（湖南专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 课时训练15 二次函数的应用

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1、 课时训练(十五)　二次函数的应用 (限时:40分钟) |夯实基础| 1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.[2018·襄阳]已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是 (　　) A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2 3.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是 (　　) A.x<-4或x>2 B.-4≤x≤2 C.x≤-4或x≥2

2、 D.-4

3、AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 (　　) 图K15-3 A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.y=-131350x2 6.如图K15-4,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 (　　) 图K15-4 A.60 m2 B.63 m2 C.64 m2 D.66 m2 7.[2018·宁波]如图K15-5,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P,若点P的横坐标为-1

4、,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是 (　　) 图K15-5 图K15-6 8.[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K15-7所示.下列结论: ① 小球在空中经过的路程是40 m; ② 小球抛出3 s后,速度越来越快; ③小球抛出3 s时速度为0; ④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s. 其中正确的是 (　　) 图K15-7 A.① ④ B.① ② C.② ③④ D.② ③ 9.[2018·呼和浩特]若满足12

5、式2x3-x2-mx>2成立,则实数m的取值范围是 (　　) A.m<-1 B.m≥-5 C.m<-4 D.m≤-4 10.[2019·宜宾]已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是 (　　) A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形 B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60° C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形 D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形 11.[2018·孝感]如图K15-8,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的坐标分别为A

6、(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是　　　　.  图K15-8 12.[2018·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是　　　　.  13.[2018·德阳]已知函数y=(x-2)2-2,x≤4,(x-6)2-2,x>4.使y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为　　　　.  14.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.

7、 15.超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件. (1)请写出y与x之间的函数表达式; (2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元? (3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少? 16.[2019·南充]在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本.已知购买2

8、支钢笔和3本笔记本共需38元,购买4支钢笔和5本笔记本共需70元. (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少? (2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元? 17.[2019·菏泽]如图K15-9,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过

9、点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1. (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在第二象限内,且PE=14OD,求△PBE的面积; (3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 图K15-9 |拓展提升| 18.[2019·长沙25题]已知抛物线y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b,c为常数). (1)若抛物线的

10、顶点坐标为(1,1),求b,c的值; (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围; (3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(m

11、)2-4×14m-1≥0,解得m≤5.故选A. 3.D　[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1, ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为(-4,0). ∵a<0,∴抛物线开口向下, 则使函数值y>0成立的x的取值范围是-40.∴二次函数的图象与y轴交于正半轴.∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,∴a<0,b>0,∴-b2a>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴在y轴的右侧.故选A. 5.B　[解析]设二次函数的表达式

12、为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得-78=a×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函数的表达式为y=-26675x2,故选B. 6.C　[解析]设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2. 根据题意,得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64, 当x=8时,y最大值=64, ∴所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2. 7.D　[解析]把x=-1代入y=ax2+bx得a-b<0.∵图象开口向下,∴a<0.又∵对称轴位于y轴左侧,∴a,b同号, ∴b<0,∴函数y=(a-b)x+b的图象经过第二、三、

13、四象限.故选D. 8.D　[解析]①由图象知,小球在空中达到的最大高度是40 m,故①错误; ②小球抛出3 s后,速度越来越快,故②正确; ③小球抛出3 s秒时达到最高点,即速度为0,故③正确; ④设h与t之间的函数解析式为h=a(t-3)2+40, 把O(0,0)代入,得0=a(0-3)2+40,解得a=-409,∴h与t之间的函数解析式为h=-409(t-3)2+40, 把h=30代入解析式,得30=-409(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5, ∴小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故④错误.故选D. 9.D　[解析]∵12

14、式化为2x2-x-m>2x,设y1=2x2-x-m,y2=2x. ∵1214时,y1随x的增大而增大,如图,结合图象可知:当-m≥4,12y2,即m≤-4,122总成立. 10.D 11.x1=-2,x2=1　[解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴y=ax2,y=bx+c的解为x1=-2,y1=4,x2=

15、1,y2=1.即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1. 12.k<4　[解析]∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方, ∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点, ∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0,解得k<4. 13.2　[解析]画出函数的图象如图,要使y=a成立的x的值恰好只有3个,即函数图象与y=a这条直线有3个交点,即a=2. 14.解:(1)证明:联立两个函数解析式,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.

16、(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数解析式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.设直线l与y轴交于点C,在y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),所以OC=1. 所以S△OAB=S△AOC+S△BOC=12·OC·|xA|+12·OC·|xB|=12·OC·|xA-xB|=12×1×22=2. 15.解:(1)根据题意,得y=-12x+50(0

17、40+x)-12x+50=-12x2+30x+2000=-12(x-30)2+2450. ∵a=-12<0, ∴当x<30时,w随x的增大而增大, ∴当x=20时,w最大=2400. 答:当x为20时w最大,最大值是2400元. 16.解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元/支,y元/支, 根据题意,得2x+3y=38,4x+5y=70,解得x=10,y=6. 答:钢笔、笔记本的单价分别为10元/支,6元/支. (2)设钢笔的单价为a元/支,购买数量为b支,购买钢笔和笔记本的总金额为w元. ①当30≤b≤50时, a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13, w=b

18、(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1b2+7b+600=-0.1(b-35)2+722.5. ∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700, ∴当30≤b≤50时,700≤w≤722.5. ②当50

19、),根据点C(0,-2),即可求解; (2)设出点D坐标,表示出PE的长,根据PE=14OD,求得点D(-5,0),利用S△PBE=12PE·BD即可求解; (3)△BDM是以BD为腰的等腰三角形,则分BD=BM和BD=DM两种情况求解. 解:(1)∵点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,∴点B(-4,0), 设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)(x+4), 将点C(0,-2)的坐标代入,得-8a=-2, 解得a=14, 故抛物线的函数表达式为y=14(x-2)(x+4),即y=14x2+12x-2. (2)易得直线BC的函数表达式为y=-12x-2. 设点

20、D(x,0), 则点Px,14x2+12x-2,点Ex,-12x-2. ∵PE=14OD,点P在直线BC上方, ∴PE=14x2+12x-2+12x+2=14(-x), 解得x=0或x=-5(舍去x=0),则点D(-5,0). 故S△PBE=12PE·BD=12×14OD·BD=12×54×1=58. (3)存在.由题意得,△BDM是以BD为腰的等腰三角形,有BD=BM和BD=DM两种情况,如图, 易得BD=1,BC=25. ①当BD=BM,点M在线段CB的延长线上时,过点M作MH⊥x轴于点H, 易得△MHB∽△COB,则MHCO=MBCB, 即MH2=125,解得MH

21、=55. 令y=-12x-2=55, 解得x=-20+255, 故点M-20+255,55. ②当BD=DM时, 设点Mx,-12x-2,其中x<-4.则MD2=[x-(-5)]2+-12x-2-02=1. 整理得x2+485x+1125=0. 解得x1=-4(舍去),x2=-285. 当x=-285时,-12x-2=45. 故点M-285,45. 综上所述,点M的坐标为-20+255,55或-285,45. 18.解:(1)由题意,可设y=-2(x-1)2+1,去括号,得y=-2x2+4x-1, ∴b-2=4,c-2020=-1,解得b=6,c=2019. (2)设

22、抛物线上关于原点对称且不重合的两点的坐标分别为(x0,y0),(-x0,-y0), 代入解析式可得: y0=-2x02+(b-2)x0+(c-2020),-y0=-2x02-(b-2)x0+(c-2020), 两式相加,得-4x02+2(c-2020)=0, ∴c=2x02+2020,∴c≥2020. (3)由(1)可知抛物线为y=-2(x-1)2+1, ∴y≤1. ∵0

23、 ∴当x=m时,ymax=-2m2+4m-1,当x=n时,ymin=-2n2+4n-1, 又∵1n≤y≤1m,∴-2n2+4n-1=1n,①-2m2+4m-1=1m,② 将①整理得2n3-4n2+n+1=0, 变形得(2n3-2n2)-(2n2-n-1)=0, ∴2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0, ∴(n-1)(2n2-2n-1)=0. ∵n>1, ∴2n2-2n-1=0, ∴n1=1-32(舍去),n2=1+32. 同理,整理②得(m-1)(2m2-2m-1)=0, ∵1≤m