相变中的伊辛模型

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1、伊辛模型的相变讨论 第1页共6页 伊辛模型的相变讨论 第5页共6页 伊辛模型的相变讨论 姓名：胡博昊（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽安庆246011） 指导老师： 尹训昌 摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子 在平均场中受到什么样的相互作用。 伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构， 解释这类相变现象的一 种粗略的模型。它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。在热力 学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。本文应用重整化群的方法研究 了相同的问题，得到了系统的相变点。与平均

2、场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。 关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论 引言： 在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型一一 伊辛（Ising ）模型的相变，得到下面的结论：对于一维 Ising 模型不存在有限温度的相变，只 有零温相变；对于二维一维 Ising 模型，相变点为 0.25。由于此种方法推到复杂，不容易掌握。 本文应用了一种简单的方法一一重整化群（ RG对Ising 模型的相变进行了讨论，得到了相同 的结果。与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。 1平均场理论 在连续介质微观力学中 ，有两类基于微结构信息确

3、定非均匀介质有效性能的基本理论 ：基于 物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论 平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一 下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理 论，后来还有很多不同的名称。 1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。朗道的平均场理论， 拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。 认为热力学函数是序参量的解析函数。这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次 方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数， a是一个正数,b也是一个

4、正 数。曲线在高于 Tc的时候和低于 Tc的时候是不一样的，高于 Tc的时候，最小值是 Mo=0,就是 没有自发磁化；如果低于 Tc,就有不等于 0的极小点。按照平均场理论算出来，临界指数 3等 d=3。可以算出平常说的磁化率, 于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上是这样的关系, 和T的相对温度之间有一个关系，指数是 1。还可以算比热，从低温到高温的时候有一个跃变， 本身是一个常数。如果铁磁体不是单轴各向异性，而是平面各向异性的，序参量会有两个分量。 我们可以拿这个曲线转一圈，最低能量态是“简并”的，所有“酒瓶底”的状态都具有最低能 量，实际体系可能处于某一个位置上。这就是

5、对称破缺。 平均场理论是“多次被发明”的理论。 从最早的范德瓦耳斯方程，到外斯的分子场理论，描述合金有序化的布喇格-威廉姆斯理论， 都说的同一回事。 2伊辛模型的简介 伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，它可以被用来帮助我们发 现物理世界的原则。它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合 金中的有序无序转变 ，液氦到超流态的转变 ，液体的冻结和蒸发 ，晶格气体,玻璃物质的性质 ，深 林火灾，城市交通，蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等 伊辛模型是一个非常简单的模型 ，在一维，二维或三维的每个格点上占据一个自旋 •自旋是 电子的一个内

6、禀的性质 ，每个自旋在空间有两个量子化的方向 ，即其指向可以向上或者向下 •尽 管伊型模型是一个简单的物理模型 ，目前仅有一维和二维的精确解 •现在考虑一维伊辛模型， M个 自旋排成一排，每个自旋与其左右两个最近邻的自旋手拉收，手拉手便是它们之间有相互作用。 简单起见，我们仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。二维正方伊辛模型就是有 N 个相同的自旋排，每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋手拉手，而且与前后相邻的自旋排 中的两个最相邻的自旋手拉手，构成了一个二维的自旋阵列。三维立方伊辛模型就是有 L个相 同的二维自旋阵列。三维立方伊辛模型就是有 L个相同的二维自旋阵列，每个自

7、旋与其左右、 前后、上下六个最近邻的自旋手拉手。可以看来随着维度的增加，每个自旋的最近邻自旋数增 加，与周围自旋的相互作用也在增强。 由于相互作用倾向于使近邻自旋的方向一致，所以在绝对零度时，系统的基态是铁磁态， 所以自旋的取向完全一致。有两个可能，都是向上或都是向下。一旦选定了向上，就大家一起 向上，非常有序。如升高温度 T,温度将要对这种有序的状态进行扰动，某一个自旋可能就会挣 脱其他自旋对它的相互作用的束缚，而变成向下。这个调皮的自旋可能又会影响其他自旋的取 向，从而引入了无序的成分。我们面临的问题就是，在什么温度下，系统从有序态变成无序态。 这个温度就是我们关系的相变的

8、临界温度。在统计物理中有一套标准的程序，从系统的哈密顿 量H出发，写成其配分函数。配分函数就是对系统的所有可能不同状态根据哈密顿量 H写下玻 尔兹曼权重的指数函数 exp(-H/k BT)，并对所有的可能状态的值求和。一个状态在温度 T下出现 exp(-H/k BT)除以配分函数。其中余姚对写下所有可能状态的玻尔兹曼权重的矩阵对角化能量本 的可能性正比于该状态的值求和。一个状态在温度 T下出现的可能性正比于该状态的指数函数 征值。对大型复杂矩阵的对角化是一个难点。然后事情就变得非常简单，根据热力学统计物理 的标准手续从配分函数就立即得到系统的自由能，对自由能进行微分立即得到磁化强

9、度、比热、 磁化率等物理性质。所以，问题的关键在于求出系统的配分函数。 3伊辛模型的应用 在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生 宏观磁矩。温度高于居里温度时 ，自旋的取向非常紊乱，因而不产 生净磁矩。当温度从大于或 小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态 之间的相变，它并不包含在 P.厄任费斯脱所分类的相变中。伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结 构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得 了数学上严格的解。这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。

10、这个模型所研究的系统是由 N个阵点排列成 n维周期性点阵， 这里n=1,2,3。点阵的几何结 构可以是立方的或六角形的 ，每个阵点上都赋予一个取值 +1或一1的自旋变数i,如果i=+1,即第 N个阵点的自旋向上；女口 i=-1 ，即第个 N阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相 互作用。点阵的位形用一组自旋变数( i=1 , 2 , ,N,)来确定。 4 一维Ising 模型的相变 Ising 模型是伊辛于 1924年提出的，Ising 模型是铁磁体的一种最简单的理论模型，它可以 近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，可以描述反铁磁体、气液相变和二元溶液相变 等。在I

11、sing 模型中，假设自旋处于每个晶格的格点上，每个自旋只能取向上或向下两个态， 即取+1和-1两个值。如果假设只存在最近相邻相互作用，它的有效哈密顿可表示为 H=Q SQ (1) ij 其中，Si表示晶格格点 i上的旋转，K表示约化的最近邻相互作用参数， K>0和K<0分别表示铁 磁体和反铁磁体， a 表示对所有的最近邻自旋之间的相互作用求和。此系统的配合函数可以 ij 表示为 Z= exp(H) (2) 其中，7 代表对一切可能的自旋态 {S i }求和。 {S} 对于一维Ising 模型的相变在统计物理教材中都是通过数学推导先求出系统的配合函数，然后 伊辛模型的相

12、变讨论 第6页共6页 再求相变点。这种方法推到较多很多人难接受。下面采用重整化群的方法研究这个问题。 图1重整化群变换过程 为了表述简单，取一维 Isi ng 模型链的一部分进行讲解（见图 1）。在图 1（ a） 中选取三 个自旋变量的一维链，即存在两个相互作用。根据（ 1）式，它的有效哈密顿量可写为 H=K(S aS1+ S1Sb) (3) 图1（ b）表示经过一次重整化变换的一维链，在这个过程中，可以看出中间的自旋被消去。 以Sa' ,S b'来表示图 1（ b）格点上的自旋，根据重整化变换后系统的配分函数保持不变，可 以写出下面的表达式 、‘

13、 exp(H) =Aexp(H ') 上式中A是重整化常数, H'为重整化变换后的有效哈密顿量，它的表达式为 '=K' S a ' S b ' 由（2）和（3）可得变换前的配分函数为 Z= 、exp(K(SaS SA)) {Si} (6) 自旋S1取+1和-1两个值，对上式求和消掉自旋 S1后，配合函数可辨识为 Z=exp(K(S a+Sb))+ exp(-K(S a+Sb)) 由（2）（ 5）可得变换后的配分函数为 Z' =v exp（K'Sa'Sb'）。 根据前后配分函数保持不变这个特点，考虑到（ Sa，Sb ）可以取（+1， +1

14、 )、 ( +1，-1 ）、（-1 ， +1 ）和（-1，-1 ）四种组合，得到不重复的两个方程为 Exp(2K)+exp(-2K)=Aexp(K (8) 2=Aexp(-K (9) 对上面两个方程求解，可以求出 A= =丄“ 2 exp(2K) exp(_2k) 、2(exp(2K) exp(-2K)) (11) (10) 2 （10）式就是RG变换的递推关系。 由它出发可以求出系统的临界点。为了求得系统的不动点，令 伊辛模型的相变讨论 第#页共6页 (16) K' =K' =K” ,由递推关系可以求得系统的不动点为 K” = •根据

15、K=J/（k BT）可得系统的相变温 度为0即一维Ising模型只存在零温相变。 5二维Ising 模型的相变 由于二维Ising模型的配分函数求解过于复杂，在统计物理教材中没有介绍。下面继续采 K f K K -► ◎ K K K 3K 3K 3K 用重整化群的方法对二维正方形晶格上的 Ising模型的相变进仃讨论。正方形晶格是一种配位 数均匀的平移对称晶格，它的空间维数为 2•假设只存在最近邻相互作用 K,该晶格上 Isi ng 模 型的有效哈密顿量为 H=K (12) ij 伊辛

16、模型的相变讨论 第#页共6页 (16) 伊辛模型的相变讨论 第#页共6页 (16) 图2二维皿模型的重整化群变换过程 正方形晶格上 Isi ng 模型的键移和重整化群过程如图 2所示, Sa，Sb，S1和S 2用来表示各格 伊辛模型的相变讨论 第#页共6页 (16) 伊辛模型的相变讨论 第8页共6页 (16) K随着键一起移动。根据假设，键 点上的自旋。在图 2的键移过程中，我们假设相互作用参数 移后的有效哈密顿量为 H=3K(S aS1 + S 1S2+S2Sb) (13) 经过重整化群变换后内部格点 S1和S2

17、被消去，以 Sa ' ,S b '来表示变换后各格点上的自旋， 变换后的相互作用参数用 K'来便是，变换后系统的有效哈密顿量可写为 H ' =K' S a ' S b ' （ 14） 结合（2 ）和（13 ）求得变换前的配合函数为 Z= 、exp（3K（SaS1 S1S2 S2Sb）） （15） {Si} 根据自旋 S取+1和-1两个值，则自旋对（ S1，S2）有（+1，+1 ）、（ +1，-1 ）、（ -1，+1） 和（-1,-1 ）四种组合，消去内部格点，（ 15）式重新写为 Z= exp(3K(S a +S b +1))+ exp(3K(S a -S b -1))+ e

18、xp(3K(-S a -S b「))+exp(3K(-S a+Sb-1)) 由（2）和（14）可得变换后的配分函数为 Z'八 exp（K'Sa'Sb'）。 根据重整化群变换前后系统的配分函数保持不变，结合自旋对（ +1 ）和（-1，-1 ）的四种组合，可以得到下面两个方程 3exp(-3K)+exp(9K)=Aexp(K 3exp(3K)+exp(-9K)=Aexp(-K 由上面两个方程，可以求得 +1，+1 ）、 （ +1，-1 ）、 （ -1， ') (17) ') (18) (19) 1ln 3exp(-3K) +exp(9k) A= 10 3(exp(

19、12K) exp(-12K)) (20) （19）式为二维 Ising 模型的递推关系，由它发出可以求出系统的相变点为 K” =0.241 。 2 3exp(3K) exp(-9K) 6结论 用重整化群的方法，研究了以为和二维 Isi ng模型的相变。对于以为Isi ng 模型的相变, 得到了与平均场理论相同的结果；对于二维 Ising 模型的相变，不仅求得了系统的递推关系， 还进一步求得了系统的相变点。从本文的推导过程来看，应用重整化群研究 Ising 模型低相变 易于掌握。 参考文献: 【1】 汪志诚。热力学统计物理（第二版）【 M】。北京：高等教育出版社， 1993 357 — 361. 【2】 北京大学量子统计编写组，量子统计物理学【 M】.北京：北京大学出版社， 1985 380 — 400 【3】 杨展如。分形物理学（第四版）【 M】。北京：高等教育出版社， 1996 61 — 70 【4】 汪志诚。热力学统计物理（第四版）【 M】。北京：高等教育出版社， 1993 284 — 288