2020年中考数学考点专项突破卷10 二次函数（含解析）

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1、专题10.1 二次函数精选考点专项突破卷（1） 考试范围：二次函数；考试时间：90分钟；总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分) 1．（2019·浙江初三期中）下列函数关系中，是的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2020·吉林初三期末）函数y＝x2具有的性质是（　　） A．无论x取何值，y总是正的 B．图象的对称轴是y轴 C．y随x的增大而增大 D．图象在第一、三象限 3．（2020·福建福州时代中学三盛分校初三期末）关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x

2、的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 4．（2020·海林市朝鲜族中学初三期末）抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是（ ） A．（1,-2） B．（-1,2） C．（1，2） D．（-1，-2） 5．（2020·江苏初三期末）二次函数在下列（ ）范围内，y随着x的增大而增大． A． B． C． D． 6．（2020·北京初三期末），，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．（2020·江苏初三期末）已知抛物线y=x2﹣x﹣2经过点（m，5），则m2﹣m+2的值为（　　） A．7 B．8

3、 C．9 D．10 8．（2020·海林市朝鲜族中学初三期末）二次函数y=x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2020·湖南初三期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断确的是（ ） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 10．（2020·浙江初三期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1

4、 或 x＞3 二、填空题（每小题4分，共28分) 11．（2019·厦门海沧实验中学初三期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 写出不等式ax2+bx+c＜5的解集是_____． 12．（2020·江苏初三期末）二次函数的图象与y轴的交点坐标是__． 13．（2020·浙江初三期末）若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______． 14．（2020·贵州初三期末）把函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，所得图象的表达式

5、为_____． 15．（2019·全国初三期末）已知抛物线y=ax2-3x+a2-1经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为______． 16．（2020·北京初三期末）函数的图象如图所示，则该函数的最小值是_______． 17．（2020·吉林初三期末）一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面的宽为_____m． 三、解答题一（每小题8分，共32分) 18．（2020·浙江初三期末）已知抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0） （1）求b的值； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，求△ABC的面

6、积． 19．（2020·贵州初三期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动． （1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2． （2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值． 20．（2020·江苏初三期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0

7、的两个根； （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. 21．（2020·河南初三期末）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 四、解答题二（每小题10分，共30分)) 22．（2019·厦门海沧实验中学初三期中）如图，已

8、知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 23．（2020·贵州初三期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连

9、接OA，求∠OAB的正弦值； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2020·海林市朝鲜族中学初三期末）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （3）当以C、O、M

10、、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值． 专题10.1 二次函数精选考点专项突破卷（1）参考答案 1．C 【解析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】解：A、不是二次函数，故A错误； B、不是二次函数，故B错误； C、是二次函数，故C正确； D、不是二次函数，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于零． 2．B 【解析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．

11、 【详解】解：∵二次函数解析式为y＝x2， ∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负， 其图象的顶点为原点，原点不属于任何象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．C 【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 顶点坐标为（0，1），故选项B错误； 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当

12、x＝0时，y有最大值1，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．C 【解析】根据二次函数的图象性质可得: 抛物线y=3(x－1)2+2的顶点坐标是（1,2）,故选C. 5．C 【解析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围. 【详解】， ∵图像的对称轴为x=1，a=-1， ∴当x时，y随着x的增大而增大， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，当a时，对称轴左减右增. 6．B 【解析】根据二次函数的图象的对称轴和开口方向以及点A，B，C与对称轴的相对位置，即可得

13、到答案. 【详解】∵二次函数的图象的对称轴方程是：直线x=2，开口方向向下，，，三点都在二次函数的图象上， ∴点B距离直线x=2最近，点A距离直线x=2最远， ∴， 故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的开口方向和对称轴位置和图象上的点的坐标之间的联系，是解题的关键. 7．C 【解析】【分析】先把P（m，5）代入抛物线的解析式y=x2-x-2，得到5=m2-m-2，变形后有m2-m=7，然后把它整体代入m2﹣m+2中进行计算即可． 【详解】∵抛物线y=x2﹣x﹣2经过点（m，5）， ∴5=m2﹣m﹣2， 故m2﹣m=7， ∴m2﹣m+2=9，

14、 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线上点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键.本题也考查了整体思想． 8．B 【解析】 由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．故选B． 9．C 【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由图象的开口方向可知：a＜0；由对称轴可知：x=−＜0，∴b＜0；由图象可知：c＞0，∴a＜0，b＜0，c＞0. 故选:C. 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 10．C 【解析】根据函数图象中

15、的数据，可以得到该函数的对称轴和与x轴的一个交点，从而可以得到另一个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当y＞0时，x的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知， 该函数的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0）． 则该函数与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， 故当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 11．0＜x＜4 【解析】根据表格数据可知，二次函数的对称轴，利用二次函数的对称性判断出时，，然后再根据二次函数图象的增减性求解即可.

16、【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线 所以，时的函数值与时的相等，即 又由表格数据可知，二次函数的图象开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y取得最小值1 则求不等式的解集，也就是求时，x的取值范围 根据二次函数图象的特征可得：所求的解集为 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质（对称性与增减性），根据表格数据得出二次函数的对称轴是解题关键. 12．（0，3） 【解析】令x=0即可得到图像与y轴的交点坐标. 【详解】当x=0时，y=3，∴图象与y轴的交点坐标是（0，3） 故答案为：（0，3）. 【点睛】此题考查二次函数图像与坐

17、标轴的交点坐标，图像与y轴交点的横坐标等于0，与x轴交点的纵坐标等于0，依此列方程求解即可. 13．4． 【解析】 试题分析：将抛物线y＝x2－4x＋c配方成y=(x-2) -4+c，顶点坐标为（2，c-4）,所以c-4=0,故c的值为4. 14．y＝（x﹣1）2﹣6． 【解析】根据函数图象的平移规律求解即可. 【详解】解：把函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度， 所得图象的表达式为y＝（x﹣1）2﹣6， 故答案为：y＝（x﹣1）2﹣6． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的

18、函数解析式． 15．-1 【解析】根据二次函数的图象开口向下知道a＜0，又二次函数的图象过原点，可以得到a2−1＝0，即可求出a的值． 【详解】∵抛物线y＝ax2−3x＋a2−1经过坐标原点，且开口向下， ∴a＜0，且a2−1＝0， 解得a＝−1， 故答案为−1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质的知识点，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错，其解答思路渗透了数形结合的数学思想． 16．-1 【解析】根据二次函数的图象的顶点坐标，即可得到答案. 【详解】由函数

19、图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1）， ∵抛物线的开口向上， ∴该函数的最小值是：-1. 故答案是：-1. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，理解二次函数图象的开口方向和函数的最值，是解题的关键. 17．2． 【解析】根据题意画出直角坐标系和二次函数,通过二次函数解出即可. 【详解】解：如图： 以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 根据题意设二次函数解析式为： y＝ax2+2 把A（2，0）代入，得 a＝﹣， 所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2， 当y＝﹣1时，﹣x2+2＝﹣1 解得x＝±． 所以水面的宽度为2

20、． 故答案为2． 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于对二次函数图像的理解和应用. 18．（1）﹣4；（2）3． 【解析】（1）根据抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0），可以求得b的值； （2）根据（1）中b的值和抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为C，可以求得点B和点C的坐标，从而可以求得△ABC的面积． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3与x轴交于点A（1，0）， ∴0＝12+b×1+3， 解得，b＝﹣4， 即b的值是﹣4； （2）由（1）知b＝﹣4， 则y＝x2﹣4x+3， 当y＝0时， 0＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3

21、）， 解得，x1＝1，x2＝3， 故点B的坐标为（3，0）， 当x＝0时，y＝3，即点C的坐标为（0，3）， ∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴AB＝2，OC=3， ∴△ABC的面积=＝3． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．（1）经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．（2）在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2． 【解析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式

22、，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式，解答出即可； （2）由题意，可设P、Q经过t秒，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出表达式，然后求出函数的最大值即可. 【详解】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2． ×（6﹣t）×2t＝8， 解得：t1＝2，t2＝4， 答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2． （2）依题意，得S＝×PB×BQ＝×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9， ∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2． 【点睛】本题主要考查了三角形面积求解与二次函数的最值问题，根据题意得出PB=

23、6-t，BQ=2t是解题的关键. 20．（1）x1＝1，x2＝3；（2）1＜x＜3；（3）x＞2. 【解析】（1）利用抛物线与x轴的交点坐标写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； （2）写出函数图象在x轴上方时所对应的自变量的范围即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】解：（1）由函数图象可得：方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3； （2）由函数图象可得：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为：1＜x＜3； （3）由函数图象可得：当x＞2时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题、根据函数图象求不等式解集以及二次函数的性质，注意数形结合

24、思想的应用. 21．（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元. 【解析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围； （2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可. 【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件 由题意得： 整理得： 由每件售价不能高于65元得：，即 又因x为正整数 则x的取值范围为：，且x为正整数 综上，y与x的

25、函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数； （2）的对称轴为： 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润 将代入得：，此时售价为 将代入得：，此时售价为 答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解. 22．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当

26、m＝时，△BNC的面积最大，最大值为 【解析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长； （3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的最大值即可. 【详解】（1）抛物线经过点两点，代入得： ，解得： 则抛物线的解析式为； （2）由抛物线可知， 因此，设直线BC的解析式为： 代入得 解得： 则直线BC的解析式： 已知点M的横坐标为m，且轴，则； 则 故MN的长为； （3）存在点

27、M，使的面积最大 如图，过点M作轴于点D 则 即 由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小 则当时，的面积最大，最大值为. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键. 23．（1）y＝x﹣4，y＝﹣2x2+7x+4；（2）；（3）存在，（6，0）或（20，0） 【解析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据与x轴的交点y=0，求出C的坐标，然后根据A与C的坐标求出二次函数的解析式即可； （2）过O作OH⊥BC，垂足为H，证明△BOC为等

28、腰直角三角形，求出OH＝BC＝2，然后求出OA，即可求出∠OAB的正弦值； （3）利用勾股定理求出AH，再求出AB＝，然后分情况求出D点的坐标即可. 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点， ∴﹣5＝﹣k+b，b＝﹣4，k＝1， ∴一次函数解析式为：y＝x﹣4， ∵一次函数y＝x﹣4与x轴交于点C， ∴y＝0时，x＝4， ∴C（4，0）， ∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣1，﹣5）、点C（4，0）， ∴， 解得a＝﹣2，b＝7， ∴二次函数的函数表达式为y＝﹣2x2+7x+4； （2）过O作OH⊥BC，垂足

29、为H， ∵C（4，0），B（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4，即△BOC为等腰直角三角形， ∴BC＝＝＝4， ∴OH＝BC＝2， 由点O（0，0），A（﹣1，﹣5），得：OA＝， 在Rt△OAH中，sin∠OAB＝＝＝； （3）存在， 由（2）可知，△OBC为等腰直角三角形，OH＝BH＝2， 在Rt△AOH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝3， ∴AB＝AH﹣BH＝， ∴当点D在C点右侧时，∠OBA＝∠DCB＝135°， ①当，即时，解得CD＝2， ∵C（4，0），即OC＝4， ∴OD＝OC+CD＝2+4＝6， 此时D坐标为（6，0）； ②当，即时， 解得CD

30、＝16， ∵C（4，0），即OC＝4，∴OD＝OC+CD＝16+4＝20， 此时D坐标为（20，0）， 综上所述，若△BCD与△ABO相似，此时D坐标为（6，0）或（20，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，涉及了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定，综合性较强，熟练掌握各知识点并学会综合应用是解题的关键. 24．(1) y=﹣x+3;(2)m=2;(3) 【解析】 试题分析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方

31、程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式； （2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值； （3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值. 试题解析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； 令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴点

32、B的坐标（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． （2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形， ∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2， ∵点M不能与点C重合， ∴点P的横坐标为m=2． （3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m ∴M（m，﹣m2+2m+3）， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∴N（m，﹣m+3）， ∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形， ∴MN=OC=3， ∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解， 或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0， 解得m=， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为． 点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了。 18