七年级数学上册讲义

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数学学习效率低的三种情况及解决方法 很多同学，上课一听就会，但做题确实一做就错；更有很多同学，会做的题总因为粗心出错；还有些同学，学习心态不端正。以上三种情况，就是导致学习效率低下的最主要原因。 现象一：一听就会，一做就错，总是在看到答案后恍然大悟 很多学生在看到题目时觉得面熟，能肯定自己以前做过原题或类似的题目，但就是想不起来该怎么做，越是回忆以前做过的类似题目越是没有思路，等到答案时才大喊一声，哇，原来是这样的啊。于是再做，发现还是不能独立的把题目完整的做出来，于是再看答案，在做。 原因：原来在做题目时没有真正理解题目的解法，只能是跟着老师的思路吧题目抄下来，没有自己动手整理，导致自己觉得会做了，其实只是在当时把题目背过了，一段时间以后就只记得题目不记得的解法了。所以，“背题”是万万要不得的，考试的题目千千万万，背得过来吗？ 解决方法：在做完一道题目后，让孩子讲解给家长听，也可让同学帮你检查你对这个题目的理解还有什么欠缺，发现问题立即问老师，力争当堂把题目理解透彻。家长可以在一两周之后把这道题目的数据换一下，在让孩子做一遍，这样就能做到让孩子彻底的掌握这种类型题目的解法，海能达到举一反三的效果。 现象二：会做，但总是粗心，不是抄错题就是算错数 很多家长都反映说自己的孩子很粗心，经常把会做的题目算错，甚至有家长说孩子期末考试考了96分，丢掉的那4分全是粗心算错的，并对这个成绩很满意，还有很多学生也说，这些题目我会做就可以了，这次算错了没关系，到考试时能算对就可以了。其实，作为多年教学经验的老师，我们告诉各位家长，会做做不对才是最可怕。 原因：粗心的原因有两个，一是心态问题，这个问题后面会详细的说。第二个原因就是对知识掌握得不牢固，模棱两可，错误总是在你掌握不牢固的地方出现，那些看似是粗心犯的错，其实都是因为在应用知识的时候不熟练，导致出错。 解决方法：有选择的多做题目，在数学学习中，我们反对搞题海战术，但是要想学好数学，不做题目不进行针对性训练是无法把学到的知识掌握牢固的。但是也不能盲目的去做题，有数量不等于有质量，会做的题目就是做上一千遍也没有进步。老师和家长要引导孩子挑战自己不会的题目，只有不断地去挑战就能不断地进步。 现象三：心态不端正，觉得做不做对无所谓，会做就行了 很多学生觉得只要会做就行了，平时算不对，到考试时注意力会高度集中，就能算对了。其实这种看法是不对的。 原因：学生学习的目的除了要掌握知识，掌握解决问题的方法，还要在学习的过程中养成良好的学习习惯，良好的学习习惯是成功的一大法宝。而在学习中心态不端正，长此以往，会形成浮躁的性格，这是学习的大忌。 解决方法：端正态度，养成良好的学习习惯。准备一个错题本，把自己做错的题目记下来，要将因为不会而做错和因为粗心做错的题目分开记，每周都将错题本上地该周做错的题目再做一遍，就会对自己犯过的错误印象深刻，就能避免再犯同样的错误。 总之，要想提高解题的正确率，就要本着端正的学习态度，去做一定量的有针对性的题目，在做题时认真思考，要全神贯注，心无旁骛。真正的去理解解题方法，做完一道题目之后当堂回顾。把解题思路复述出来，并讲做错的题抄在错题本上，经过一段时间的努力，一定能将解题的错误率降低，并养成良好的学习习惯。所以，我们经常说，学数学很容易，秘诀就是：会做的做对，错过的不要再错。 目录 第1讲 初一入学测试 第2讲 数轴、相反数、倒数 第3讲 绝 对 值 第4讲 有理数的加法 第5讲 有理数的减法 第6讲 有理数的加减混合 第7讲 有理数的乘法 第8（1）讲 有理数的除法和乘方 第8（2）讲 科学记数法与近似数 第9讲 有理数的混合运算 第10讲 整式的概念 第11讲 整式的加减 第12讲 整式的加减复习与提高 第13讲 从算式到方程 第14讲 一元一次方程的解法 第15讲 一元一次方程的实际应用（一） 第16讲 一元一次方程的实际应用（二） 第17讲 一元一次方程全章复习与巩固 第18讲 多姿多彩的图形 第19讲 直线、射线、线段 第20讲 角 第1讲 初一入学测试 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．20050619读作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）． 2．的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就得到最小的两位数． 3．2吨80千克=（ ）吨，公顷=（ ）公顷（ ）平方米． 4．正三角形有（ ）条对称轴，平行四边形有（ ）条高． 5．浓度为20%的盐水，盐和水质量的最简整数比是（ ）:（ ）． 6．5只母鸡5天下蛋5个，照此速度计算，10只母鸡10天可下蛋（ ）个． 7．两个连续奇数的和乘它们的差，积是2008，这两个奇数分别是（ ）和（ ）． 8．规定，，则（ ）. 9．如图，长方形与圆的面积相等，圆的周长是12.56㎝， 阴影部分的面积是（ ）. 10．儿童乐园售票处规定，1人券2元，团体票15元（可供10人玩），小红花幼儿园现有38人去儿童乐园，买门票最少（ ）元． 二、选择题（选择正确答案的序号）．（10分） 1．五个连续奇数的和与中间数的关系是（ ） A．等于中间数3倍 B．等于中间数4倍 C．等于中间数5倍 2．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，求小明来、回的平均速度的正确算式是（ ） A． B. C. D. 3．一个棱长6厘米的立方体，它的表面积和体积（ ） A．同样大 B．体积大于表面积 C．不能比较大小 D．表面积大于体积 4．路程一定，已行程与剩下路程（ ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．以上都有可能 5.四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的大圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是（　　）立方厘米。 　A、120　　　　　 B、360　　　　　　C、480　　　　　 D、720 三、判断题．（对的打“√”，错的打“”）（10分） 1．2.666666是循环小数． （ ） 2．因为2x=3y，所以x和y成反比例． （ ） 3．若b≥a，则一定是假分数．（a≠0） （ ） 4．两个三角形的底不同，高不同，面积一定不同． （ ） 5.a、b是两个不为零的数，若a的 等于b的，那么a是b的。 （ ） 四、计算．（24分） 1．用适当的方法计算．（每题4分，共16分） （1） （2） （3） （4） 2．列式计算（每题4分，共8分） （1）一个数的3倍比2少，这个数与的和是多少？ （2）一个数的与它的的和是20，这个数是多少？ 五、图形题（共11分，第1题5分，第2题6分） 1．一个圆柱体长为10分米，截下3分米的一段后，表面积减少了18.84平方分米，则原来圆柱体的体积是多少？ 6 D C B A 6 2．三角形ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 六、综合应用题（1-3题5分，4-5题6分共27分） 1．园岭小学六（1）班与六（2）班人数比为3:4，从六（2）班转出2名学生到六（1）班后，六（1）班与六（2）班人数之比变为4:5，问原来两班各有多少人？ 2．甲、乙、丙三人合作完成一项工程，但甲因故中途离开，最后经过6天完成任务，已知甲单独完成要10天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，问甲离开了几天？ 3．两队合修一条路，第一队修了全和的40%，第二队修了420千米，这时两队修了总千米数比全长的少380千米.这条路全长多少千米？ A B D C E 4．一只老鼠沿着平行四边形的A B C的方向逃跑，同时一只猫也从A点出发沿着A D C的方向追捕老鼠，结果在BC边上的E点捉住老鼠，已知老鼠的速度是猫的，而且CE长6米，求平行四边形的周长。 5．快慢两车从甲乙两地相对开出，快车先行了全程的又11千米后，慢车才开出，相遇时，慢车行了全程的，已知快慢两车的速度比是5:4，甲乙两地相距多少千米？ 第2讲 数轴、相反数与倒数类 【知识要点】 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 利用数轴比较数的大小：数轴右边的数总比左边的数大。 2．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数．例如+3与-3互为相反数，其中-3是+3的相反数．零的相反数是0． 正数的相反数是负数,负数的相反数是正数.在一个数的前面添加“+”号,仍然与原数相同；在一个数的前面添上“-”号,就成为原数的相反数。 注意：写代数式的相反数时要注意添括号，如的相反数应写成。 3．多重符号的化简:一个正数的前面不管有多少个“+”号,都可以把它们全部去掉；一个正数的前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号一起去掉；一个正数前面有奇数个“-”号,则化简符号后只剩下一个“-”号. 4．相反数的几何意义：互为相反数的两个数在原点的两旁，且离原点的距离相等．零的相反数是原点． 5．相反数的性质：若与b互为相反数，则；反之，若，则与b互为相反数．互为相反数的两数商为-1，（0除外），即若与b互为相反数，则 6.倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，例如与互为倒数，其中是的倒数．乘积是-1的两个数互为负倒数。 1除以一个数（零除外）的商，叫做这个数的倒数，这是求一个求倒数的方法；如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1．这是判定两个数是互为倒数的方法． 【典型例题】 例1 如下图所示，数轴中正确的是（ ） B －1 0 1 A －1 0 1 C －1 0 1 D 例2、试比较-0.3，，0.03，0，3，的大小，并用“”连接起来。 例3、 (1) 2与 互为相反数,的相反数是 ,的相反数是 . (2) 的相反数是 ,的相反数是 ,的相反数是 . 例4、如果表示有理数,在什么条件下, 与互为相反数. 例5、化简下列符号: (1) (2) (3) (4) 【经典练习】 一、选择题 1．下列所画数轴中正确的是（ ） 1 2 3 4 5 -1 0 1 0 1 2 3 0 1 A B C D 2．下面说法中正确的是（ ） ①在―4与―3之间没有负数； ②在0与1之间有无数个数； ③在―4与―3之间没有其它整数； ④在0与1之间没有负数． A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④ 3．下面说法正确的是（ ） A、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来 B、数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数 C、数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大 D、0是最小的正整数 4．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是（ ） A、正数 B、负数 C、非正数 D、非负数 5．下列说法正确的是（ ） A、是－2的相反数 B、是－2的相反数 C、－2的相反数是 D、+3的相反数是 二、填空题 6．+3的相反数是 ，－3的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ． 7．的相反数是 ，的相反数是 ． 8．用“”或“”填空． （1）若是正数，则 0 （2）若是负数，则 0 （3）若是正数，则 0 （4）若是负数，则 0 9．在数轴上用点A表示－3，则点A到原点的距离是 ，到原点的距离距离等于3的点表示的数为 ． 10．比较下列各组数的大小： （1）3.5 0； （2）－2.8 0；（3） ；（4）－1.95 －1.59； （5） ；（6） 0.3；（7）7.1 ；（8）7.1 ． 三、解答题 11．在下图中，点A、B、C、D、E、F、O各表示什么数？ A E B O C F D -2 -1 0 1 2 3 12．有理数在数轴上的对应点如下图所示，图中0为原点，且A到原点的距离比B到原点的距离大． （1）在数轴上表示出和； B A A A O （2）试把这五个数从大到小用“”连接起来． 13．画图表示一个点从数轴上的原点开始，按下列条件移动两次后到达的终点，并说出它是表示什么数的点． （1）向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度； （2）向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度； （3）向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度； （4）向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度． 14．观察数轴，然后回答下列问题： （1）有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？若有，请写下来。 （2）有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？若有，请写下来。 （3）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？若有，请写下来。 课后作业 1．若是小于1的正数,用“<”号将连接起来为 . 2．一个有理数的相反数与它自身的和为 ( ) A 可能是负数 B 一定为正数 C 必为非负数 D 一定为0 3．下列说法正确的是( ) A 有理数不是正数就是负数 B 0是最小的有理数 C 正数和负数统称为有理数 D 是分数也是有理数 4．关于0,下列说法正确的个数有( )个. ①0既不是正数,也不是负数; ②零既不是整数,也不是分数; ③0不是自然数,但它是整数. A 0 B 1 C 2 D 3 5．下列说法正确的是( ) A 一个有理数不是正数,就是负数 B 整数一定是正数 C最小的整数是0 D自然数是整数 6．有理数的集合是( ) A 正数和负数的集合 B 正整数、负整数与分数的集合 C 整数与分数的集合 D整数与负数的集合 7．下面说法中正确的是( ) ① 在之间没有负数; ② 1与2之间有无数个数; ③在之间没有其他整数; ④在0与1之间没有负数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④ 第3讲 绝 对 值 【知识要点】 一、绝对值的概念 1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示的点与原点的距离，数的绝对值记作，读作的绝对值。 2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。 3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。 4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数，总有0。 5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。 二、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数，有 （1） （2） （3） 【典型例题】 例1 求下列各数的绝对值。 （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ； 例2 （1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。 （2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。 （3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。 思考：与0的大小关系 例3 （1）若，求的值；（2）若，则的关系是什么？ 例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。 例5 如果的相反数是最大的负整数，是绝对值最小的数，那么与的和是多少? 例6 数在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答： 0 0 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小； （3）判断的符号； （4）试化简 经典练习 一、填空题 1．的绝对值是 ，的绝对值是 ， 的绝对值是． 2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ． 3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数． 4.若，则 ；若，则 ；若，则 ． 5.若，则 0，若，则 0． 6. 的绝对值比它的本身大． 7.一个数的绝对值不大于3，则满足条件的最大的负数是 ． 二、选择题 1．下列等式中，成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 2．下列计算中，错误的是（ ） A、 B、 C、 D、 3．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ） A、相等 B、都是0 C、互为相反数 D、相等或互为相反数 4．下列各式中，不正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 5．下列判断正确的是（ ） A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 三、解答题 1．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ； （2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ． 2．已知一组数；4，－3，，+5.1，，0，－2.2．在这组数中： （1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ； （2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ． A B C 3．如图，直线上有三个不同的点A、B、C，且AB≠BC，那么，到A、B、C三点距离的和最小的点（ ） （A）是B点 （B）是AC的中点 （C）是AC外一点 （D）有无穷多个 4．对任意有理数，式子，，，中，取值不为0的是 。 5．绝对值小于2014的所有整数之和是 。 6．指出下列各式中为什么数． （1） （2） 7．若，且，试求的值． 课后作业 1．求出下列各数的绝对值． （1）1 （2）－2 （3） （4） （5）0 2．绝对值小于3.5的所有整数有 ． 3．绝对值大于1.2而小于3.7的负整数有 ． 4．（1） ；（2）若，则 ． 5．化简： ； ． 6．绝对值最小的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；绝对值是它的相反数的是 ． 7．一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 8．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A、与 B、与 C、与 D、与 9．下列各式：①②③④，则⑤．其中正确的个数有（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 10．下列说法正确的是（ ） A、如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等 B、如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等 C、在中有两个负数 D、若，则互为相反数 第4讲 有理数的加法 【要点提示】 1．有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 （3）任何数与0相加，仍得这个数。 2．加法交换律和结合律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 3．有理数加法步骤： （1）两数相加：确定和的符号 求绝对值的和或差（差是绝对值大的数减去绝对值较小的数） （2）多个有理数相加：先把符号相同的相加 再用两数求和的步骤 4．巧算或简化运算的方法：（1）把符号相同的数结合在一起 （2）把同分母的结合在一起 （3）把凑整的结合一起，尤其把互为相反的数结合在一起！ 5．有理数加法中“+”号“”号的意义 （1）表示运算符号（加号或减号） （2）表示性质符号，一般单独的一个数前面的“+”或“”号表示性质符号。如“4”的“”表示负号。 【典型例题】 例1．计算（1） （2） （3） 例2．计算（1） （2） （3）（+6）+（－2）+（－3.5） （4） 例3．下表为某公司股票在本周内的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 …… 每股涨跌 +4.5 －3.20 －0.35 －2.75 +1.15 计算一周内该公司股票是涨是跌，涨跌的值是多少？ 例4．用简便算法计算： （1） （2） （3） （4） 例5．若，则 。 思考题：互为相反数，且，求下列各式的值。 （1） （2） 课堂练习 一、判断题 1．两个有理数之和为零，则这两个有理数一定互为相反数． （ ） 2．两个有理数之和为正数，则这两个有理数一定都是正数． （ ） 3．两个有理数之和为负数，则这两个有理数中，至少有一个是负数 （ ） 4．两个有理数之和为零，则这两个有理数的绝对值一定相等． （ ） 5．． （ ） 6． （ ） 7． （ ） 8． （ ） 9． （ ） 10. （ ） 二、计算题 （1）； （2）； （3）； （4）， （5）； （6）； 三、解答题 1．8筐水蜜桃，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，―1，―2，+3，―4，+1，―3，+2．总计超过（或不足）多少千克？8筐水蜜桃的总重量是多少？ 2．飞机的飞行高度是2000米，先下降500米，又下降400米，这时飞机的飞行高度是多少？ 强化训练 1、计算： （1）； （2）（-2.2）+3.8； （3）+（-5）； （4）（-6）+8+（-4）+12； （5） 课后作业 一、填空题 1．（1） +； （2）－16+ =－16； （3） +（－16）=16 （4）－16+ =0； （5） +（－16）=6； （6）－16+ =－6 二、选择题 1．两个有理数的和的绝对值与它们的绝对值的和相等，则这两个有理数（ ） A、都是正数 B、都是负数 C、同号 D、同号或至少有一个为零 2．若，则以下式子中，一定成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 3．使成立的是（ ） A、任意一个数 B、任意一个大于－2000的数 C、任意一个负数 D、任意一个非负数 三、计算题 1． 2． 3. 四、粮食仓库第一天运进大米504包，第二天运出375包，第三天运进大米869包，第四天运出大米902包，第五天运进大米350包，这五天共运进多少包？（规定运进为正） 第5讲 有理数的减法 【要点提示】 1．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 在这个过程中有两个改变：一、运算符号改变；二、改变减数的性质符号。 2．有理数加减混合运算的步骤： （1）根据有理数减法的法则把减法转化为加法，再写成省略加号的简化形式。 （2）利用加法交换律、结合律进行简便运算，原则是：①正数和负数分别结合；②同分母分数比较易通分的分数结合；③小数与小数结合；④互为相反数的数结合；……等等。（在利用交换律交换加数位置时，连同前面的符号一起移动。） 3.根据有理数减法的法则，有理数的减法可以转化为加法，因此有理数的加减混合运算都可以转化为加法运算。 4．比较大小：判断、两数的大小，求：若，则；若，则；若，则。 【典型例题】 例1．计算 （1）（―2.39）―（+1.57）； （2）（―）―（―）； （3） （4） (5) 例2．把下列各式转化为加法 （1） (2) 例3．已知异号,求的值 例4．比较下列各组数的大小. （1）与 （2）-与- 经典练习 一、填空题 1．（1）（-168）－168= ； （2）（-168）―（-168）= ； （3）168―（-168）= ； （4）168－168= ； （5）0―（-168）= ； （6）（-168）－0= ； 2．（1）0.8－ =0 （2） ―（-0.8）=0 （3） +（-0.8）=1.8； （4）（-1.8）― =0.8； （5）－（ ）=21 （6）21－ =． 二、计算题 1．（1）（-33）―（-3）； （2）（+5）―（-）； （3）（-10.1）―（-）； （4）（-10.1）―（+）； （5） 2．把下列各式改写成省略加号的代数和的形式，并计算它们的值． （1）（+15）－（－21）+（－8）－（+17）； （2）（+4.6）－（－8.7）－（+6.5）+（－7） （3） 3．用简便方法计算： （1） （2） （3）81.35-282.9+8.65-7.1 （4）（－4.3）－（+5.8）+（－3.2）－（－3.5） (5) 三、解答题 1．（1）一个加数是0.01，和是－26.3，另一个加数是多少？ （2）被减数是0.32，减数是－0.69，差是多少？ (3)从3中减去和的和,所得的差是多少? 2．比较下列各组数的大小： （1）与 （2）与3.1416 3．已知，且，，是整数，求的值 4．已知x是有理数，求的最小值。 附加题 课后作业 一、选择题 1．有四个数，，则的大小关系为（ ） A、 B、 C、 D、 2．以下的运算结果中，最大的一个数是（ ） A、（－13579）+0.2468 B、（－13579）－0.2468 C、（－13579）+ D、（－13579）－ 3．如果为有理数，且两数的和大于与的差，则（ ） A、同号 B、异号 C、为正数 D、为正数 二、计算题 1．（1） （2） （3） （4） 2．计算，能简算就简算： （1） （2） （3） （4） 三、解答题 1．一水利勘察队，第一天沿江向上游走了千米，第二天又向上游走了千米，第三天向下游走了千米，第四天向下游走了千米，这时勘察队在出发地的上游多少千米处？ 2．已知，试求：的值。 第6讲 有理数的加减混合 【知识要点】 1．有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 （3）任何数与0相加，仍得这个数。 2．加法交换律和结合律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 3．有理数加法步骤： （1）两数相加：确定和的符号 求绝对值的和或差（差是绝对值大的数减去绝对值较小的数） （2）多个有理数相加：先把符号相同的相加 再用两数求和的步骤 4．巧算或简化运算的方法：（1）把符号相同的数结合在一起 （2）把同分母的结合在一起 （3）把凑整的结合一起，尤其把互为相反的数结合在一起！ 5．有理数加法与算术加法的区别： 有理数加法不仅要进行绝对值的运算还要判断和的符号。其次，有理数的加法中，加数的符号可正可负，加法的结果也可正可负。因此，有理数加法中，和不小于每一个加数的结论不再成立。 6．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 在这个过程中有两个改变：一、运算符号改变，二、改变减数的性质符号。 7．有理数加减混合运算的步骤： （1）根据有理数减法的法则把减法转化为加法，再写成省略加号的简化形式。 （2）利用加法交换律、结合律进行简便运算，原则是：①正数和负数分别结合；②同分母分数比较易通分的分数结合；③小数与小数结合；④互为相反数的数结合；……等等。（在利用交换律交换加数位置时，连同前面的符号一起移动。） 8. 代数和：根据有理数减法的法则，有理数的减法可以转化为加法，因此有理数的加减混 合运算都可以转化为加法运算。几个正数或负数的和叫做代数和。 代数和的写法：在代数和里可以把加号及前面的括号省去不写，以简化书写形式。 【典型例题】 例1、计算 （1)-12+11-8+39； (2)+45-9-91+5； (3)-5-5-3-3； (4)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28； 例2．计算： (1)-4.2+5.7-8.4+10； (2)6.1-3.7-4.9+1.8； (3)-216-157+348+512-678； (4)81.26-293.8+8.74+111； 例3、下列语句中,正确的是( ) A.两数相加结果为负数,这两个数中至少有一个为正数. B.两数相减,被减数一定大于减数 C.两个有理数之和可能等于其中一个加数 D.两个有理数之和为正数时,则这两个数都是正数. 例4、欲使两个有理数相加,它们的和小于其中一个加数而大于另一个加数必须满足( ) A.两个数都是正数. B.两个数都是负数 C.一个数是正数另一个数是负数. D.至少有一个数为零 例5．判断题：对的在括号里打“√”，错的在括号里打“”，并举出反例． (1)若a，b同号，则a+b=|a|+|b|．（ ） (2)若a，b异号，则a+b=|a|-|b|．（ ） (3)若a＜0、b＜0，则a+b=-(|a|+|b|)． （ ） (4)若a，b异号，则|a-b|=|a|+|b|． （ ） (5)若a+b=0，则|a|=|b|． （ ） 例6、计算 (1) (2) (3) (用多种方法去解) 【经典练习】 1．计算： (1)12-(-18)+(-7)-15； (2)-40-28-(-19)+(-24)-(-32)； (3)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)； (4)(-40)-(+28)-(+19)+(-24)-(+32)； (5)(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)； 2.．当a=13，b=-12.1，c=-10.6，d=25.1时，求下列代数式的值： (1)a-(b+c)； (2)a-b-c； (3)a-(b+c+d)； (4)a-b-c-d； (5)a-(b-d)； (6)a-b+d； (7)(a+b)-(c+d)； (8)a+b-c-d； (9)(a-c)-(b-d)； (10)a-c-b+d． 3、某地,去年9月1日的平均气温是28℃,第二天平均气温比第一天上升了2℃,第三天平均气温比第二天上升了-5℃(下暴雨!),问第三天平均气温是多少,请画出(温度计)示意图. 4、有一批食品罐头,标准质量为每听454克.现抽取10听样品进行检测,结果如下表(单位:克): 听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 444 459 454 459 454 454 449 454 459 464 若把超过标准质量的克数y用正数表示,不足的用负数表示,依照上表的数据列出这10听罐头与标准质量的差值表(单位:克): 听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 分别用上面两个表格的数据求出10听罐头的总质量,比较这两种方法. 5、小钱上周五以收盘价买进股票1000股,每股20元.下表为本周每日股票的涨跌情况(按收盘价即交易结束时的价格计算): 星期 一 二 三 四 五 每股涨价(元) +0.6 -1.3 +1 +0.7 -2 (1)到本周三收盘时,小钱所持股票每股多少元? (2)本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元? (3)已知小钱买进股票时付了4‰的手续费,卖出时又付成交额4‰的手续费和3‰的交易税,如果小钱在本周末以收盘价卖出全部股票,他的收益如何? 课后作业 1．判断题：在下列各题中，正确的在括号中打“√”号，不正确的在括号中打“”号： (1)两个数相加，和一定大于任一个加数．（ ） (2)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数． （ ） (3)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这两数一定是异号．（ ） (4)当两个数的符号相反时，它们差的绝对值等于这两个数绝对值的和． （ ） (5)两数差一定小于被减数． （ ） (6)零减去一个数，仍得这个数．（） (7)两个相反数相减得0．（） (8)两个数和是正数，那么这两个数一定是正数．（ ） 2、小京同学在计算16+(-24)+22+(-17)+(-56)+56时, 利用加法交换律、结合律先把正负数分别相加,得16+22+56+[(-24)+(-17)+(-56)].你认为这样算能使运算简便吗?你认为还有其它方法吗? 3、用简便方法计算: (1)1033.78+(-26)+(-39)+(-38); (2)12.7+(-24.6)+(-29.1)+6.8; (3)-12+11-8+39； (4)+45-9-91+5； (5)-5-5-3-3； （6)-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28； (7) 第7讲 有理数乘法 【知识要点】 1．有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘都得0； （3）多个有理数相乘： a：只要有一个因数为0，则积为0。 b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。期望数学岛 2．乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘交换因数的位置，积不变，即； （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即； （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于这个数分别同两个数相乘，再把积相加，即。 3．（1）一个数同1相乘，等于它本身；（2）一个数同相乘得它的相反数。 【典型例题】 例1 （1） （2） 例2 （1） （2） （3） (4) 例3 计算 (1) （2）99（-） 例4 时，求的值 例5 若与互为相反数，求的值． 经典练习 一．填空题： 1.（1）（－1）（－5）= （－2）（－5）= （－3）（－5）= （2）（－5）6= （－5）7= （－5）（+8）= （3） （4）（－2.6）（－3.2）= ，（－4.5）（－2.5）= ，－7.60.5= （5）（－1）（－2）（-3）= ，（－0.1）（－0.01）（－100）= (6) －37（－6.89）0（－13）= 。 2.（1）绝对值大于1且小于4的所有整数的积是 ． （2）绝对值不大于5的所有负整数的积是 ． （3）若，则 0． （4）若，则 0， 0． （5）如果2000个相同因数的积等于每一个因数，那么每一个因数是 ． （6）如果2000个不同因数的积等于0，那么这2000个因数中，有且只有一个数为 ．期望数学岛 （7）如果2000个因数的积等于0，那么这2000个因数中至少有一个数为 ． (8)如果10个有理数之积是负数，那么这10个有理数中有 个负数. 二、判断题 (1)如果ab>0,且a+b<0,则a<0,b<0. ( ) (2)如果ab<0, 则a>0 ,b<0. ( ) (3)如果ab=0,则a,b 至少一个为0. ( ) 三、计算，能简算就简算： （1）； （2） ； （3） （4） （5）； (6)198719861986-198619871986 (7) (8) 四、解答题 1．若，求的值． 2.已知四个各不相等的整数的乘积为25,求这四个数的和. 3. 根据气象统计资料，高度每增加1000米，气温就减低大约6 ℃。现在山脚下的气温是35 ℃，则5000米 高的山顶上的气温大约是多少？ 课后作业 一、选择题 1．如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的积（ ） A、一定为正数 B、一定为负数 C、为零 D、可能为正数，也可能为负数 2．若干个不等于0的有理数相乘，积的符号（ ） A、由因数的个数决定 B、由正因数个数决定 C、由负因数的个数决定 D、由负因数的大小决定 3．若1000个有理数相乘的积为0，那么（ ） A、每个因数一定都为0 B、每个因数都不为0 C、至多有一个因数不为0 D、至少有一个因数为0 4．一个数和它的相反数的积是（ ） A、正数 B、负数 C、一定不小于0 D、一定不大于0 5．下列说法正确的是（ ） A、同号两数相乘，符号不变 B、异号两数相乘，取绝对值大的乘数的符号 C、两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号 D、两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数 6．下列条件，能使成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 7．若满足等式成立，则应满足（ ） A、 B、 C、同号 D、异号 8．若，则一定有（ ） A、 B、 C、 D、中至少有一个是0 二、判断题 1．如果两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，那么它们的积一定为负数．（ ） 2．两个有理数的和是正数，积是负数，则绝对值大的数是正数，另一个数是负数．（ ） 3．两个有理数的积是负数，则这两个数一定互为相反数． （ ） 4．两个有理数互为相反数，则这两个有理数的积一定为负数. （ ） 三、计算题 1. 2. 3． 4． 5． 6. 第8（1）讲有理数的除法及乘方 【要点提示】 一、有理数除法 1．倒数的定义 （1）乘积为1的两个数互为倒数，即如果，则互为倒数。反之，两数互