广西柳州市2019年中考数学 专题训练06 分类讨论思想

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1、专题训练(六) [分类讨论思想] 1.[2017·聊城]如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是 (　　) 图ZT6-1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.[2017·义乌]如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是　　　　.  图ZT6-2 3.[2017·齐齐哈尔]如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=

2、10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是　　　　.  图ZT6-3 4.[2017·绥化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=12BC,则△ABC的顶角的度数为　　　　.  5.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为　　　　　.  6.[2017·眉山]如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-83是抛

3、物线上一点. 图ZT6-4 (1)求a,b的值; (2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标; (3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式. 7.[2017·烟台]如图ZT6-5①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E. 图ZT6-5 (1)求抛物线的表达式. (2)如图ZT6-5②,点P是直线E

4、O上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值. (3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

5、 图ZT6-6 (1)如图ZT6-6①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线. (2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数. (3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长. 参考答案 1.B　[解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个,∴满足条件的有3个. 2.0

6、或42-4或4

7、行四边形较长的对角线的长是10或413或273. 4.30°或90°或150°　[解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A是顶角,如图①,AD=12BC,则AD=BD,底角为45°,所以顶角为90°;(2)若角A不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD中,AD=12BC=12AC,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°. 5.3或65　[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC

8、=3; (2)如图所示, 若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=15CD=65. 综上所述,PE的长为3或65. 6.解:(1)由题意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83, 解得a=23,b=-43. (2)由(1)得,抛物线的关系式为y=23x2-43x-2,当x=0时,y=-2,∴C(0,-2). ∵以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况: ①若AC=AP(如图①), 由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);

9、②若CA=CP(如图②), ∵AC=OA2+OC2=32+22=13, ∴P2(0,-2+13),P3(0,-2-13); ③若AP=PC(如图③),设点P的坐标为(0,m),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=54, ∴P40,54. 综上所述,符合条件的点P有4个,坐标分别为P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54. (3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,交AC于点E, ∵抛物线y=23x2-43x-2的对称轴为直线x=1, ∴D(1,0). 又∵tan∠OAC=DEDA=OCO

10、A, ∴DE2=23, ∴DE=43. ∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA, ∴DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2, ∴DH=23|t-1|. 分两种情况: ①当0

11、B=4,∴A(-3,0). 设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1). 将点C的坐标代入得-3a=2, 解得a=-23, ∴抛物线的解析式为y=-23x2-43x+2. (2)∵点E在CD上,∴yE=2. 将y=2代入抛物线的解析式,得-23x2-43x+2=2,解得x=0或x=-2. ∴E(-2,2). ∴EC=OC=2,∴∠COE=45°. ∵PG∥y轴, ∴∠PGH=∠COE=45°. 又∵PH⊥OE, ∴PH=22PG. 设直线OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1. ∴直线OE的解析式为y=-x. 设点P的坐标为m,-2

12、3m2-43m+2,则点G的坐标为(m,-m). ∴PG=-23m2-43m+2+m=-23m2-13m+2. ∴l=22×-23m2-13m+2=-23m2-26m+2=-23m+142+49248. ∴l的最大值为49248. (3)抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-1.设点N的坐标为(-1,n),点M的坐标为(x,y). ①当AC为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-1+x2=0-32,解得x=-2. 将x=-2代入抛物线的解析式得y=2. ∴M(-2,2). ②当AM为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-3+x2=-1+02, 解得x=2

13、. 将x=2代入抛物线的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103. ∴M2,-103. ③当AN为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知0+x2=-1+(-3)2,解得x=-4. 将x=-4代入抛物线的解析式得y=-103. ∴M-4,-103. 综上所述,点M的坐标为(-2,2)或2,-103或-4,-103. 8.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°, ∴△ABC不是等腰三角形, ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°, ∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形, ∵∠DCB=∠A=40°,∠

14、CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD是△ABC的完美分割线. (2)①当AD=CD时,如图①,∠ACD=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°. ②当AD=AC时,如图②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°. ③当AC=CD时,如图③,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA, ∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去. ∴∠ACB=96°或114°. (3)由已知AC=AD=2, ∵△BCD∽△BAC, ∴BCBA=BDBC,设BD=x, ∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1, ∵△BCD∽△BAC, ∴CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-12×2=6-2. 11