有限元方法及软件应用有限元平面问题3

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Finite Element Method 3．面力的移置 设三角形单元某边界s 上受面力q 作用，分量为，，则 取ds 则 由一般公式： 积分在边界s上 以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出 通常我们称： 为荷载移量的一般公式： 几点说明： 1． 虚功等效静力等效。 唯一性 2． 一般 3． 更多节点的单元公式形式不变，但不同 4． 虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的 N为x,y 的函数，若p, q再为 x, y 的函数则更难，且单移分限不好定。 因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。 四． 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标） 1． 面积坐标的定义： 图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点m ，其位置可由xoy坐标系中两个坐标来确定，即m(x,y) 若我们连接,,,则形成了3 个小三角形ijm, ikm, jkm. 则有：若m(x,y)确定ijm, ikm, jkm.面积确定。 反之，ijm, ikm, jkm.面积确定m(x,y)确定 （用同底等高的概念解释！！） 因此，三角形单元内任一点可以 我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢？ 定义：节点I对边为底的三角形面积为; 节点j对边为底的三角形面积为; 节点k对边为底的三角形面积为; 设三角形单元的面积为A 令 （2-37） 则三个比值，，称为三角形单元中m点的面积坐标. 2.三角形面积坐标的性质： 1》 面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为 ； 2》 三个面积坐标之和：++=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38） 证明：++=++=（++）=1 （亦可几何解释）。 3》 三角形单元内与jk边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=） 4》 形心处的面积坐标为： ===1/3 （2-39） 5》 三角形单元节点的面积坐标为： （2-40） 证：节点I: =A. ==0. 3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系 下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系： 设m点的坐标为m(x,y),m 为任一点 则：= =（） =[（）+（）+（）] 显然： ， ， =（） （2-41） 与表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其形函数。（对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示） 即=，， （2-42） 具有的全部性质 式（2-41）还可写成矩阵的形式： 直面 （2-44） 这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。 下面的结果留给大家自己证明： 面直 （2-45） 4． 面积坐标函数的运算 我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用Г函数等） 1.偏导 设z=f(,,) =g(x,y) (I= I ,j ,k) 则： （2-46） 2． 面积分 （2-47） 其中，，为正整数； 0!1, A: 三角形面积 ex: (I= I ,j ,k) 3.线积分： （s为直线长） （2-48） 以上公式要会用 注意表示的边 五． 三角形单元的荷载移置 有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。 1． 集中力的移置 设m点作用有集中力 m点的形函数为： (I= I ,j ,k) 等效节点荷载为： 这就是三角形单元内m点作用有的等效节点荷载。只要计算出(I= I ,j ,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处重力的移置。 形心坐标： ===0 ===-R 故：重力作用于形心时各节点均担。 2. 体积力的移置 设单元作用有体力 则等效节点荷载为： = 若为x, y的函数，则把用面积坐标表示（转换） 在常体力的作用下有： === 即：常体力作用下，总体力均分三节点。 2． 面力的移置。 设三角形单元I ,j 边上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分别由节点合力表示及用节点分力表示） == （q为合力，非分力） 则 == q为x, y 的函数，把q 表示面积坐标的函数有q= ，在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。 则：===== 同理： = ==+ 注意到在s上=0 =0 故：== 或：= 此法：1. 避免复杂的分离。 2. 便于编程计算。 特例：若分布荷载为三角形分布。令（或） 则有：= （近端为2 ，远端为1） 说明：用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元，形函数也未必是线性的。 六． 三角形单元节点荷载的形成 经过荷载处理后，我们已把非节点的荷载转化为常点荷载。 实际计算的荷载为： 计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载 即： （2-49） 等效节点荷载要注意： 1． 同时贡献的问题 2． 用哪个单元计算的问题。 七．计算结果的整理： 有限元计算提供的结果一般为：1。节点位移 2。单元应力 1． 节点位移的处理： 一般把节点位移按比例标出，提供出结构常点位移分布规律 1． 连成折线（线性位移函数） 2． 连成光滑曲线（实际变形） 2． 单元应力的处理： 输出的单元应力一般为，，（形心处）（三节点Ⅱ单元为常应力元，无所谓） 1． 变换为单元的主应力。，, （材力） 2． 变换为节点应力的主应力。 （） （平均法） Ex. 节点5的应力为： 即：= （x, y, xy ） (,,)(,) 然后标出应力变化曲线。 计算结果的工作量随结构的单元，节点划分增加面增大。 要关注的是：1）位移的变化规律 2）应力的最大值及发生地点。 小概念：位移最大的地方，应力未必最大。 八：有限元计算小结： 1． 基本原理： 连续法有限个节点连接，有限大小的单元的组合法。 建立的节点位移为未知数，总刚为系的ｎ阶线性代数方程组。 2． 研究方法 （确定）节点位移单元位移单元应变单元应力 　　　　　　　　　　　　　　　　　 单刚总刚计算荷载（等效节点荷载） 　　　　　　 约束处理求解方程整理结果 ３．解答特点： １．假定单元内的位移分布规律，近似离散的数值解。 ２．误差主要来源于：结构离散（连续离散），假定位移分布。 ３．收敛性：单元缩小划分细密收敛于精确解。 Chap3. 平面问题较精密单元的分析（矩形，高阶单元，等参单元） 3-1． 问题的提出 在三角形单元中，我们假定位移函数是线性的。即：单元内的位移按线性规律变化。这是最简单，最基本的一个有限单元。而实际结构中在外载荷的作用下位移分布常非按线性变化。 设单元位移曲线为图示的f(x).显然，用线性插值解的精度较差。提示解的精度的方法： 1． 增加单元，节点数（工作量大，费用高） 2． 提高插值阶数 因此，提出了用高阶插值，高阶单元的问题 我们大家都知道,位移是一个连续函数（连续体），而任意的连续函数都是可以展成幂级数，用幂级数来表示的。 因此，一个单元内的位移分布为f(x)时，我们就可以取级数的前几项来表示它。用二次三次函数来插值，以改善计算结果。 至于等参数单元（等参单元）是一种为清除曲边误差而 出的一种单元。 如果实际结构为曲线边界，则无论怎样提高位移函数（插值）的阶数也不能使解得到多大的改善。有限个直边代替曲边，终究是代替，而不会是相等。为了处理曲边问题，人们提出了等参单元的概念。有平面等参单元，空间等参单元等。我们只向大家介绍平面等参单元，以供了解。 3-2 四节点矩形单元的有限元分析。 矩形单元常用于规则边界的有限元分析，它也是常用的一种有限单元。 一． 单元的位移函数。 设单元e为矩形单元，边长为2a,2b;其节点为I,j,k,m;为研究方便我们取局部坐标系x-y如图（原点在形心）。 1． 单元的自由度及位移函数： 4个节点，每个节点2 个自由度（位移）u,v，则单元的总自由度为8个。为保证单元的收敛性准则，位移函数必须保证有常数项，线性项。 设位移函数为：（对称性与坐标选择无关） （U 关于坐标对称） （3-1） 其中xy项是根据pascal三角形及xy的对称性选取（选二次项尚有协调问题，选，项不行） 这样，已知（i=1，2，3，4）这八个节点位移（i=1，2…8） 2.形函数的推导： 同理： 我们不难从前4个方程中解出，，，，具体做法： ①+②： ①+②：v ③+④： ②-①: v ①- ②: v ③-④ v = = u= 令： （3-2） 则： （3-3） 式（3-2）称为节点矩形单元的形函数；式（3-2）尚可写为： (I =I, j, k, m) (3-4) 式（3-3）为节点位移表示的单元位移函数。 式（3-3）还可以写成矩阵的形式 = （3-5） 式中：= （3-6） 二. 形函数的性质： 1．形函数（I =I, j, k, m）在节点I 上=1,在其余节点上=0 （轮换） 即在 节点I ：=1 节点j: =0 (j)= = 节点k: =0 节点m: =0 证明： （i=I, j, k, m） 在节点i x=,y=时： =1 j, k, m各节点至少有一个节点坐标x=-或y=-故=0 （i=j, k, m） 同理可得到全部结果。 2．4个形函数之和：+++ 证明： 写出形函数（，的符号与该点的，相同） +++= ==1 因此：4个形函数只有3 个是独立的。 在I j边上，，0（节点除外），==0 （轮换）（一条边上的四个） 证明： 在I j边上，y=, (x-) 在I, j 边上，y= （x-） I, j边上 y===- =0 同理：I, j边上：=0。 证毕 4．在4 条边界上的性质（节点除外） 在包含节点I 的边界上，0，否则=0。（轮换）（四条边上的一个） 证明：性质3 的另一种表述 在包含节点 I 的边界上： X=， 或 y= 显然有： （y）或 （节点j, m除外） 在不包含节点I 的边界上： X=- 或y=- 显然：=0 得证 由以上的性质，我们可以描述的几何图形。 三． 位移函数的性质 1． 位移函数是双线性的 位移函数： 显然, u, v包含坐标x y的二次项x y，但当x=const 或y=const时 U,V都是一个线性函数。 即： 在单元内任一点，无论沿x方向变化（此时y=const）或沿y 方向变化（x=const） u, v 都是线性的。 2． 位移函数解满足收敛准则： ① 解反映单元的刚体位移。（位移=刚+弹） 位移函数 写成如下的形式： 显然：第一项，与x, y无关。反映了单元内各点沿x, y方向的刚体位移。 若令: w=,则w反映单元内各点绕z轴的刚体转动。 ② 解反映单元的常应变 由几何方程： 显然，，分别反映了沿x, y方向的常应变；反映了（）常量的剪切应变。 面和分别反映了线性变化的，，。（，0） ，反映单元的刚体移动。 -——反映单元的刚体转动。 一般：位移函数只要包含++ 选择变量的一次式，则必须保证收敛性。 单元内各应变都不是常量，你如何能解释其收敛？ 解释：当单元尺寸逐步缩小时，单元内各点x, y的变化必然很小。 以为例： 单元尺寸逐步缩小单元内逐步缩小 可以保证单元内以为基准，收敛于附近。 （0） 否则： 若=0，则=在y=0处=0y=0处，永远仅发生刚体位移。 同理可知：，的意义。 由于有，0的存在，四边形单元称为非常应变单元。 ③ 位移函数在单元内连续，在边界上与相邻单元协调。 证明：u, v是连续的——明显 由于u, v是双线性函数，而单元的每条边界都满足x=const 或y=const. 因此：在每条边界上： u, v都是一个线性函数。 设，为相邻单元; 的节点为：I, j, k, m，的节点为：I, p, q, j. 则I, j为公共边界。