辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析).doc

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辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（） A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D． {0，1，2，3} 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i 3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（） A． B． C． D． 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l 5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（） A． B． ln（x2+1）＞ln（y2+1） C． x3＞y3 D． sinx＞siny 6．（5分）设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（）=（） A． B． C． 0 D． ﹣ 7．（5分）将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（） A． B． C． D． 8．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（） A． i≥10？ B． i≥11？ C． i≤11？ D． i≥12？ 9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（） A． 10 B． 8 C． 3 D． 2 10．（5分）若函数f（x）=（x2+bx+c）ex在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，且f（x1）=x1，则关于x的方程2+（b+2）f（x）+b+c=0的不同实根个数是（） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 11．（5分）四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD=2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为（） A． 32π B． 16π C． 12π D． π 12．（5分）F（﹣c，0）是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y2=4cx上一点，直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2+2，则双曲线的实轴长为（） A． B． C． 4 D． 2 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知向量、是夹角为60的两个单位向量，向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，则实数λ=． 14．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=． 15．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为． 16．（5分）在数列{an}中，a1=4，a2=10，若{log3（an﹣1）}为等差数列，则Tn=+…+=． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．（12分）在△ABC中，2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）． （1）求角C的大小； （2）若AB=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积． 18．（12分）如图所示，在五棱锥P﹣ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面α与棱PB、PC分别交于点G、H． （1）求证：DE∥FG； （2）设DE=1，求三棱锥G﹣PEF的体积． 19．（12分）为了解某市观众对2014﹣2015赛季中国男篮CBA联赛的喜爱程度，某调查公司随机抽取了100名观众，其中有40名女性观众，对这100名观众进行了问卷调查得到了如下的22列联表： 喜爱CBA 不喜爱CBA 合计 男性观众 20 女性观众 20 合计 已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为． （1）请将上面的22列联表补充完整； （2）是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关？说明你的理由； （3）从喜欢CBA的观众中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查观众对辽宁男篮的喜爱程度，求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率； 下面的临界表供参考： p（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=） 20．（12分）如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）与椭圆C2：=1（a＞b＞0）的一个交点为T（，），F（1，0）为椭圆C2的右焦点． （1）求抛物线C1与椭圆C2的方程； （2）设M（x0，y0）是抛物线C1上任意一点，过M作抛物线C1的切线l，直线l与椭圆C2，交于A、B两点，定点N（0，），求△NBA的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 21．（12分）已知f（x）=e1﹣x，g（x）=ln（t﹣x），其中e=2.71828…，m为常数，且t∈R． （1）若h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，h（1））处的切线为y=1﹣ln（t﹣1），求t的值并讨论函数h（x）的单调性； （2）当t≤3时，证明：f（x）＞g（x）． 22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30 （1）求AF的长； （2）求证：AD=3ED． 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：与圆C相交于A，B两点． （1）求直线AB的极坐标方程； （2）若过点C（2，0）的曲线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值． 24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3| （Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集； （Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值． 辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（） A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D． {0，1，2，3} 考点： 交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 利用交集定义求解． 解答： 解：∵M={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3}， N={﹣1，0，1，2，3} ∴M∩N={0，1，2}． 故选：A． 点评： 本题考查集合的交集的求法，是基础题，解题时要注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 解答： 解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i， ∴z==﹣1+i 故选A． 点评： 本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算． 3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（） A． B． C． D． 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9， ∴，解得． ∴． 故选C． 点评： 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l 考点： 平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论． 解答： 解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α， 又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β． 由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n， 与m，n异面矛盾． 故α与β相交，且交线平行于l． 故选D． 点评： 本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题． 5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（） A． B． ln（x2+1）＞ln（y2+1） C． x3＞y3 D． sinx＞siny 考点： 不等式的基本性质． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），可得y＜x． A．取x=1，y=0，即可判断出． B．取x=﹣2，y=﹣1，即可判断出； C．利用y=x3在R上单调递增，即可判断出； D．取y=﹣，x=，即可判断出． 解答： 解：∵实数x、y满足ax＜ay（1＞a＞0），∴y＜x． 对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确； 对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立； 对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确； 对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确． 故选：C． 点评： 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题． 6．（5分）设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（）=（） A． B． C． 0 D． ﹣ 考点： 抽象函数及其应用；函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用已知条件，逐步化简所求的表达式，转化为0≤x≤π时，f（x）=0，以及利用诱导公式可求函数值即可． 解答： 解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx， 当0≤x＜π时，f（x）=1， ∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣． 故选：D． 点评： 本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 7．（5分）将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移个单位长度；（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C/对应的函数解析式是（） A． B． C． D． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析： 利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到x+，然后得到函数解析式． 解答： 解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移个单位长度； 得到函数y=sin（x+），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数y=sin（x+）的图象， 所得到的曲线C/对应的函数解析式是y=sin（x+）． 故选D． 点评： 本题是基础题，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，注意先φ后ω，与先ω后φ的区别，基本知识的灵活运用． 8．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（） A． i≥10？ B． i≥11？ C． i≤11？ D． i≥12？ 考点： 程序框图． 专题： 操作型． 分析： 由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案． 解答： 解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积， 由于1211=132，故此循环体需要执行两次 所以每次执行后i的值依次为11，10 由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意 故选B 点评： 本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结． 9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（） A． 10 B． 8 C． 3 D． 2 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x﹣y得y=2x﹣z， 平移直线y=2x﹣z， 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小， 此时z最大． 由，解得，即C（5，2） 代入目标函数z=2x﹣y， 得z=25﹣2=8． 故选：B． 点评： 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 10．（5分）若函数f（x）=（x2+bx+c）ex在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，且f（x1）=x1，则关于x的方程2+（b+2）f（x）+b+c=0的不同实根个数是（） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： 求导f′（x）=（x2+（b+2）x+b+c）ex，从而可得方程x2+（b+2）x+b+c=0的两根为x1，x2；从而化方程为f（x）=x1或f（x）=x2，再结合f（x1）=x1及函数f（x）的单调性可得共有3个不同的根． 解答： 解：∵f（x）=（x2+bx+c）ex， ∴f′（x）=（x2+（b+2）x+b+c）ex， 又∵函数f（x）=（x2+bx+c）ex在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增， ∴方程x2+（b+2）x+b+c=0的两根为x1，x2； ∴方程2+（b+2）f（x）+b+c=0可化为f（x）=x1或f（x）=x2； 又∵f（x1）=x1， ∴f（x）=x1有两个不同的解，f（x）=x2有1个解； 且三个解不相同； 故共有3个解； 故选：D． 点评： 本题考查了导数的综合应用及方程的根的转化，属于中档题． 11．（5分）四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD=2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为（） A． 32π B． 16π C． 12π D． π 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD的外接球的半径，即可求出球O的表面积． 解答： 解：由题意，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为=， ∵AD⊥平面ABC，AD=2， ∴四面体ABCD的外接球的半径为=2， ∴球O的表面积为4π4=16π． 故选：B． 点评： 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键． 12．（5分）F（﹣c，0）是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y2=4cx上一点，直线FP与圆x2+y2=a2相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2+2，则双曲线的实轴长为（） A． B． C． 4 D． 2 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由中位线定理和直线和圆相切的性质，确定∠FPF2=90，可得PF2=2a，利用勾股定理可得PF2=FF2﹣PF2=4c2﹣4a2，再由抛物线的定义可得P的坐标，进而得到FPF2的长，即有a，c的方程，代入双曲线的c=+1，建立方程，从而可求双曲线的实轴长2a． 解答： 解：抛物线y2=4cx的焦点F2（c，0） ∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点，PE=EF ∴OE为直线FP的中垂线 （O为原点）， ∴OP=OF=c， 又FF2=2c，O为FF2中点，OP=c， ∴∠FPF2=90， ∵EO=a，∴PF2=2a， PF2=FF22﹣FPF22=4c2﹣4a2， 抛物线y2=4cx的准线方程为x=﹣c， 由抛物线的定义可得PF2═xP+c=2a， 则xP=2a﹣c， 即有P（2a﹣c，）， PF2=4a2+4c（2a﹣c）， 则4c2﹣4a2=4a2+4c（2a﹣c）， 即c2=ac+a2 ∵双曲线的焦距为2+2， ∴a2+（1+）a﹣（1+）2=0 ∴a=， ∴a1=2，a2=﹣﹣3 （舍） ∴实轴长为4． 故选C． 点评： 本题考查直线和圆相切的性质，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知向量、是夹角为60的两个单位向量，向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，则实数λ=0． 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 向量、是夹角为60的两个单位向量，可得，=．由于向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，可得（+λ）•（﹣2）=0． 解答： 解：∵向量、是夹角为60的两个单位向量， ∴，=． ∵向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直， ∴（+λ）•（﹣2）=﹣2+=0， ∴1+2λ+=0， 解得λ=0． 故答案为：0． 点评： 本题考查了数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 14．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥， 其底面面积S=（1+2）2=3， 又∵左视图是等边三角形， ∴高h=， 故棱锥的体积V==， 故答案为： 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键． 15．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为． 考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求． 解答： 解：设AC=x，则BC=12﹣x 矩形的面积S=x（12﹣x）＞20 ∴x2﹣12x+20＜0 ∴2＜x＜10 由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题 16．（5分）在数列{an}中，a1=4，a2=10，若{log3（an﹣1）}为等差数列，则Tn=+…+=（1﹣）． 考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由{log3（an﹣1）}为等差数列，得到数列{an﹣1}为等比数列，求出等比数列的通项公式后，进一步得到，然后利用等比数列的前n项和得答案． 解答： 解：∵{log3（an﹣1）}为等差数列， ∴2log3（an﹣1）=log3（an﹣1﹣1）+log3（an+1﹣1）（n≥2）， 即log3（an﹣1）2=log3（an﹣1﹣1）（an+1﹣1）（n≥2）， （an﹣1）2=（an﹣1﹣1）（an+1﹣1）（n≥2）， 则数列{an﹣1}为等比数列． 首项为a1﹣1=4﹣1=3，公比为=3． 则an﹣1=3n． ∴==． 则Tn=+…+=++…+ =•=（1﹣）． 故答案为：（1﹣）． 点评： 本题考查了等差数列的性质和等比数列的定义和通项及前n项和公式，考查化简运算能力，是中档题． 三、解答题（共8小题，满分70分） 17．（12分）在△ABC中，2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）． （1）求角C的大小； （2）若AB=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积． 考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题；解三角形． 分析： （1）利用2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC），以及三角形的内角和，两角和与差的三角函数．推出C的三角函数值，即可求角C的大小； （2）通过AB=2，利用sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出B的大小，然后求出三角形的边长，然后求△ABC的面积． 解答： 解：∵2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）． ∴2sin2C•cosC﹣sin（2C+C） =2sin2C•cosC﹣sin2CcosC﹣cos2CsinC =sin2CcosC﹣cos2CsinC =sinC =（1﹣cosC）． ∴sinC=﹣cosC． ∴sin（C+）=． ∵C是三角形的内角， ∴C+， ∴C=． （2）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A可得sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A， 可得sinBcosA=2sinAcosA，sinB=2sinA或cosA=0， 当cosA=0，∴A=，b= ∴==． 当sinB=2sinA，由正弦定理可知，b=2a，由余弦定理可知：cosC==， ∴a=， =． 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用余弦定理的应用，考查解三角形的知识，考查计算能力． 18．（12分）如图所示，在五棱锥P﹣ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面α与棱PB、PC分别交于点G、H． （1）求证：DE∥FG； （2）设DE=1，求三棱锥G﹣PEF的体积． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： （1）利用线面平行的判定与性质，证明DE∥FG； （2）由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点，利用三棱锥G﹣PEF的体积=VB﹣PEF==，即可求三棱锥G﹣PEF的体积． 解答： （1）证明：∵AB∥DE，AB⊂平面PAB，DE⊄平面PAB， ∴DE∥平面PAB， ∵DE⊂α，α∩平面PAB=FG， ∴DE∥FG； （2）解：由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点， ∴三棱锥G﹣PEF的体积=VB﹣PEF=== ==． 点评： 本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥G﹣PEF的体积，正确运用线面平行的判定与性质是关键． 19．（12分）为了解某市观众对2014﹣2015赛季中国男篮CBA联赛的喜爱程度，某调查公司随机抽取了100名观众，其中有40名女性观众，对这100名观众进行了问卷调查得到了如下的22列联表： 喜爱CBA 不喜爱CBA 合计 男性观众 20 女性观众 20 合计 已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为． （1）请将上面的22列联表补充完整； （2）是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关？说明你的理由； （3）从喜欢CBA的观众中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查观众对辽宁男篮的喜爱程度，求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率； 下面的临界表供参考： p（k2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k2=） 考点： 独立性检验的应用． 专题： 应用题；概率与统计． 分析： （1）根据在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为，求出喜爱CBA的观众有100=60人，可得22列联表； （2）求出k2，与是临界值比较，即可得出是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关； （3）采用分层抽样的方法抽取6人，有4名为男性，2名为女性，从这6人中随机抽取3人，有=20种，只有男性有=4种，可得抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有16种，即可求出抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率． 解答： 解：（1）∵在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为， ∴喜爱CBA的观众有100=60人， 可得22列联表： 喜爱CBA 不喜爱CBA 合计 男性观众 40 20 60 女性观众 20 20 40 合计 60 40 100 （2）k2=≈2.778＞2.706， ∴有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关； （3）采用分层抽样的方法抽取6人，有4名为男性，2名为女性，从这6人中随机抽取3人，有=20种，只有男性有=4种， ∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有16种， ∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率为=0.8． 点评： 本题考查独立性检验的运用，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20．（12分）如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）与椭圆C2：=1（a＞b＞0）的一个交点为T（，），F（1，0）为椭圆C2的右焦点． （1）求抛物线C1与椭圆C2的方程； （2）设M（x0，y0）是抛物线C1上任意一点，过M作抛物线C1的切线l，直线l与椭圆C2，交于A、B两点，定点N（0，），求△NBA的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）把点T的坐标代入抛物线方程求解p，则抛物线方程可求；由椭圆定义求得2a，结合已知与隐含条件求得b，则椭圆方程可求； （2）设出切点M坐标，利用导数求出过点M的切线方程，和椭圆方程利用，由弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得N到直线AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值得答案． 解答： 解：（1）∵点T（，）在抛物线C1上，∴，即p=，则抛物线方程为； 又∵点T（，）在椭圆C2上，∴=，． 又∵c=1，∴， 则椭圆C2的方程为； （2）由，得，∴y′=， 设直线l的斜率为k，则， ∴直线l的方程为，整理得：， 又∵M在抛物线上，∴， ∴直线l的方程为：3x0x﹣8y﹣8y0=0， 联立方程组，得 ①， △==， ∴ ②， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2 是方程①的两个解，由根与系数的关系得： ， ∴|AB|==． 设N到直线l的距离为d，则d==． ∴=． ∴当时，S△ABN有最大值为，此时x0=﹣2． ∴M点的坐标为（﹣2，）． 点评： 本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题． 21．（12分）已知f（x）=e1﹣x，g（x）=ln（t﹣x），其中e=2.71828…，m为常数，且t∈R． （1）若h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，h（1））处的切线为y=1﹣ln（t﹣1），求t的值并讨论函数h（x）的单调性； （2）当t≤3时，证明：f（x）＞g（x）． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题；导数的综合应用． 分析： （1）求导数，利用h′（1）=﹣1+=0，可得t，证明x∈（﹣∞，1）时，h′（x）＜h′（1），h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增，可得结论； （2）当t≤3，x＜t时，ln（t﹣x）≤ln（3﹣x），要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3﹣x）． 解答： （1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=e1﹣x﹣ln（t﹣x），h′（x）=﹣e1﹣x+， ∴h′（1）=﹣1+=0， ∴t=2， ∴h′（x）=﹣e1﹣x+， 令m（x）=﹣e1﹣x+，则m（x）在（﹣∞，2）上单调递增， ∴h′（x）在（﹣∞，2）上单调递增， ∵h′（1）=0， ∴x∈（﹣∞，1）时，h′（x）＜h′（1），h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增， 综上，h（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，2）； （2）证明：当t≤3，x＜t时，ln（t﹣x）≤ln（3﹣x）， 要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3﹣x）． 令F（x）=f（x）﹣ln（3﹣x）=e1﹣x﹣ln（3﹣x）， ∴F′（x）=﹣e1﹣x+在（﹣∞，3）上单调递增且F′（1）＜0，F′（2）＞0， ∴存在唯一一个x0∈（1，2），使得F′（x0）=0 ∴﹣+=0， ∴ln（x0﹣3）=x0﹣1． x∈（﹣∞，x0），F′（x）＜0，x∈（x0，3），F′（x）＞0 ∴F（x）≥F（x0）=﹣（x0﹣1）＞0， ∴f（x）＞ln（3﹣x）． ∴f（x）＞g（x）． 点评： 本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数，求导数是关键． 22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30 （1）求AF的长； （2）求证：AD=3ED． 考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆． 分析： （1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF． （2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED． 解答： （1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90， ∵BM=2BE=4，∠EBC=30，∴， 又∵，∴，∴， 根据切割线定理得，即AF=3 （2）证明：过E作EH⊥BC于H， ∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD， ∴△EDH∽△ADF， ∴， 又由题意知CH=，EB=2， ∴EH=1，∴， ∴AD=3ED． 点评： 本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用． 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：与圆C相交于A，B两点． （1）求直线AB的极坐标方程； （2）若过点C（2，0）的曲线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值． 考点： 简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程． 专题： 直线与圆． 分析： （1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可； （2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值． 解答： 解：（1）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 极坐标与直角坐标有关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ， 所以圆C1的直角坐标方程为x2+y2+4y=0，…（2分） 联立曲线C：x2+y2﹣4x=0，得或 即不妨令A（0，0），B（3，﹣），从而直线AB的直角坐标方程为：y=﹣x， 所以，ρsinθ=﹣ρcosθ，即tanθ=﹣，…（4分） 所以直线AB的极坐标方程为θ=﹣，（ρ∈R）．…（5分） （2）由（1）可知直线AB的直角坐标方程为：y=﹣x，…（6分） 依题令交点D（x1，y1）则有， 又D在直线AB上，所以，=﹣（2+t1），解得t1=﹣， 由直线参数方程的定义知|CD|=|t1|=，…（8分） 同理令交点E（x2，y2），则有， 又E在直线x=0上，所以2+=0，解得t2=﹣， 所以|CE|=|t2|=，…（9分） 所以|CD|：|CE|=．…（10分） 点评： 本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，属于中等题． 24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3| （Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集； （Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值． 考点： 绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： （Ⅰ）不等式即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4，可得 ①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）画出函数y=f（x）= 的图象，数形结合可得函数f（x）的最小值． 解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥4，即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4， 可得①，或②，或③． 解①可得x≤﹣8，解②可得 2≤x＜3，解③可得x≥3． 再把①②③的解集取并集可得不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣8，或x≥2}． （Ⅱ）∵函数y=f（x）=，如图所示： 故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣． 点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．