（江苏版）2020年中考数学热点专题冲刺6 图形折叠问题

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1、热点专题6 图形折叠问题 图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目． 图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能

2、力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题． 中考 要求 掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不变的图形性质． 培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题． 考向1 矩形的折叠 1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论： ①△CMP是直角三角形； ②点C、E、G不在同一条直线上；

3、 ③PC＝MP； ④BP＝AB； ⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】 ∵沿着CM折叠，点D的对应点为E， ∴∠DMC＝∠EMC， ∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP， ∴∠AMP＝∠EMP， ∵∠AMD＝180°， ∴∠PME+∠CME＝180°＝90°， ∴△CMP是直角三角形；故①正确； ∵沿着CM折叠，点D的对应点为E， ∴∠D＝∠MEC＝90°， ∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP， ∴∠MEG＝∠A＝90°， ∴∠GEC＝180°， ∴点C、

4、E、G在同一条直线上，故②错误； ∵AD＝2AB， ∴设AB＝x，则AD＝2x， ∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN； ∴DM＝AD＝x， ∴CM＝＝x， ∵∠PMC＝90°，MN⊥PC， ∴CM2＝CN•CP， ∴CP＝＝x， ∴PN＝CP﹣CN＝x， ∴PM＝＝x， ∴＝＝， ∴PC＝MP，故③错误； ∵PC＝x， ∴PB＝2x﹣x＝x， ∴＝， ∴PB＝AB，故④， ∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD， ∴CE＝EG， ∵∠CEM＝∠G＝90°， ∴FE∥PG， ∴CF＝PF， ∵∠PMC＝90°， ∴CF＝PF＝MF， ∴点F是△CMP

5、外接圆的圆心，故⑤正确； 故选：B． 2. (2019 江苏省淮安市)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　． 【解析】 如图，连接PB，交CH于E， 由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH， 又∵H为AB的中点，∴AH＝BH， ∴AH＝PH＝BH， ∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APB＝∠HEB＝90°， ∴AP∥HE，∴∠BAP＝∠BHE， 又∵Rt△BCH中

6、，tan∠BHC＝＝， ∴tan∠HAP＝， 故答案为：． 3. (2019 江苏省扬州市)将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝　 　°． 【解析】延长DC， 由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°， 则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128． 4．(2019 江苏省盐城市)如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②； （Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O； （Ⅲ）展开纸片，

7、分别连接OB、OE、OC、FD，如图④． 探究 （1）证明：△OBC≌△OED； （2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式． 【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45° ∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED中，， ∴△OBC≌△OED（SAS）； （2）过点O作OH⊥CD于点H． 由（1）△OBC≌△OED， OE＝OB， ∵BC＝x，则AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x， ∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CH＝CD＝AB＝＝4， OH＝CD＝4， ∴EH＝

8、CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2＝OH2+EH2， 即OB2＝42+（x﹣4）2， ∴y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32． 考向2 平行四边形的折叠 1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E． （1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是　 　； （2）EB与ED相等吗？证明你的结论． 【解析】 （1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD， 故答案为：AC′∥BD； （2）EB与ED相等． 由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，

9、 ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE． 2. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证： （1）； （2）． 【解析】证明：（1）四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，， ， ， ； （2）四边形是平行四边形， ，， 由折叠可得，，， ，， 又， ． 考向3 正方形的折叠 1．(2019 江苏省连云港市)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．

10、判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上． （1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数； （2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值． 问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足

11、分别为G、H．若AG＝，请直接写出FH的长． 【解析】线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示： ∴四边形MBFN为平行四边形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN

12、+MB＝EC； 问题探究： 解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中，， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠

13、AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）连接AC交BD于点O，如图3所示： 则△APN的直角顶点P在OB上运动， 设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC， ∵点P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴

14、∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性质得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴点P'在线段

15、DO'上运动； 过点S作SK⊥DO'，垂足为K， ∵点S为AD的中点， ∴DS＝2，则P'S的最小值为； 问题拓展： 解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4： 则EG＝AG＝，PH＝FH， ∴AE＝5， 在Rt△ABE中，BE＝＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴＝＝3， ∴QE＝AE＝， ∴AQ＝AE+QE＝， ∵AG⊥MN， ∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴＝，即＝， 解得：AM＝， 由折叠的性质

16、得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝＝，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°， ∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴＝＝， 解得：AF＝， ∴DF＝4﹣＝， ∵AG⊥MN，FH⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴＝，即＝， 解得：FP＝， ∴FH＝FP＝． 考向4 三角形的折叠 (2019 江苏省扬州市)如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′． （1）

17、如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　 　； （2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　 　； （3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积； （4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值． 【解析】（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4， ∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°， ∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4． 故答案为4． （

18、2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O． ∵PE∥AC， ∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB＝5， ∴∵B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB•sin60°＝， ∴BB′＝5． 故答案为5． （3）如图3中，结论：面积不变． ∵B，B′关于直线l对称， ∴BB′⊥直线l， ∵直线l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB＝•82＝16． （4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大， 设直线PB′交AC于E， 在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°， ∴PE＝PA•sin60°＝， ∴B′E＝6+， ∴S△ACB′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．