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1、
提分专练(六) 方程、不等式与函数的综合
|类型1| 函数与方程
1.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值;
(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.
2.[2018·上海]一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图T6-1所示.
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围);
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车
2、会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
图T6-1
3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项,列表如下:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y乙
…
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息,解决以下问题:
3、(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x 时,y的值随x的值增大而增大;
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
4.[2019·泰州]如图T6-2,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求tan∠ABC.
图T6-2
|类型2| 函数与不等式
4、
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴.
(1)求此函数的解析式,并作出它的示意图;
(2)当00(a≠0)的解集.
图T6-3
6.[2018·枣庄]如图T6-4,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=nx(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2
5、)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;
(3)直接写出不等式kx+b≤nx的解集.
图T6-4
7.[2019·温州]如图T6-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;
(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.
图T6-5
8.如
6、图T6-6,抛物线y1=ax2+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,过P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b.
(1)求a,c的值.
(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.
(3)在抛物线上是否存在点M,使得S△ABP=5S△ABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图T6-6
【参考答案】
1.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,
∴x=-k2+k-62=0,
即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.
当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意
7、,舍去;
当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.
(2)∵点P到y轴的距离为2,
∴点P的横坐标为-2或2.
当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.
∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
2.解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图象知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图象上,将其坐标代入函数关系式,得b=60,150k+b=45,解之,得b=60,k=-110,故y=-110x+60.
(2)当y=8时,-110x+60=8,解之,得x=520.30-(520-500)=10(千米).
∴汽车开始
8、提示加油时,离加油站的路程是10千米.
3.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,
由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;
x=1,y=2代入y=ax2+bx+3,得a-b+3=6,a+b+3=2,
解得a=1是正确的.
根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x2+bx+c,
得1-b+c=-2,1+b+c=2,解得b=2是正确的,
∴y=x2+2x+3.
(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,
∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,
∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.
故答案为≥-1.
(3
9、)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,
即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4-4(3-k)>0,
解得k>2.
4.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=13,所以y=13(x-4)2-3.
(2)在抛物线中,令x=0,得y=73,所以C(0,73),OC=73,
令y=0,得x1=1,x2=7,所以B(7,0),OB=7,
所以在Rt△OBC中,tan∠ABC=OCOB=13.
5
10、.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴,
∴-b2a=1,16a+4b+c=0,4a+2b+c=8,解得a=-1,b=2,c=8,
∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,
∴抛物线与x轴的交点为(-2,0),(4,0),顶点坐标为(1,9),
二次函数的图象如图所示.
(2)由图可知,当00(a≠0)的解集为-2
11、
∴A(6,0),B(0,12),D(-4,0),
把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,
∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.
点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),
∴20=n-4,n=-80,
∴反比例函数的解析式为y=-80x.
(2)由y=-2x+12和y=-80x得-2x+12=-80x,
解得x1=-4,x2=10,∴E(10,-8),
∴△CDE的面积为12×20×(10+4)=140.
(3)由图象可得-4≤x<0或x≥10.
7.解:(1)令y=0,则-12x2+2x+6
12、=0,
∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).
由函数图象得,当y≥0时,x的取值范围为-2≤x≤6.
(2)由题意得B2(6-n,m),B3(-n,m),
函数图象的对称轴为直线x=-2+62=2.
∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,
∴6-n+(-n)2=2,∴n=1,
∴m=-12×(-1)2+2×(-1)+6=72,
∴m,n的值分别为72,1.
8.解:(1)将P(1,-3),B(4,0)代入y=ax2+c得:16a+c=0,a+c=-3,
解得a=15,c=-165.
(2)由图象得x>4或x<1.
(3)在抛物线上存在点M,使得S△ABP=5S△ABM,
理由是:抛物线的解析式是y=15x2-165.
设M点的纵坐标为e,
∵P(1,-3),
∴由S△ABP=5S△ABM得:
12AB×|-3|=5×12AB×|e|,
解得|e|=35,所以e=±35.
当e=35时,15x2-165=35,
解得x=±19,
当e=-35时,15x2-165=-35,
解得x=±13,
即M点的坐标是19,35,-19,35,13,-35,-13,-35.
8
（江苏专版）2020年中考数学复习 提分专练06 方程 不等式与函数的综合
