等腰三角形性质：三线合一”专题

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1、 等腰三角形性质：三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例1． 如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。 求证：BE=CE。 变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。 变式

2、练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。 A B B C E D 例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE的长度。 例三. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。 图1 分析：如图1，AB=AC，BD⊥AC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知∠EAC=∠EAB，又∠，所以。 例四. 已知：如图2，△ABC中，AB

3、=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。 图2 分析：欲证∠ACE=∠B，由于AC=AB，因此只需构造一个与Rt△ACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。 证明：作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴ 又∵， ∴BD=CE。 在Rt△ABD和Rt△ACE中， AB＝AC，BD=CE， ∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL）。 ∴∠ACE=∠B 例五. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。 图3 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此

4、只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。 证明：联结BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵CD=CE， ∴∠CDE=∠E=30° ∵BD是AC边上中线， ∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30° ∴∠DBE=∠E。 ∴DB=DE 又∵DM⊥BE， ∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。 巩固练习一： 1、已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（ ） A． B. C. D. 2、如图2，在△ABC中，AB=A

5、C，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC=（ ）  第4题图 A B D E C  第2题图 D A B C E F 第3题图 A．10 B. 12.5 C.15D.20 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（　　　） A、 2对 　B、3对　 C、4对　 D、5对 4 、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为(

6、 ) A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED<∠AGF D．不能确定 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC= C A B D E A D C B E AAA  第7题图 B A E D F C  第5题图  第6题图 6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。 7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E

7、，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为 8、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论： ①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB； ④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) 9、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。 10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BC

8、 11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证： ∠ABC=∠ACB 【巩固练习二】 1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。 2、 在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm， 则∠BAC＝________，∠DAC＝______

9、__，BD＝________cm。 3、 在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝3，AC＝4，则AD＝________。 4、 已知△ABC中，∠A ＝n°，角平分线BE、CF相交于O，则∠BOC的度数应为（　　） （A）90°－°（B）90°＋ °（C）180°－n°（B）180°－° 5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B）两个等边三角形 （C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 6、 已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠B

10、AC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？ A C B D E 7、 已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。 8、 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证：CD⊥BE。 9、 如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。 10、 如图2，BM，分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂足。求证：MN∥。 6 / 6