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寒假作业一（答案）
一、选择题
1．A
解析 即在A中把B中有的元素去掉．
2．C
解析 如图，阴影部分表示集合(∁UA)∩B，而集合A＝{x|x>}，∁UA＝{x|x≤}．
B＝{y|－1≤y≤1}，所以(∁UA)∩B＝{x|x≤}∩{y|－1≤y≤1}＝{x|－1≤x≤}．
3．A
4．B
解析 ∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”，
∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
5． A
解析 由题意可知，p假q真．
6．D
解析 由可得A＝[－1,2)∪(2，＋∞)，前三个选项都有可能，对于选项D，∁RB＝(－∞，a]，不可能有A⊆∁RB.
7．D
解析 A＝，∵11∈B，∴a>|11－5|＝6.又由|x－5|
11.画数轴知选D.
8．D
解析 A中原命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错；C中命题的否定应为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，因此D正确．
9．A
解析 命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a＝1或a＝－1”的否定为“a≠1且a≠－1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”，所以选A.
10．C
解析 命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．充分不必要
12．{x|0≤x<1}
解析 A＝{x|≤1}＝{x|－1≤0}＝{x|≤0}＝{x|x≥1或x<0}，因此∁RA＝{x|0≤x<1}．
13．4个
14．{2,4,6,8}
解析 A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．
15．必要不充分
16．④
解析 对于①，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此选项①是真命题；对于②，注意到lg2x＋lgx＋1＝(lgx＋)2＋≥>0，因此选项B是真命题；对于③，在△ABC中，由A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此选项③是真命题；对于④，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函数，∴④是假命题．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解析 A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，A∪B＝A，∴B⊆A.
①当m＝0时，B＝∅，B⊆A；
②当m≠0时，由mx＋1＝0，得x＝－.
∵B⊆A，∴－∈A. ∴－＝2或－＝3，得m＝－或－.
∴满足题意的m的集合为{0，－，－}．
18．解析 (1)是特称命题；用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1，是一个假命题．
(2)是全称命题；用符号表示为：∀直线l，l存在斜率，是一个假命题．
(3)是全称命题；用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，是一个假命题．
(4)是特称命题；用符号表示为：∃x0∈R，＝2是一个假命题．
19．解析 依题意知，对任意x∈R，都有|x－a|＋|x＋1|>2；由于|x－a|＋|x＋1|≥|(x－a)－(x＋1)|＝|a＋1|，
因此有|a＋1|>2，a＋1<－2或a＋1>2，即a<－3或a>1.
所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
20．解析 (1)当m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，
F＝{x|>1}＝{x|<0}＝{x|－60时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，
由E∪F＝R，F＝{x|－6－1且x≠1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．
3．B
解析 逐项验证即可．
4．D
解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f(x)的草图如图所示．
不等式≤0⇔≤0⇔≥0⇔或由图可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D.
5．C
解析 f(x)＝1＋log2x的图像可由f(x)＝log2x的图像上移1个单位得到，且过点(，0)、(1,1)，由指数函数性质可知g(x)＝21－x为减函数，且过点(0,2)，故选C.
6．A
解析 (1)当x≥2时，f(x)＝x2＋x－3，此时对称轴为x＝－，f(x)∈[3，＋∞)．
(2)当x<2时，f(x)＝x2－x＋1，此时对称轴为x＝，f(x)∈[，＋∞)．
综上知，f(x)的值域为[，＋∞)．
7．C
解析 令t＝3x，即x＝log3t，则问题转化为函数y＝t2－mt＋m＋1在(1，＋∞)上的图像恒在x轴的上方，即Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或解得m<2＋2.
8．B
解析 f(1)＝－3<0，f(2)＝－<0，f(3)＝>0，故选B.
9． D
解析 ∵f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2.
又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图像如图．
显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两不同的公共点．
另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，∴x＝. ∴A(，)，又A点在y＝x＋a上，∴a＝－，∴选D.
10．B
解析 (1)对于方程f(g(x))＝0，
令t＝g(x)，则由f(t)＝0可得t＝－1,0,1.
g(x)＝－1时，x＝1，有2个． g(x)＝0时，有3个解． g(x)＝1时，x＝2，有2个．
∴f(g(x))＝0的实根个数a＝7.
(2)对于方程g(f(x))＝0，
令t＝f(x)，由g(t)＝0，得t1∈(－2，－1)，t2＝0，t3∈(1,2)．
f(x)＝t1，无解；f(x)＝t3，无解．f(x)＝0,3个解，即b＝3.
∴a＋b＝10，选B.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．
解析 ∵f(x)＝是奇函数，利用赋值法，
∴f(－1)＝－f(1)． ∴＝－.
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
12．10或
解析 ＝，两边取10为底的对数，得(lga－)lga＝，解得lga＝1或lga＝－，故a＝10或a＝.
13．1
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．
因为log5∈(－2，－1)，log5＋2＝log∈(0,1)，
又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋， 所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋.
所以f(log5)＝f(log5＋2)＝f(log)＝＋＝＋＝＋＝1.
14．6,10 000
解析 由lg1 000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
15．|log2|x－1||
16．②④
解析 易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？
通过图像很难断定，下面我们利用存在零点的条件f(a)f(b)<0来解决这个问题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)＝－|log2x|的零点，其中f(1)＝>0，f(2)＝－<0，f(4)＝>0，所以在直线x＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)内，一个在(2,4)内，故函数f(x)＝－|log2x|共有3个零点，即函数y＝和y＝|log2x|的图像有3个交点．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解析 (1)当x<0时，f(x)在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x>0时，f(x)在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．
综上，f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．
(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；
当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6. 故所求x的值为－6或6.
18． 解析 (1)由得－10，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－0且a≠1， ∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝32x.
(2)由(1)知不等式()x＋()x－m≥0即为()x＋()x－m≥0.
∴问题转化成当x∈(－∞，1]时m≤()x＋()x恒成立．
令g(x)＝()x＋()x，易知g(x)在(－∞，1]上为减函数．
∴g(x)≥g(1)＝＋＝. ∴m≤.
21．解析 (1)依题意有y＝且x∈N*，因为y>0，x∈N*，
由得6≤x≤10，x∈N*.
由得1010时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－＝时，y取最大值．
但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575(100)的图像．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
寒假作业三（答案）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．B
解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a4＝a5＋a3，
∴2d＝a7－a5＝－1，即d＝－. 故选B.
2．D
解析 由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a＝243，所以得a7＝3，又＝＝a7，故选D.
3．D
解析 ∵S5＝5，又∵S5＝a1＋a5，∴a1＋a5＝0.∴a3＝0，∴S11＝11＝11＝11＝110，故选D.
4．D
解析 各项均不为零的等差数列{an}，由于a－an－1－an＋1＝0(n∈N*，n≥2)，则a－2an＝0，an＝2，S2 009＝4 018，故选D.
5．A
解析 由于a2a4＝a，a4a6＝a，所以a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25.所以a3＋a5＝5.又an>0，所以a3＋a5＝5.所以选A.
6．B
解析 ＝a3a6⇒(1＋3d)2＝(1＋2d)(1＋5d)⇒d(d＋1)＝0⇒d＝－1，
∴a3＝－1，a4＝－2，∴q＝2. ∴a6＝a4q＝－4，第四项为a6q＝－8.
7．B
解析 f(n＋1)＝f(n)＋，∴
累加，得f(20)＝f(1)＋(＋＋…＋)＝f(1)＋＝97.
8．D
解析 ∵成等比，∴(ay)2＝aa－. 即2y＝－，x－1>0，
∴x>1．x－10，q<0，所以－aq7>0，即a9S8>a8S9，故选A.
10．C
解析 方法一 设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意可得，
即解得
所以，S2 012＝2 012a1＋d
＝2 012(－4 021)＋2 0122 0112＝2 012(4 022－4 021)＝2012.
方法二 由S2 011＝＝2 011a1 006＝－2 011，
解得a1 006＝－1，则
S2 012＝＝＝＝2 012.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．
解析 由题意知2n＝m＋m＋n， ∴n＝2m.又n2＝mmn，∴n＝m2，∴m2＝2m.
∴m＝2，∴n＝4，∴a2＝4，b2＝2，c2＝2. ∴e＝＝.
12．
解析 ＝＝＝.
13．2
解析 ∵S3＝＝6，而a3＝4， ∴a1＝0. ∴d＝＝2.
14．1 223.4
解析 应为1 200＋0.312＋0.311＋…＋0.3＝1 200＋0.3＝1 223.4(元)．
15．4
解析 设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a＝a2a4＝4.又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8()n－1＝24－n，anan＋1an＋2＝29－3n.由于2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足anan＋1an＋2>的最大正整数n的值为4.
16．－
解析 因为＝，所以＝＝－，即q5＝(－)5，所以q＝－.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解析 ∵an，an＋1是x2－(2n＋1)x＋＝0的两根， ∴an＋an＋1＝2n＋1，anan＋1＝.
∴an＋1＋an＋2＝2n＋3. ∴an＋2－an＝2.
∴a3－a1＝2，a5－a3＝2，……，a2n－1－a2n－3＝2.
∴a2n－1－a1＝2(n－1)．
∴a2n－1＝2n－1，∴当n为奇数时，an＝n.
同理可得当n为偶数时an＝n.
∴an＝n.
∴bn＝＝＝－.
∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
18．解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去)．
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b122，即5＝b122，解得b1＝.
所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝2n－1＝52n－3.
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝＝52n－2－，即Sn＋＝52n－2.
所以S1＋＝，＝＝2.
因此{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．
19．解析 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又x4＝24p＋4q，
x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得
3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.
(2)Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋.
20．解析 (1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.
由已知，有
化简，得又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2n－1.
(2)由(1)知，bn＝2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此，Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n＝(4n－41－n)＋2n＋21．解析 (1)依题意知，An是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n项和，
所以An＝480n＋(－20)＝490n－10n2，
Bn＝500(1＋)＋500(1＋)＋…＋500(1＋)－600
＝500n＋500(＋＋…＋)－600＝500n＋500－600＝500n－－100.
(2)依题意得，Bn>An，即500n－－100>490n－10n2，
可化简得g(3)＝2，f(4)＝2 010，则>2 010，即2n＋1>2 010.
由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.
所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.
寒假作业四（答案）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．D
解析 由题意，得解此不等式组，得.故选D.
2．D
3．A
解析 b≤0时，f(x)在(1，e)上为增函数，
b>0时，当x>0时，x＋≥2， 当且仅当x＝即x＝取等号．
若使f(x)在(1，e)上为单调函数， 则≤1或≥e，∴00且≥1，即0＝.
(2)∵x∈[－，]， ∴f(x)＝cos<，>＝＝，
cosx∈[，1]．∵2≤cosx＋≤， ∴≤f(x)≤1，即≤cos<，>≤1.
18．解析 (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.
(2)构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而证得：a＋a＋…＋a≥.
19．解析 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立．
∵f′(x)是开口向下的抛物线，
∴∴a≥3.
(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．
根据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，
由－3x2＋2ax≥0，得a≥x，a≥. 由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋.
又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)， ∴a≤.
综上，a的取值范围是≤a≤.
20．解析 (1)由已知得
∴d＝2. 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq、br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)． ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴()2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21． 解析 (1)第n次投入后，产量为10＋n万件，销售价格为100元，
固定成本为元，科技成本投入为100n万元，
所以，年利润为f(n)＝(10＋n)(100－)－100n(n∈N*)．
(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)(100－)－100n＝1 000－80(＋)≤520(万元)．
当且仅当＝，即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．
答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．
22．解析 (1) f(5)＝41.
(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝41， f(3)－f(2)＝8＝42， f(4)－f(3)＝12＝43，
f(5)－f(4)＝16＝44，……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n
⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋＝1＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋(1－)＝－.
寒假作业五（答案）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．A
解析 由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.
2．A
解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
3．A
解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是，∴直线l的方程是y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0，故选A.
4．D
解析 设圆心C(a,0)(a>0)，由＝2得，a＝2，
故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
5．B
解析 由等比中项的性质得到a，c的一个方程，进一步转化为关于e的方程，解之即得所求．
6．B
解析 设焦点为F(c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.选B.
7．B
解析 F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2.
∵＝0，∴||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝40.
∴(＋)2＝||2＋||2＋2＝40. ∴|＋|＝2.
8．A
解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M(x1，x)，N(x2，x)，则过M、N的切线方程分别为y－x＝x1(x－x1)，y－x＝x2(x－x2)．将(0，－1)代入得x＝x＝4，∴MN的方程为y＝1，恒过(0,1)点．
9．D
解析 ||＝|AF|－p＝yA，||＝|DF|－p＝yB，||||＝yAyB＝p2.因为，的方向相同，所以＝||||＝yAyB＝p2.
10．D
解析 设P(x1，x)，Q(x2，x)， ∴kAP＝＝x1－1，kPQ＝＝x2＋x1.
由题意得kPAkPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，
∴x2＝－x1＝＋(1－x1)－1.利用函数性质知x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．2x－y＋8＝0
解析 ∵l1⊥l3， ∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝＝－.
∵l2的纵截距为－2，∴l2的方程为y＝－x－2.
由∴P(－3,2)，l1过P点． ∴l1的方程为2x－y＋8＝0.
12．(x＋)2＋(y－)2＝
解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组得交点A(－，)，B(－3,2)．
因为AB为直径，其中点为圆心，即为(－，)，r＝|AB|＝，
所以圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
13．
解析 设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
14．＋＝1
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝.∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
15．3
解析 因为M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)．
由||||＋＝0，得6＋6(x－3)＝0，化简整理得y2＝－12x.
所以点A是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(－3,0)的距离，所以d＝3.
16．
解析 依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，
所以0<≤＝.又双曲线的渐近线方程y＝x，则＝.
因此e＝＝2，故0<≤.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解析 (1)依题意知直线l的斜率存在，
因为直线l过点M(－2,0)，故可设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以||＝||＝1.
因为＝－，即||||cos∠POQ＝－.
所以∠POQ＝120，所以点O到直线l的距离等于.
所以＝，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
(2)因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以MP＝PQ，即P为MQ的中点，所以＝2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以＝(x2＋2，y2)，＝(x1＋2，y1)．
所以即①
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以②
由①及②得解得 故直线l的斜率k＝kMP＝.
18．解析 (1)由题意得解得b＝. 所以，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝＝ ＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝1.
19．解析 (1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAPkBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)方法一
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得
(1＋k2)2＝4k2()2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4.因此k2>3，所以|k|>.
方法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>.
20. 解析 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得则2x2＋9x－18＝0，x＝或x＝－6.
∵点P位于x轴上方，∴x＝－6舍去，只能取x＝.
由于y>0，于是y＝. ∴点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)，则M到直线AP的距离是.
于是＝6－m，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15.
由于－6≤x≤6，
∴当x＝时，d取得最小值.
21．解析 (1)由题意，知m＋1>1，即m>0.
由得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.
又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，
解得m≥2或m≤－1(舍去)，∴m≥2.
此时|EF1|＋|EF2|＝2≥2.
当且仅当m＝2时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2，
此时椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t.由方程组
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，即t2<1＋3k2.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则x1＋x2＝－.
由＝，得Q为线段的AB的中点，
则xQ＝＝－，yQ＝kxQ＋t＝.
∵＝0，∴直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为－1，即kQNkAB＝－1，
∴k＝－1. 化简得1＋3k2＝2t，代入①式得t2<2t，解得00，故2t＝1＋3k2>1，得t>.
综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(，2)．
22． 解析 (1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．
由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2. 故k2m＝1.
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)．
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0.
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.
从而|AB|＝|y1－y2|＝.
设点P到直线AB的距离为d，则d＝.
设△ABP的面积为S，则S＝|AB|d＝|1－2(m－m2)|.
由Δ＝4m－4m2>0，得0
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