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1、圆综合问题
06
圆综合问题
1.如图ZT6-1,△ABC为☉O的内接三角形,点D为劣弧AC上一点,连接AD,CD,CO,BO,延长CO,交AB于点F,CD=BC.
(1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)点E在OC上,连接EB,若∠DAB=∠OBA+∠EBA,求证:EF=EB.
图ZT6-1
2.[2018·陕西] 如图ZT6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC,BC相交于点M,N.
(1)过点N作☉O的切线NE,与AB相交于点E,求证:
2、NE⊥AB;
(2)连接MD,求证:MD=NB.
图ZT6-2
3.如图ZT6-3,☉O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC,交☉O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与☉O的关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;
(3)在(2)的条件下,若DE=5,DF=3,求AF的长.
图ZT6-3
4.[2018·攀枝花] 如图ZT6-4,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)若☉O的半径为
3、3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;
(2)求证:DF是☉O的切线;
(3)求证:∠EDF=∠DAC.
图ZT6-4
5.[2018·毕节] 如图ZT6-5,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作AB的垂线,交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.
(1)求证:EG是☉O的切线;
(2)若tanC=12,AC=8,求☉O的半径.
图ZT6-5
6.[2017·黔南州] 如图ZT6-6所示,以△ABC的边AB为直径作☉O,点C在☉O上,BD是☉O的弦,∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,
4、交BD于点G,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)求证:CG=BG;
(3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的长.
图ZT6-6
参考答案
1.证明:(1)如图,连接OA.
∵OA=OC,∴∠1=∠ACO.∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO.
∵DC=BC,∴CD=BC.∴∠BAC=∠DAC.
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.
(2)∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC.
5、
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,
∴∠BOC=∠OBA+∠EBA.
∵∠BOC=∠OBF+∠OFB,
∴∠EFB=∠EBF.∴EF=EB.
2.证明:(1)如图①,连接ON.
∵CD为Rt△ABC斜边上的中线,
∴CD=12AB=BD.∴∠DCB=∠B.
∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB.
∴∠ONC=∠B.∴ON∥DB.
∵NE是☉O的切线,∴ON⊥NE.
∴NE⊥AB.
(2)如图②,连接ND.
∵CD为☉O的直径,
∴∠CND=∠CMD=90°.
∵CD=BD=AD,
∴BN=12BC,CM=AM.
∴DM是△ABC的中位线.
∴DM=1
6、2BC.∴MD=NB.
3.解:(1)直线l与☉O相切.理由:如图,连接OE.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.
∴BE=CE.∴OE⊥BC.
∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直线l与☉O相切.
(2)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.
∴BE=EF.
(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=8.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即58=8AE.解得AE=645.∴AF
7、=AE-EF=645-8=245.
4.解:(1)如图①,连接OE,过点O作OM⊥AC于M,则∠AMO=90°.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.
∵∠FDC=15°,∴∠C=90°-15°=75°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°.
∴OM=12OA=12×3=32,AM=3OM=332.
∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=33.
∵∠AEO=∠BAC=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°.
∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-S△AOE=120π×32360-12×33×32=3π-934.
8、(2)证明:如图②,连接OD.∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.
∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.
(3)证明:如图③,连接BE.
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC.
∵DF⊥AC,∴BE∥DF.∴∠FDC=∠EBC.
∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC.
∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC.
∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.
5.解:(1)证明:连接OE,BE.∵∠A
9、BG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A.∴BC=AB.
∵BC是☉O的直径,∴∠CEB=90°,即BE⊥AC.∴CE=AE.
又CO=OB,∴OE∥AB.∵GE⊥AB,∴EG⊥OE.
又OE是☉O的半径,∴EG是☉O的切线.
(2)∵AC=8,∴CE=AE=4,∵tanC=BECE=12,∴BE=2.∴BC=CE2+BE2=25,∴CO=5,即☉O的半径为5.
6.解:(1)证明:如图,连接OC.∵∠BAC=∠CBD,
∴BC=DC.∴OC⊥BD.
∵CE∥BD,∴OC⊥CE.∴CE是☉O的切线.
(2)证明:∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CF
10、⊥AB,∴∠ACB=∠CFB=90°.
∵∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF.
∵∠A=∠CBD,∴∠BCF=∠CBD,
∴CG=BG.
(3)连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵∠DBA=30°,∴∠BAD=60°.
∵BC=DC,
∴∠DAC=∠BAC=12∠BAD=30°.
∴BCAC=tan30°=33.
∵CE∥BD,∴∠E=∠DBA=30°.
∴AC=CE.∴BCCE=33.
∵∠CAB=∠BCF=∠CBD=30°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=BC.∴△CGB∽△CBE.
∴CGBC=BCCE=33.
∵CG=4,∴BC=43.∴BE=43.
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湖南省2019年中考数学总复习 专题训练06 圆综合问题练习
