高中数学人教版必修1知识讲解讲义

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高中数学必修1知识讲解讲义 目录 第一讲 集合的概念 1 第二讲 集合的关系与运算 6 第三讲 映射与函数 11 第四讲 函数的表示方法——解析式法 16 第五讲 函数单调性 20 第六讲 函数奇偶性 27 第七讲 指数与指数幂的运算 36 第八讲 指数函数 42 第九讲 对数函数 50 第十讲 对数与对数运算 56 第十一讲 幂函数 61 第十二讲 方程的根与函数的零点 66 第十三讲 用二分法求方程的近似解 71 第十四讲 几类不同增长的函数模型 76 第十五讲 函数的图像 85 第十六讲 函数的综合应用 93 第十七讲 二次函数性质与函数的图像 111 第一讲 集合的概念 一. 知识思维导图 二. 知识要点解读 （一）集合的概念 1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。 （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A、B、C、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、…… 2. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性： (1) 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2) 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3) 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 【例1】考察下列每组对象能否构成集合？ ⑴中国的直辖市； ⑵young中的字母； ⑶不超过20的质数； ⑷高一⑶班16岁以下的学生； ⑸高一⑶班所有个子高的学生. 【分析】 ⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”； ⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”； ⑶“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：41=4，42=2，44=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。） ⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合； ⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。 【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素： (1)所有绝对值等于6的数的集合A (2)所有绝对值小于6的整数的集合B 【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在. 【解】 (1)A＝{绝对值等于6的数} ；其元素为：－6，6 (2)B＝{绝对值小于6的整数}；其元素为：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5 （二）集合的表示方法 1. 常用数集的表示方法 常用数集 简称 记法 全体非负整数的集合 非负整数集 N 非负整数内排除0的集合 正整数集 N+或N+ 全体整数的集合 整数集 Z 全体有理数的集合 有理数集 Q 全体实数的集合 实数集 R 【例3】判断正误： ⑴所有在N中的元素都在N*中(　　) ⑵所有在N中的元素都在Z中(　√　) ⑶所有不在N*中的数都不在Z中(　　) ⑷所有不在Q中的实数都在R中(　√　) ⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(　　) ⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立(　√　) 注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 1)是有限集而元素个数较少 　 如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x} 2)是无限集且元素离散 　 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…} 3)是有限集但元素个数较多 　 如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为{1,2,3,4，，98,99,100} 3. 描述法： 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。{x|p(x)}中x为代表元素，p(x)指x具有的性质. 描述法的两种表述形式： 1)、数式形式:如由不等式x-5>4的所有解组成的集合，可以表示为{x|x-5>4}；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为{(x,y)|y=x2+1}。 2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为{绝对值小于6的整数}。 【例4】求不等式2x-3>5的解集 【答案】不等式的解集为{x|x>4,x∈R} 【例5】下列各组对象不能形成集合的是（ ） A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝x图象上所有的点 【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B. 【例6】集合A的元素由kx２－3x＋2＝0(k∈R)的解构成，若A中的元素至多有一个， 求k值的范围. 【解】由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根。 　 若k＝0，则x＝2/3，知A中有一个元素，符合题设 　 若k≠0，则方程为一元二次方程. 当Δ＝9－8k＝0即k＝9/8时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞9/8时,kx2－3x＋2＝0无解. 此时A中无任何元素，即A＝Ф也符合条件 综上所述 k＝0或k≥9/8 【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况. 三. 知识要点总结 1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。 4. 集合分类 ——根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 5. 集合的表示方法 常用数集 简称 记法 全体非负整数的集合 非负整数集 N 非负整数内排除0的集合 正整数集 N+或N+ 全体整数的集合 整数集 Z 全体有理数的集合 有理数集 Q 全体实数的集合 实数集 R 6. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。 1)是有限集而元素个数较少 2)是无限集且元素离散 3)是有限集但元素个数较多 7. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。 8. 描述法的两种表述形式： 1)、数式形式 2)、语言形式 第二讲 集合的关系与运算 一. 知识思维导图 二. 知识要点解读 （一）集合之间的关系 1. 集合与集合之间的“包含”关系 A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A； 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：A ⊆ B或B ⊇ A 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 A⊆B且A⊇B，则A=B中的元素是一样的，因此A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即A⊆A。 3. 真子集的概念 若集合A ⊆ B ，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。 记作：A ⊊B 读作：A真包含于B 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 4. 真子集的性质 结论： A⊆B且B ⊆ C，则A⊆C 【例1】集合A={1,2,3,4}，集合B={4,2,3,1}，问集合A和集合B相等吗？ 【例2】化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x >5}，并表示A、B的关系； 【例3】（1）写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）集合{a1,a2,a3an}，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个. （二）集合的运算 1. 集合的运算——并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B 读作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 2. 集合的运算——并集 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 3. 集合的运算——交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。 记作：A∩B 读作：“A交B” 即： A∩B={x|x∈A，且x∈B} 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。 4. 集合的运算——补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集 记作：CUA 即：CUA={x|x∈U且x∉A} 补集的Venn图表示 说明：补集的概念必须要有全集的限制 5. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 6. 集合的运算的一些结论 交集A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=∅ ,A∩B=B∩A 并集A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A 补集（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=∅ 若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立 若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立 若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），则x∈A或x∈B 【例1】A={1,2,3,6}，B={1,2,5,10}，则 A∪B=_____． 【例2】已知集合A={1,2,4} , B={2,4,6}，则A∪B=_____. 【例3】已知集合A={1,2,k}，B={2,5} ，若A∪B={1,2,3,5} 则 k=___. 【例4】已知集合A={1,3, √m} ,B={1,m}，A∪B=A,则m=（ 　） A．0 B．0或3 C．1或 √3 D．1或3 【例5】A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则A∩B=______ 【例6】设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x}，则M∩N=（ ） A．{0} B．{0,1} C．{-1,1} D．{-1,0,0} 【例7】已知集合A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=（　　） A ．(-∞，-1) B．(-1,-2/3) C． (-2/3,3) D．(3, +∞) 【例8】已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-2)(x-m)<0},且A∩B=(-1,n) ,则 m=____,n=_____. 【例9】如果全集U={x|0≤X<6,X∈Z},A={1,3,5},B={1,4}，那么，CUA= _____ CUB= _________ 【例10】如果全集U={x|0a,x≤a,x0时，g(x)＝-x<0，f(x)＝x2>0，所以f(g(x))＝f(-x)＝-x，g(f(x))＝g(x2)＝-x2. 求函数解析式要注意“里”层函数的值域是“外”层函数的定义域，从关系上看，f(gx))与f(x)是同一对应关系的函数，仅是自变量的取值不同，这时g(x)的值域就是f(x)中x的范围(这是求复合函数的定义域时不可忽视的问题)。 （三）配凑法（整体代换） 1. 什么是配凑法？ 一些能用换元法的题目也能用配凑法 2. 已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中配凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x来代替即可。 【练习】(1)已知f(x-2)=3x-5,求f(x). (2)已知fx+1=x+2x，求f(x). 解：f(x-2)=3(x-2)+1，f(x)=3x+1 解：fx+1=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1，f(x)=x2-1(x≧1) 【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x) 的表达式为( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 【例2】已知fx+1x=x2+1x2，则f(x)的解析式 【例3】已知a,b为常数，若f(x)=x+4x+3，f(ax+b)=x+10x+24,则5a-b= . （四）消元法 构造方程组（如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等）此方法的实质是解函数方程。 【练习】设f(x)满足f(x)-2f(1x)=x，求f(x)的解析式。 【例1】已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1x-1，则f(x)= 【例2】若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x，则f(x)的表达式为 （补充）赋值法——由题设条件的结构特点，由特殊到一般地寻找普遍规律。 【例】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式。 【分析】本题主要考察利用特殊值法求函数的解析式，所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等带入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，需要根据题目特征来定。 【解法一】解：由f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1) 设x=y,得f(0)=f(x) -x(2x-x+1) ∵f(0)=1， ∴f(x)-x(2x-x+1) =1, 即f(x)=x2+x+1 【解法二】解： 令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1) 再令-y=x,代入上式， 得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1) ∴f(x)=x2+x+1 【点评】通过取某些特殊值带入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式 三. 知识要点总结 求解析式常用方法：（一）待定系数法 （二）换元法（三）配凑法 （四）消元法 第五讲 函数单调性 一. 知识思维导图 二. 知识要点解读 （一）函数的单调性定义 （1）增函数(Increasing function)：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。 （3）单调性（单调区间）：如果函数y=f(x)在某个区间D是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在区间D具有单调性，或者说函数在区间D上是单调的，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间(包括增区间和减区间)。 名称 定义 几何意义 增函数 对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。 f(x)的图像在区间D上是“下降”的 （二）函数的单调性定义深度剖析 1. 函数单调性的定义中, x1,x2有三个特征：一是任意性，即区间内任意取x1,x2具有普遍性；二是有大小，一般设x1-12 B. k<-12 C.b>0 D.b<0 [答案]A 3. 函数f(x)在(a,b)和(c,d) 都是增函数，若 x1∈(a,b)， x2∈(c,d)且x1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定 [答案]D 4.已知f(x)在实数集上是减函数，若a+b≤0 ，则下列正确的是 （ ） A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥ f(-a)+f(-b) （二）函数单调性的判断 1. 判断函数单调性方法 (1) 定义法 a) 用定义法判断（证明）函数单调性的步骤 ： i. 取值：在给定区间D上任取两个值x1，x2且x10，f(x)在[a,b]上是增函数。其几何意义是：增函数图象上任意两点，(x1, f(x1))，(x2, f(x2))连线的斜率都大于0。 ② (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，f(x)在[a,b]上是减函数。其几何意义是：减函数图象上任意两点，(x1, f(x1))，(x2, f(x2))连线的斜率都小于0。 c) 函数单调性的判断——定义法 例：讨论函数fx=x+ax(a>0)的单调性。 研究函数的单调性定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)－f(x1))，运算的结果可以判断正、负。本题判断正、负的依据是代数式“x1x2－a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础。把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2－a”的符号，于是转化为判断“ x-a”的符号，自然过渡到x=a是函数单调区间的分界点。 【例1】证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数． 【答案】证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)． 由x1＜x2，得x1-x2＜0， 于是 f(x1)-f(x2)＜0， 即 f(x1)＜f(x2)． 所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数． 想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确． 【例2】求证：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数． (2) 图像法 先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性 【例1】如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【答案】解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数. 【例2】函数y=-x+|x| ，单调递减区间为_________________ 【答案】(-,0)，(,+∞) (3) 直接法 就是对于我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它们的单调区间。 图像 单调区间 单调性 正比例函数 y=kx(k≠0) k>0 R 单调递增 k<0 R 单调递减 反比例函数 y=1/x(k≠0) k>0 (-∞，0) 单调递减 (0，+∞) 单调递减 K<0 (-∞，0) 单调递增 (0，+∞) 单调递增 一次函数 y=kx+b(k≠0) k>0 R 单调递增 k>0 R 单调递减 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 (-∞, ] 单调递减 （ ,+∞） 单调递增 a<0 (-∞, ] 单调递增 （ ,+∞） 单调递减 牢记函数的单调性几个重要结论： 若函数f(x)，g(x)在区间A上具有单调性，则在区间A上具有以下性质： i. f(x)与f(x)+C（c为常数）单调性相同； ii. 函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反； iii. f(x)与a f(x)，当a>0时，具有相同的单调性；当a<0时，具有相反的单调性。 iv. 当f(x)不恒为零时， f(x)与1f(x)具有相反的单调性。 v. 当函数f(x)，g(x)都是增（减）函数时，则函数f(x)+g(x)是增（减）函数。 vi. 当函数f(x)，g(x)都是增（减）函数时，则函数f(x)g(x)当两者都大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。 vii. 若f(x)≥0,则函数f(x)与f(x)具有相同的单调性 2. 复合函数单调性的判定方法 以复合函数y=f[g(x)]为例。可按照下列步骤操作： i. 将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域。 ii. 分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y=f[g(x)]为减函数，即“同增异减”。 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 3. 求函数的单调区间常用方法 (1) 若所给的函数解析式较为复杂，可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图像的直观性写出单调区间。 (2) 利用定义证明函数在某一区间上是单调函数，从而写出它的单调区间。由于函数单调性是针对某一区间而言的，因此 若函数在区间的端点处有定义，可写成闭区间，也可写成开区间；若没有定义则只能写成开区间。 （三）函数单调性的应用 1. 利用函数单调性求值域或最值 一般的，设函数的定义域为I。 (1) 若存在定值x0∈I,使得对于任意x∈I，有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y= f(x)的最大值。记作：ymax= f(x0). (2) 若存在定值x0∈I,使得对于任意x∈I，有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y= f(x)的最小值。记作：ymin= f(x0). 注意： (1) 定义中的f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)）必须是对于定义域内的任一值，而不是存在。 (2) 一个函数要有最大（小）值，则只有一个，并不是所有的函数都有最值，如一次函数y=3x+7,x∈(4,9),既无最大值又无最小值。 (3) 对于分段函数求最值，一定要注意分段函数是一个函数，一般是求出各段函数的最值，再比较其大小，进而求出分段函数的最值。应用函数的单调性，可以求函数的值域，解决与值域有关的问题，求函数的最大值和最小值。 2. 利用函数单调性比较大小 例如：已知f(x)在区间D上为增函数。 (1) 对任意的x1∈D，x2∈D，若x10时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)f(y)． (1)证明：对任意的x∈R，f(x)>0； (2)证明：f(x)是R上的单调增函数； (3)若f(x)f(x2＋x)<1，求x的取值范围 三. 知识要点总结 1. 我们之前学过一些关于元素和函数的分类： 元素的三特性：确定性、互异性、无序性。 函数的三要素：定义域、对应法则、值域。 2. 函数的三特性：单调性、奇偶性、周期性。 其中，单调性排在首位，是函数的基本性质，是每个初等函数要研究的性质. 其他性质则不然，如奇偶性，周期性等，不是每个初等函数都具有的性质. 由此看到，单调性在函数中的重要地位. ①函数的单调性与“区间”紧密相关，函数在不同的区间上可有不同的单调性。 ②单调性是函数局部的性质（定义域的某个区间上），奇偶性是整体的性质（整个定义域上）。 3. 单调性定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1 f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。 4. 判断函数单调性的常用方法 (1) 定义法：即“取值——作差(作商)——变形——定号——判断”注意讨论单调区间 (2) 图像法 (3) 直接法 5. 函数单调性的证明步骤等同于判断 必须注意： 在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将f(x1)-f(x2)尽量分出(x1-x2)因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式符号的确定。 6. 复合函数单调性的判断——要牢记“同增异减” 7. 函数单调性的应用 （1）利用函数单调性求值域或最值 （2）利用函数单调性比较大小 （3）利用函数单调性求参数的范围 第六讲 函数奇偶性 一. 知识思维导图 二. 知识要点解读 （一）函数奇偶性的概念 1. 定义： 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y= f(x)具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的整体性质。 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立. 2. 定义剖析： (1)奇偶函数的定义域关于原点对称。函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．若不对称，则这个函数必不具有单调性，这个函数是非奇非偶函数；例如函数y=x2在实数集R上是偶函数，但在区间[-1,3]上不具有奇偶性。 (2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)=0一定成立。证明：由奇函数的定义f(-0)=-f(0) 可以推出2f(0)=0，即f(0)=0。这里要特别注意一点，若函数在0处没有定义，如函数fx=1x，虽然是奇