴G(d，d2＋2d－3)，N(－2，d2＋2d－3)． ∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，∴必有FM＝MG， ∴|d＋2|＝|d2＋2d－3|， 解得d＝或， ∴点M的坐标为(，0)，(，0)，(，0)或(，0)． 10．(2018·岳阳)已知抛物线F：y＝x2＋bx＋c经过坐标原点O，且与x轴另一交点为(－，0)． 　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　图2 (1)求抛物线F的解析式； (2)如图1，直线l：y＝x＋m(m＞0)与抛物线F相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2

23、)(点A在第二象限)，求y2－y1的值(用含m的式子表示)； (3)在(2)中，若m＝，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2. ①判断△AA′B的形状，并说明理由； ②平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0,0)和(－，0)，∴解得 ∴抛物线F的解析式为y＝x2＋x. (2)将y＝x＋m代入y＝x2＋x，得x2＝m， 解得x1＝－，x2＝，∴y1＝－＋m， y2＝＋m，∴y2－y1＝(＋m)－ (－＋m)＝(m＞0)． (3)如答图，∵m＝，∴点A的

24、坐标为(－，)，点B的坐标为(，2)．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为(，－)． ①△AA′B为等边三角形． 理由如下： ∵A(－，)，B(，2)，A′(，－)， ∴AA′＝，AB＝，A′B＝，∴AA′＝AB＝A′B， ∴△AA′B为等边三角形． ②存在．∵△AA′B为等边三角形， ∴以点A，B，A′，P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)如答图． a．当A′B为对角线时，有 解得∴点P的坐标为(2，)． b．当AB为对角线时，有 解得∴点P的坐标为(－，)． c．当AA′为对角线时，有 解得∴点P的坐标为(－，－2)． 综上所述，平面

25、内存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2，)，(－，)或(－，－2)． 11．(2018·永州)如图1，抛物线的顶点A的坐标为(1,4)，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点E(0,3)． 图1　 　　　　　图2 (1)求抛物线的表达式； (2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG最小？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB，抛物线相交于点M，N(点M，N都在抛物线对称轴的右侧)，当MN最大时，求△P

26、ON的面积． 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4. 把(0,3)代入得3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1， 故抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 如答图1，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG＋FG的值最小． ∵E(0,3)，∴E′(2,3)， 易得直线E′F的解析式为y＝3x－3， 当x＝1时，y＝3×1－3＝0，∴G(1,0)． 图1　　　　　 图2 (3)如答图2，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设对称轴交x轴于D， ∵A(1,4)，B(3,0)， ∴直线AB的解析式为y＝－2x

27、＋6， 设N(m，－m2＋2m＋3)， 则Q(m，－2m＋6)(1＜m＜3)， ∴NQ＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3. ∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM. ∵∠ADB＝∠QMN＝90°， ∴△QMN∽△ADB， ∴＝，即＝， ∴MN＝－(m－2)2＋.∵－＜0， ∴当m＝2时，MN有最大值． 过N作NI⊥y轴于I，∵∠IPN＝∠ABD， ∠NIP＝∠ADB＝90°，∴△NIP∽△ADB， ∴＝＝＝，∴PI＝NI＝m， ∴OP＝OI－PI＝－m2＋2m＋3－m＝－m2＋m＋3，∴S△PON＝OP·IN＝(－m2＋m＋3)·m，当m＝2时，S△

28、PON＝×(－4＋3＋3)×2＝2. 12．(2018·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a>0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． (1)求线段OC的长度； (2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)当y＝0时，a(x－1)(x－3)＝0， 解得x1＝1，x2＝3，即A(1,0)，B(3,0)， ∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OB

29、C， ∴OC∶OB＝OA∶OC，∴OC2＝OA·OB＝3，则OC＝. (2)∵C是BM的中点，即OC为Rt△OBM斜边BM的中线，∴OC＝BC，∴点C的横坐标为. 又∵OC＝，点C在x轴下方，∴C(，－)． 设直线BM的解析式为y＝kx＋b， 把点B(3,0)，C(，－)代入， 得解得 ∴直线BM的解析式为y＝x－. 又∵点C(，－)在抛物线上， ∴将C(，－)代入抛物线的解析式， 解得a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2. (3)存在． 如答图，过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，设点P的坐标为(x，x2－x＋2)， 则Q(x，x－)， ∴PQ＝x－－(x2－x＋2)＝－x2＋3x－3， ∴当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大， ∴S△BCP＝PQ(3－x)＋PQ(x－)＝PQ＝－x2＋x－， 当x＝－＝时，S△BCP有最大值，则四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，－)． 17