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天水师范学院,高等数学实验（Mathematica篇）任课教师：高忠社,序,一、目前常见的数学软件分类⑴公共基础软件：Basic、Fortran、TurboC、Pascal等.⑵矩阵实验室系统：Matlab.⑶计算机代数系统：Mathematica、Maple等.⑷交互式数学软件：MatheCAD等.,二、部分数学软件各自的特点描述Mathematica:数值运算和解析运算可以非常地精确.MathCAD:可视化数学运算工具.Matlab:数值计算十分快捷.Matematica\Maple:符号运算更为有力.,第一章Mathematica用法简介,Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型软件。主要包括：数值计算、符号计算、图形功能和程序设计4个方面的功能，含有功能强大、种类丰富的内部函数，用户也可以自由地定义自己的函数并扩充到系统函数中。,Mathematica也是一个交互式的系统，其用户界面为图形形式，使用起来很方便，且可以很方便的与其它软件（如字处理软件等）交换信息，图形处理也更直观、方便，使用更广泛。下面主要以Mathematica5.0版本为基础来介绍其基本使用方法。,1、Mathematica基本操作,1.1启动与退出,假设在Windows下已安装好Mathematica，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单击，就启动了Mathematica，在屏幕上显示如下图的Notebook主窗口，系统暂时取名为Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。,在主窗口中，可以开始输入命令进行计算工作。需要注意的是：Mathematica的计算核心一般不是进入系统后马上启动的，只有在给出了确实的计算指令后才开启，因此Mathematica的第一条命令的执行速度相对会慢一些。退出Mathematica与其它Windows程序一样，可以用Alt+F4、File->Exit或关闭按钮。,1.2输入命令,进入Mathematica后，就可以输入命令。系统解释并执行命令后，将把输入命令编号，前面加上In[num]:=的信息（”num”代表输入命令的序号），输出结果前将加上提示符Out[num]=。注意：输入命令并不是以回车符(Enter)结束，可以一次输入多行命令。执行命令一般是Shift+Enter或数字键盘中的Enter键。,1.3NoteBook,Mathematica中的输入输出都是在NoteBook中进行的。每一次输入和输出作为单元(cell)出现，所有的资料，包括文本和图形都被组成有序的单元，通过定制，可以改变单元的字体、大小、放大缩小图形，还可以利用鼠标单元右部的标志线选择一个或一组单元，进行单元的操作。退出Mathematica时会询问是否保存本次工作。,1.4复制和剪切,尽管Mathematica可以保存自己的工作，但也可以将算出的结果保存到其它文件中，或者将在其它文本编辑器中编辑的命令调到Mathematica中执行。这些操作都可以通过Windows剪贴板来完成。,1.5使用以前的结果,任何时候都可以在输入表达式里写百分号”%”表示上一次计算的结果。这样就可以方便的使用前面的计算结果构造新的计算。例如：In[1]:=x^2+2x*y+5x*y^2In[2]:=%*(x^2+y)注：%%表示倒数第二个计算结果；%n表示第n个计算结果。,1.6使用联机求助系统,在使用Mathematica的过程中，常常需要了解一个命令的详细用法，或者想知道是否有完成某一任务的函数。此时就需要借助帮助系统来实现。⑴运算区的查询在运算区内输入相应的命令，可以查询内部函数（操作）的有关信息。,常见输入方式有：①?Name:给出有关Name的有关信息；②??Name:给出有关Name的消息信息；③?L*:给出以L开头的所有函数（操作）的全名。如：?Log语句将给出函数Log[x]的有关信息。,⑵Windows格式的在线查询在Mathematica的工作窗口中，通过File->HelpBrowser或Shift+F1可以激活HelpBrowser帮助系统。窗口如下图所示：,HelpBrowser中主要帮助信息解析：Build-inFuntion:查询Mathematica的所有内部命令与函数的使用方法；Add-ons:查询Mathematica的函数库命令与函数的用法；TheMathematicaBook:Mathematica的完整手册；GettingStarted/Demos:初学者使用说明与范例；OtherInformation:其它信息，包括Mathematica集成环境介绍、数学表达式二维格式的输入方法等；MasterIndex:用索引的方法查询Mathematica关键词。,帮助系统使用说明：选择搜索主题的类别之后，输入关键词，单击GOTO按钮开始搜索主题，或者在最左边的选项列表中选择搜索主题类别后，在逐渐缩小查询范围，进行搜索。如：查询Limit可以直接在HelpBrowser中输入Limit，也可以选择AlgebraicComputation->Calculus->Limit查询。,⑶关于“;”的使用Mathematica中规定“;”为其语句分隔符，当其后不再有Mathematica语句时，其含义为要求系统不再输出该语句的运算结果中Out后面的结果；若其后还有其它语句时，则认为两语句为并列关系，且最后一个语句的结果为它们顺序执行后的最终结果。但由于绘图执行后，其图形在Out语句出现前画出，因而图形给出，不再有Out语句后内容。,⑷打开文件与打开程序包主菜单中File->Open的用法与“<<”的用法：①Open用于打开已保存的文件；②
c。例如：In[1]:=f=x/2+1Out[1]=In[2]:=f/.x->1Out[2]=In[3]:=f/.->4Out[3]=3,,,如果表达式中有多个变量也可以同时替换，方法为expr/.{var1->c1,…,varn->cn}。例如：In[4]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y->1-a}Out[4]=,,4、立即赋值和延迟赋值在Mathematica中有两种不同的赋值方式，分别为：lhs=rhs和lhs:=rhs。,例：对下面两个赋值进行比较：ex[x_]:=Expand[(a+b*x)^2];iex[x_]=Expand[(a+b*x)^2];In[1]:=ex[y+2]In[2]:=iex[y+2],注：在定义函数时，“:=”和“=”都很有用，但一定要注意它们具有不同的意义。一个经验规则是：当想得到表达时的最终结果时，可用“=”；当希望得到的是一个特殊的“命令”，最好用“:=”。如：k[n_]:=Sum[i,{i,1,n}]k[n_]=Sum[i,{i,1,n}],在计算时当得到符号参数的结果，想继续利用此计算结果得到参数的各个不同值时，选择“=”更为合适。如：In[1]:=D[Log[Sin[x]]^2,x]In[1]:=D[Log[Sin[x]]^2,x]Out[1]=2Cot[x]Log[Sin[x]]Out[1]=2Cot[x]Log[Sin[x]]In[2]:=dlog[x_]=%;In[2]:=dlog[x_]:=%;In[3]:=dlog[1+a]In[3]:=dlog[1+a]Out[3]=2Cot[1+a]Log[Sin[1+a]]Out[3]=2Cot[x]Log[Sin[x]],在用“=”和“:=”对变量进行赋值时，前者结果立即被计算出来，而后者则保持没有被计算时的形式。如：In[1]:=rd1=Random[]Out[1]=0.327946In[2]:=rd2:=Random[]（使用时才计算）In[3]:={rd1,rd2}Out[3]={0.327946,0.450938}In[4]:={rd1,rd2}Out[4]={o.327946,0.334043},在许多计算中，可能要对同一函数访问多次，在这种情况下，可以让Mathematica记住它发现的所有函数值的方法来节省时间。定义：f[x_]:=f[x]=rhs（定义一个能记住它发现的所有值的函数）如：定义函数f，该函数存取它发现的所有值。f[x_]:=f[x]=f[x-1]+f[x-2]f[0]=f[1]=1,2.4函数,1、系统函数,注：Mathematica中的函数与数学上的函数有些不同的地方，Mathematica中函数是一个具有独立功能的程序模块，可以直接被调用。同时每一函数也可以包括一个，或多个参数，也可以没有参数。参数的数据类型也比较复杂。,2、函数的定义⑴函数的立即定义立即定义函数的语法如下：f[x_]=expr。函数名为f，自变量为x，expr是表达式。在执行时会把expr中的x都换为f的自变量x(不是x_)。函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作用。函数执行结束后也就没有了，不会改变其它全局定义的同名变量的值。,对于定义的函数我们可以求函数值，也可绘制它的图形。对于定义的函数我们可以使用命令Clear[f]清除掉，而Remove[f]则从系统中删除该函数。,⑵多变量函数的定义格式为：f[x_,y_,z_,…]=expr自变量为x,y,z….,相应的expr中的自变量会被替换。例如：定义函f(x,y)=xy+ycosx,⑶延迟定义函数延迟定义函数从定义方法上与即时定义的区别为“=”与“：=”延迟定义的格式为f[x_]：=expr其它操作基本相同。那么延迟定义和即时定义的主要区别是什么？即时定义函数在输入函数后立即定义函数并存放在内存中并可直接调用。延时定义只是在调用函数时才真正定义函数。,⑷使用条件运算符定义和If命令定义函数如果要定义如：这样的分段函数应该如何定义，显然要根据x的不同值给出不同的表达式。一种办法是使用条件运算符，基本格式为f[x_]:=expr/;condition当condition条件满足时才把expr赋给f。,如：,If语句的格式为If[条件，值1，值2]如果条件成立取“值1”，否则取“值2”。如：,2.5表,将一些相互关联的元素放在一起，使它们成为一个整体。既可以对整体操作，也可以对整体中的一个元素单独进行操作。在Mathematica中这样的数据结构就称作表（List）。表主要有两个用法：表｛a,b,c｝可以表示一个向量；表{{a,b},{c,d}}可表示一个矩阵。,1、建表在表中元素较少时，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如｛1,2,3｝。In[1]:={1,2,3}Out[1]={1,2,3}下面是符号表达式的列表In[2]:=1+%x+x^%Out[2]={1+2x,1+2x+x^2,1+3x+x^3},下面是对列表中的表达式对x求导In[3]:=D[%,x]Out[3]={2,2+2x,3+2x}In[4]:=%/.x->1Out[4]={2,4,5}如果表中的元素较多时，可以用建表函数进行建表，如下图：,Table[f,{i,min,max,step}]以step为步长给出f的数值表，i由min变到max，Table[f,{min,max}]给出f的数值表，I由min变到max步长为1Table[f,max]给出max个f的表Table[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},….]生成一个多维表TableForm[list]以表格格式显示一个表Range[n]生成一个｛1,2,……..｝的列表Range[n1,n2,d]生成｛n1,n1+d,n1+d,….,n2｝的列表,举例：In[1]:=Table[x*i,{i,2,6}]Out[1]={2x,3x,4x,5x,6x}In[2]:=Table[x^2,{4}]Out[2]={x2,x2,x2,x2}In[3]:=Range[10]Out[3]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}In[4]:=Range[8,20,2]Out[4]={8,10,12,14,16,18,20}In[5]:=Table[2i+j,{i,1,3},{j,3,5}]Out[5]={{5,6,7},{7,8,9},{9,10,11}}567In[6]:=%//TableFormOut[6]//TableForm=78991011,2、表的元素的操作当t表示一个表时，t[[i]]表示t中的第i个子表。如果t={1,2,a,b}那么t[[3]]表示“a”。如：In[1]:=t=Table[i+2,j{i,1,3},{j,3,5}]Out[1]={{7,9,11},{8,10,12},{9,11,13}}In[2]:=t[[2]]Out[2]={8,10,12},2.6表达式,1、表达式的含义Mathematica能处理数学公式，表以及图形等多多种数据形式。尽管他们从形式上看起来不一样，但在Mathematica内部都被看成同种类型，即都把他们当作表达式的形式。Mathematica中的表达式是由常量、变量、函数、命令、运算符和括号等组成，最典型的形式是f[x,y]。,2、表达式的表示形式,3、关系表达式与逻辑表达式⑴关系表达式,举例：In[1]:=x=2;y=9Out[1]=9;In[2]:=x>yOut[2]=false;In[3]:=3^2>y+1Out[3]=false,⑵逻辑表达式,举例：In[4]:=3x^2
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