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1、拉普拉斯变换及其反变换表
1 .表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
L [ af ( t )]aF ( s )
叠加性
L [ f i (t )f 2 (t)]Fi ( s)F 2 (s)
2
微分定理
一》式
df (t )
L [ ]sF ( s )f ( 0 )
dt
d 2 f ( t )„
L [ J(~)-]s 2 F ( s )sf ( 0 )f(0)
dt 2
L d n f ( t )snF(s)n snkf(k1)(0)
dt nk i
(k 1)d k 1 f ( t )
f (k 1) ( t )—出k 1
初始
2、条件为。时
d n f ( t )n
L [ n^^]s n F ( s )
dt n
3
积分定理
一》式
F(s) [ f(t)dt]t 0
L[ f(t)dt] ( ) ss
2
Lf-21F(s)[卬叫0[ f(t)(dt)]t0
L[f (t)(dt) ]22
sss
共n个共n个
n F(s) n 1n
L[f (t)(dt) ](n)n k1[f(t)(dt) ]t 0
sk 1 s
初始条件为。时
共n个
L[f(t)(dt)n] 可
s
4
延迟定理（或称t域平移定理）
一一———Ts_
L[f(t T)1(t T)] e F(
3、s)
5
衰减定理（或称s域平移定理）
L[f(t)eat] F(s a)
6
终值定理
lim f (t) lim sF(s) ts 0
7
初值定理
lim f (t) t 0\ /
lim sF(s) s
8
卷积定理
t
L[ 0 f1(t
t
)f2()d]L[0fi(t)f2(t)d ]Fi(s)F2(s)
2 .表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换F(s)
时间函数f(t)
Z变换F(z)
1
1
S(t)
1
2
1
♦Ts
1 e
T(t)(t nT)
n 0
z
z 1
3
1
4、s
1(t)
z
z 1
4
1
2
s
t
Tz
(z 1)2
5
1
s
万
_ 2
T z(z 1)
一3
2(z 1)
6
1
n 1
s
tn
n!
/ 八 nn_
U”n (aT)
a 0 n! a z e
7
1
s a
at e
z
aT z e
8
1
(s a)2
. at
te
taT
Tze
aT 2
(z e )
9
a
s(s a)
aat
1 e
(1 eaT)z
(z 1)(z e aT)
10
b a
(s a)(s b)
atbt
e e
zz
a
5、TbT
z ez e
11
22
s
sin t
zsin T
2—一 ，
z 2zcos T 1
12
s
22
s
cos t
z(z cos T)
2
z 2zcos T 1
13
2J2
(s a)
_ at -t
e sin t
aT .
ze sin T
2caT.2aT
z 2ze cos T e
14
s a
/\22
(s a)
at工
e cos t
2aT—
z ze cos T
2aT2aT
z 2ze cos T e
15
1
s (1/T)lna
t /T a
z
z a
3
6、 .用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐
项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式
F(s)
B(s) bmSm bmiSm
A(s)
ans ans
as a
(n m)
式中系数ao,a,..,a-,a
bo,bi, bmi,bm都是实常数;
m,n是正整数。
代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
①A(s) 0无重根
这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。
F(s)
C1
C2
Ci
Cn
Ci
s s s s2
s sn
s si
式中，S1
7、 S2 Sn是特征方程A(s)
=0的根。Ci为待定常数，称为F(s)
在Si处的留数，可按下式计算:
c lism(s s)F(s)
式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(F-1 )
可求得原函数
f(t) L 1 F(s) L 1
i
Ci
cie
Sit
1 SSi
②A(s) 0有重根
设A(s) 0有r重根s1, F(s)可写为
(s s)(s
B⑸
Sr1) (S 6)
Cr
(S S1)r
Cr1
(s s)1
C1
(S S1)
S Sr1
Ci
Cn
s Si
S
8、 Sn
式中，S1为F(s)的r重根，Sr
…，Sn为F(s)的n-r个单根;
其中，Cr
1,…，Cn仍按式(F-2)或(F-3)计算,Cr
,Cr1,…，C1则按下式计算:
lim(s s)rF(s)
Cr
lim斯S)F⑼
S S
Cr
1 d ' r
lim Ms Si) F(s)
j! ds
_1 (r
d( r 1 )
lim——
1)! 1 ds1
(S Si)rF(s)
原函数f(t)为
-1 _
f(t) L F(s)
Cr
(s S1)
C1
Cr1
(S s)
(s S1)
SSr1
Ci
S Si
Cn
s s
C2t
S1t
C1 e
st
ce
(F-6)
拉普拉斯变换及其逆变换表
