部审人教版九年级数学下册教案28.1 第3课时 特殊角的三角函数值

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优秀领先 飞翔梦想 成人成才 28．1锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．经历探索30、45、60角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30、45、60角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30、45、60的三角函数值解决简单实际问题．(难点) 一、情境导入 问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60sin30－sin45sin60； (2). 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2－＝－＝－1； (2)原式＝＝2－3. 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A．0＜α＜30 B．30＜α＜45 C．45＜α＜60 D．0＜α＜30 解析：∵cos30＝，cos45＝，cos60＝，且＜＜，∴cos60＜cosα＜cos45，∴锐角α的范围是45＜α＜60.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度 若tan(α＋10)＝1，则锐角α的度数是(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 解析：∵tan(α＋10)＝1，∴tan(α＋10)＝.∵tan30＝，∴α＋10＝30，∴α＝20.故选A. 　　方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 如图，在△ABC中，∠ABC＝90，∠A＝30，D是边AB上一点，∠BDC＝45，AD＝4，求BC的长． 解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可． 解：∵∠B＝90，∠BDC＝45，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30＝，即＝，解得BC＝2(＋1)． 方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状． 解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论． 解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45，∠B＝60，∠C＝180－45－60＝75，∴△ABC是锐角三角形． 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30，∴tan30＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15与tan75的值． 解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15＝，tan75＝求出即可． 解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15＝＝2－，tan75＝＝＝2＋. 方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15和75的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15和75的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计 1．特殊角的三角函数值： 30 45 60 sinα cosα tanα 1 2.应用特殊角的三角函数值解决问题． 课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的教学很成功，学生理解的很好. 第 3 页 共 3 页