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1、曲边梯形的面积导学案
2017/05/09
一、 学习目标
—分割、近似代替、
通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤 求和、求极限；
二、 重点、难点
重点：求曲边梯形的面积
难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想.
三、 知识链接
，梯形
直边图形的面积公式：三角形 ，矩形
四、 学法指导
探求、讨论、体会以直代曲数学思想.
五、 自主探究
1连续函数的概念：
2曲边梯形的概念：
如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围成的图形称为 .
特征：
3思考：如何求上述图形的面
2、积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面 积转化为求直边图形的面积问题？
例1、求由抛物线 y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面积 S.
分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是曲边
图形有一边是 _线段，而“直边图形”的所有边都是 _线段。 我们可以采用 以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将 求曲边梯形面积的问题转化为求 直边图形”面积的问题.
解：(1)分割(化整为零) 展示学习小组的部分分割的方案:
1
冷
/
||
将区间0,1 ]等分成n个小区间,0 - 1, [- - I… 则
3、第i
忖n」
个小区间为 (i=l, 2，…，n),第n个小区间
为 ，每个区间的长度为 |_x二
= ,过各个区间端点作 x轴的垂线，从而得到n个小
曲边梯形，它们的面积分别记作 |_3，Ls2，-AS，…，
LJSn .显然，S= .
(2 )近似代替 (以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形)
对区间^―1,-上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值 f 一 "工 为一边的
[n n」 In丿
长，以x二 为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，即
丨 Sj ： f 匸1 X 二 (i=l, 2,…，n )•
j n
(3)求和(积零为整，给出
4、整”的近似值)
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值， 所以n个小矩形面积之和就是所
求曲边三角形面积 S的近似值：
n
sis _S2 •…Ls 八 Ls =
(4)取极限
11 1
当分割无限变细时，即 Lx无限趋近于 0 ( n趋向于--)Sn (1 )(2 )趋向
6 n n
于 ，从而有s= •
思考：在近似代替中，如果认为函数 f(x) = x2在区间|匕 丄I (i=l, 2，…，n)上的值
1「n」
近似地等于右端点 丄处的函数值f (丄)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也
n n
1
是吗？
3
取任意 1 _
5、1 , 1处的函数值f(i)作为近似值，情况又怎样?
IL n n
变式拓展：求由曲线 y=x2与x轴及x=1所围成的曲边梯形的面积.
六、目标检测
1 •下列函数在其定义域上不是连续函数的是 （ ）
2 厂 1
A. y =x B. y =| x| C. y = x D. y =-
x
2.把区间［1,3］ n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为（ ）
1 2 3 1
A. B. C. D.
n n n 2n
3.
把区间
[a,b] (a ::: b) n等分后
，第 i个小区间是
( )
i -1
，丄］
i -1,
-a), -
6、(b 一 a)]
A.
[-
B.
[ (b -
n
n
n
n
[a -
-1 i、
r i -1
(b _a),a 丄(b_a)]
n
C.
,a ] n n
D.
[a
n
4 .在“近似替代”中，函数f （X）在区间［Xj,Xi.1］上的近似值（ ）
A.只能是左端点的函数值 f （xj B.只能是右端点的函数值 f（Xi d）
C.可以是该区间内的任一函数值 f i「i • ［Xi,xi 1］ ） D.以上答案均正确
七. 小结：
求曲边梯形面积的一般方法（四个步骤） ：
八. 作业：1.课本42页的练习
2
2•求由直线X =1,x = 3, y = 0和抛物线y =3x所围成的图形的面积
曲边梯形的面积导学案
