2022版新教材高中数学 考点突破素养提升 第二课 等式与不等式 新人教B版必修1

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1、 考点突破·素养提升 素养一　数学运算 角度1　解方程与方程组 【典例1】关于x的方程x2-4x+k=0与2x2-3x+k=0有一个相同的根，求k的值. 【解析】设x2-4x+k=0的两根为α，β， 2x2-3x+k=0的两根为α，γ，那么 ①-③得：β-γ=⑤， 由②④得：αβ=2αγ⑥ 当α=0时，由②得：k=0； 当α≠0时，由⑥得：β=2γ， 代入⑤得：β=5；把β=5代入①得，α=-1， 代入②得，k=-5，所以k=0或k=-5. 【类题·通】 求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组. 【加练·固】 　 　假设方

2、程x2+3x+k=0的两根之差为5，求k值. 【解析】设方程的两根为α，α+5， 由根与系数的关系得：α+α+5=-3， 所以α=-4，所以α+5=1， 所以k=α(α+5)=-4×1=-4. 角度2　解不等式与不等式组 【典例2】在R上定义运算：=ad-bc.假设不等式≥1对任意实数x恒成立，那么实数a的最大值为 (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选D.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1， 即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立， x2-x-1=-≥-， 所以-≥a2-a-2，-≤a≤. 【类题·通】 解决“

3、恒成立〞的根本方法是转化法，其根本步骤有两步，即别离与求最值，此题进行了巧妙的转化后，变成解一元二次不等式问题. 素养二　逻辑推理 角度1　不等式的性质及其应用 【典例3】(1)a，b满足等式x=a2+b2+20，y=4(2b-a)，那么x，y满足的大小关系是 (　　) A.x≤y B.x≥y C.xy (2)假设<<0，那么不等式：①a+b|b|； ③a2中，正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (3)假设a，b>0，且P=，Q=，那么P，Q的大小关系是 (　　) A.P>Q B.P

4、Q D.P≤Q 【解析】(1)选B.x-y=a2+b2+20-4(2b-a)=(a+2)2+(b-4)2≥0，所以x≥y. (2)选B.由<<0，得ab>0，b|a|，因此①正确，②错 误，③错误.又+-2=>0，因此④正确. (3)选D.P2-Q2=-(a+b) =-≤0，所以P2≤Q2，即P≤Q. 【类题·通】 不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论根底，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据.要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错. 【加练·固】 如果a，b，c满足c

5、立的是(　　) A.ab>ac　　　 B.c(b-a)>0 C.cb20，c<0. 对于A：⇒ab>ac，A正确. 对于B：⇒c(b-a)>0，B正确； 对于C：⇒cb2≤ab2，即C不一定成立. 对于D：ac<0，a-c>0⇒ac(a-c)<0，D正确. 角度2　均值不等式及其应用 【典例4】当x≥0时，求x+的最小值. 【解析】因为x+=(x+1)+-1， 又x≥0，所以x+1>0，>0， 所以x+1+≥2.当且仅当x+1=， 即x=-1时，x+取最小值2-1. 【类题·通】 利用均

6、值不等式求最值的策略 【加练·固】 x>0，y>0，xy=10，求+的最小值. 【解析】因为x>0，y>0，xy=10，所以+≥2=2，当且仅当=，即x=2，y=5时，等号成立， 故+的最小值为2. 素养三　直观想象 角度　解绝对值不等式 【典例5】不等式|x+2|-|x+3|>m. (1)假设不等式有解. (2)假设不等式解集为R. (3)假设不等式解集为，分别求出m的范围. 【解析】方法一：因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由图象知(|P

7、A|-|PB|)max=1， (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)假设不等式有解，m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(-∞，1). (2)假设不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m<-1，m的范围为(-∞，-1). (3)假设不等式的解集为∅，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，+∞). 方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1， |x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1， 可得

8、-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)假设不等式有解，那么m∈(-∞，1). (2)假设不等式解集为R，那么m∈(-∞，-1). (3)假设不等式解集为∅，那么m∈[1，+∞). 【类题·通】 解绝对值不等式的常用方法 (1)平方法. (2)分情况讨论去绝对值法. (3)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解法. (4)构造函数，利用图象求解法. 素养四　数学建模 角度　根本不等式的实际应用 【典例6】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

9、 【解析】设每间虎笼长x m，宽y m， 那么由条件知，4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S，那么S=xy. 方法一：由于2x+3y≥2=2， 所以2≤18，得xy≤， 即Smax= m2，当且仅当2x=3y时，等号成立. 由解得 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大. 方法二：由2x+3y=18，得x=9-y. 因为x>0，所以00.所以S≤=. 当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使

10、每间虎笼面积最大. 【类题·通】 解决根本不等式的实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，解题时，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义. 【加练·固】 　 　某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如下列图)，假设要使其营运的年平均利润最大，那么每辆客车需营运 (　　) A.3年　　B.4年　　C.5年　　D.6年 【解析】选C.设二次函数为y=a(x-6)2+11. 又图象过点(4，7)，代入得7=a(4-6)2+11， 解得a=-1，所以y=-x2+12x-25. 设年平均利润为m，那么m==-x-+12≤2， 当且仅当x=，即x=5时取等号. - 7 -