第五章-定积分
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第五章 定积分 一、内容精要 （一） 基本概念 定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。 定义3.3 设函数f(x)在闭区间上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入n-1个分点将分成 n个小区间，记，，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在上的定积分，记作，即. 否则称f(x)在上不可积. 注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。 注2若存在，区间进行特殊分割，分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。 注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即 定积分的几何意义: 若f(x)在上可积，且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积. 同样，变力所作的功（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程（是瞬时速度），密度不均质直线段的质量（其中是线密度）。 规定 广义积分 定义3.4 设函数在区间上连续，称记号 （1） 为函数在无穷区间上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分收敛，该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分发散。 由在连续必有原函数，设的原函数为。于是 从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即 若（存在）=A，则收敛，且若不存在，则发散。 同理可得 若存在，则广义积分收敛，否则发散。 若，都存在，则收敛，否则发散。 定义3.5 设在区间上连续，不存在（称a点为瑕点），且，称记号 与上面研究方式相同，可得 若存在，则广义积分收敛，否则发散。 同理若在上连续，不存在（称b点为瑕点），有 若在上连续，不存在（称c点为瑕点），定义 当且仅当都收敛时，收敛，且值等于的值之和。 注 若在上连续，（常数），则可看成正常积分， 事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。 若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。 第一p广义积分（a>0，常数）. 当时， 当时， 知时收敛，时发散 第二p广义积分. 令，有 由第一p广义积分知，当，即时收敛，当，即时发散。 （二）重要定理与公式 定理3.2 若函数f(x)在闭区间上可积，则f(x)在上有界，反之不成立。 例 . 事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间中，总能找到有理数，无理数，知 知不存在。 定理3.3 若f(x)在闭区间上连续，则f(x)在上可积，反之不成立. 定理3.4 若f(x)在闭区间上只有有限个间断点且有界，则f(x)在上可积，反之不成立. 定理3.5 若f(x)在闭区间上单调，则f(x)在上可积，反之不成立. 定积分的性质 性质1 性质2 （线性运算法则）设在上可积，对任何常数则 . 该性质用于定积分的计算与定积分的证明. 性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c顺序如何，有 该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明. 性质4 若f(x)在上可积且则. 性质5 若f(x),g(x)在上可积且则 性质6 若f(x)在上连续，且f(x) 0则 性质7 若f(x),g(x)在上连续且但,则. 性质8 若f(x)在上可积，则. 性质9 若f(x)在上可积，在区间上，m≤f(x)≤M，m，M是常数，则 性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围. 性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间上连续，则至少存在一点，使 而称为f(x)在区间上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数f(x)的平均值是 注：这里的与是不同的。 性质131 变上限积分求导定理 设f(x)连续，可导，则 1．定积分计算的方法 （1）牛顿一莱布尼兹公式 若f(x)在上连续,则 . （2）凑微分 （3）变量替换 （4）分部积分 设在上导数连续，则 具体的用法是 如果能够计算出就可以计算出 定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。 （5）设f(x)在上连续，则 事实上， 而 故得证 推论 证 由于 且为偶函数， 为奇函数，于是 （6）设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则. 事实上 由于于是 （7）设f(x)在[0,1]上连续，则 事实上 移项两边同除以2得. 微元法 根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量Q所分布的区间且区间上的总量Q具有等于各小区间上部分量之和的特点. （1）取近似求微元.选取区间。写出部分量的近似值即 要求是的线性主部即计算的过程中，可以略的高阶无穷小。 这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法. （2）得微分. （3）计算积分. 注：第一步一定要把表示成x的函数与的乘积形式. 由，于是又可写成下面的步骤： （1）选取求的线性主部，, （2） 二、考题类型、解题策略及典型例题 类型1.1涉及到定积分的方程根的存在性 解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。 例3.2.1设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且证明在（0。1）内存在一点，使. 分析 由结论知对被积函数用罗尔定理. 证由积分中值定理知，在上存在一点c，使 且，由f(x)在(0，c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点使 类型1.2涉及到定积分的适合某种条件的等式. 解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。 例3.2.2 设在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足 证明至少存在一点,使 分析 由前面的例知原理相同，对被积函数用罗尔定理. 证 由及积分中值定理，知至少存在一点，使得 令由在[c,1]上连续，在（c,1）内可导。由罗尔定理知，至少存在一点，使得，由 得 即 类型1.3涉及到定积分的不等式. 解题策略利用积分中值理，定积分的13条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。 例3.2.3 设上连续且递减，证明当0＜＜1时，。 分析 利用积分中值定理与函数的单调性. 证法一 其中0上递减，知 0＜＜1，0＜1＜1，从而 ，即。 分析 利用函数的单调性与积分不等式性质. 证法二 ， 由0＜＜1，知 递减，知得. 从而 . 分析 利用单调性定理与积分中值定理. 证法三 要证原不等式成立，只要证成立，令， 由 （1） 成立，由内可导，且 其中知上递减，又0＜＜1，有 即（1）式成立，由每一步可递，故原等式成立。 类型1.4 涉及到定积分的等式证明. 解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质. 例3.2.4 证明. 证 类型1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明. 解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似. 例3.2.5 设连续函数f(x)满足 . 分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 解 令，有 从而得到 ，令x=1有 例3.2. 6 求连续函数f(x)，使满足 分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 解 代入等式并化简有 ， 等式两边同时对x求导有 ， 得. 于是 . 分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对x求导 类型1.6 涉及到f(x)与其定积分的等式，求f(x) 解题策略 令该积分为k,求出k，从而求出f(x) 例3.2.7 设连续函数f(x) 满足. 解 设由于 得. 例3.2.8 已知f(x)满足方程 分析如果令又有一个等式中就会有两个未知数，解不出来，因此把等式两边平方后再积分. 解 设 得两边平方后再积分有 整理得 ，解得，所以 类型1.7 上连续f(x)定积分的计算. 解题策略利用区间的对称性与被积函数的奇偶性 例3.2.9 计算. 分析 利用区间的对称性与被积函数的奇偶性. 解 原式 （利用定积分几何意义）. 类型1.8定积分的计算. 解题策略利用定积分的线性运算法则、凑微分、变量代换、分部积分 例3.2.10 计算. 解 原式 。 例3.2.11 计算. 解法一 原式 . 解法二 令则于是 原式 例3.2.12 计算. 分析 被积函数含有根式不能凑微分，用变量代换. 解 设则于是 原式 类型1.9求平面图形的面积 解题策略（i）曲线围成的曲边梯形面积是 . 事实上，由所求平面图形面积S分布 在区间[a,b]上. （1）选取， . （2）. 注：计算时，需去绝对值进行定积分计算. （ii）特别地围成的平面图形面积S为 . （iii）同理 所围成的平面图形面积S为 . （iv）特别地所围成的平面图形面积S为 . 如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公式. 求平面图形的步骤： （1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。 2．根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。 例3.2.13 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。 解 由 即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直 线，曲线及直线所 围成（图3-3），其面积 . 注：本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1及S2，分别计算S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。 例3.2.14 计算曲线及直线所围成的平面图形面积。 解 曲边形如图3-4所示，故有 注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。 图3-4 图5-9 类型1.10求立体的体积 解题策略（a）设Ω为一空间立体，它夹在垂直于Ox轴的两平面x=a与x=b之间（a
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