安徽省2019年中考数学总复习 第一部分 系统复习 成绩基石 第六章 圆 第22讲 圆的基本性质课件.ppt

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第六章圆,第22讲圆的基本性质,考点1圆的有关概念与圆的对称性,1．圆的有关概念(1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合；这个叫做圆心，这个叫做半径；圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小．(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弦；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．(3)弦：连接圆上两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦．(4)圆心角：顶点在的角叫做圆心角．(5)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．(6)等圆：半径的圆叫做等圆．(7)等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．(8)弦心距：圆心到弦的叫做弦心距．,定点,定长,圆心,相等,距离,2．圆的基本性质(1)同圆或等圆的半径．(2)圆的直径等于同圆或等圆半径的倍．(3)圆既是中心对称图形，圆心是对称中心，也是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴，还是旋转对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合．,3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．(2)推论：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②弦相等，③弦的弦心距相等，④弦对的弧相等，如果以上四条中有一条成立，那么另外三条也成立．,4．垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)垂径定理的推论：a．圆的两条平行弦所夹的弧相等．b．一条直线如果具有：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的弧．这四条中有两条成立，则这条直线也满足其余的两条．,相等,2,考点2圆周角定理及推论,1．圆周角定理(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．(2)圆周角定理和推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆．,2．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(相邻的内角的对角)．,点拨►“圆的有关性质”常作为辅助线：①有弦时，过圆心作弦的垂线段，过弦的一个端点作半径，这样由“弦的一半、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形．②有直径时，作出这条直径所对的圆周角，这个圆周角是直角；如果有圆周角是直角，作出它所对的弦，这条弦就是直径．,归纳►垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．,一半,互补,命题点圆周角定理及推论,命题趋势►圆的基本性质是安徽中考重点，命题角度：1.综合利用垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形性质、全等或相似三角形的判定和性质、勾股定理等来进行有关圆的半径和弦的计算.2.综合运用圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、平行四边形的性质及平行线的性质进行与圆有关的角度的计算．预测►2019年将会考查有关圆的基本性质应用的解答题．,1．[2016安徽，T10，4分]如图，,Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4.P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.则线段CP长的最小值为()A.B．2C.D.,B,2．[2018安徽，T20，10分]如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．,规范解答：,︵,︵,︵,(1)如图，AE为所作．(4分)(2)如图，连接OE交BC于点F，连接OC，EC.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴BE＝CE，∴OE⊥BC.∵EF＝3，∴OF＝5－3＝2.在Rt△OCF中，CF＝＝.在Rt△CEF中，CE＝＝.(10分),3．[2017安徽，T20，10分]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE.,(1)求证：四边形AECD为平行四边形；,(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.,解：(1)证明：根据圆周角定理知∠E＝∠B.又∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵AD∥CE，∴∠D＋∠DCE＝180.∴∠E＋∠DCE＝180.∴AE∥DC.∴四边形AECD为平行四边形．,(2)证明：如图，连接OE，OB.,由(1)，得四边形AECD为平行四边形，∴AD＝EC.∵AD＝BC，∴EC＝BC.∵OC＝OC，OE＝OB，∴△OCE≌△OCB(SSS)．∴∠ECO＝∠BCO，即CO平分∠BCE.,4．[2014安徽，T19，10分]如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．,解：∵OC为小圆的直径，∴∠OFC＝90，即OF⊥CD.∴CF＝DF.又∵OE⊥AB，∴∠OEF＝∠OFC＝90.∵∠FOE＝∠COF，∴△OEF∽△OFC.∴＝.∴OC＝＝＝9.在Rt△OFC中，CF＝＝＝，∴CD＝2CF＝.,类型1垂径定理,解题要领►一般思维模式是作弦心距、连半径等辅助线，构造直角三角形，利用垂径定理以及勾股定理求弦长、半径、弦心距或弓高(这四个数量中，已知两个数量求另两个数量)．,1．[2018安顺]已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为()A．2cmB．4cmC．2cm或4cmD．2cm或4cm,C,2.[2018衢州]如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是(),A．3cmB.cmC．2.5cmD.cm,3．[2018孝感]已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm.,D,2或14,类型2圆心角、弧、弦之间的关系,4．如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF.下列结论不正确的是()A．OE＝OFB.AC＝BDC．AC＝CD＝DBD．CD∥AB,解题要领►圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．,︵,︵,5．[2018双清模拟]如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是AF的三等分点(AG＞GF)，BG交AF于点H，若AB的度数为30，则∠GHF等于(),A．40B．45C．55D．80,︵,︵,︵,︵,C,A,类型3圆周角定理,6.[2018陕西]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为()A．15B．35C．25D．45,解题要领►①在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；②圆的直径与直径所对的圆周角为直角的转化；③如果题干中无对应图形时，避免遗漏符合条件的图形的其他情形．,A,︵,7．[2018威海]如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC＝30，则弦AB的长为()A.B．5C.D．,8．[2018白银]如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是()A．15B．30C．45D．60,D,B,类型4圆的确定,9.[2018烟台]如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．,解题要领►三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心；三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等；确定三角形的外心，只需作三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为三角形的外心．,(－1，－2),10．[2018内江]已知△ABC的三边a，b，c，满足a＋b2＋|c－6|＋28＝＋10b，则△ABC的外接圆半径＝．,类型5圆内接四边形的性质,11.[2018邵阳]如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120，则∠BOD的大小是()A．80B．120C．100D．90,解题要领►圆内接四边形经常与圆周角定理结合考查，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．,B,12．[2018济宁]如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130，则∠BOD的度数是()A．50B．60C．80D．100,13．[2019预测]如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF＝BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105，∠BAC＝25，则∠E的度数为．,︵,︵,︵,D,50,类型6圆的最值问题,14．[2018安徽四模]如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为()A．6B．9C．10D．12,15．[2018宜宾]在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为()A.B.C．34D．10,D,B,类型7与圆的基本性质相关的探究问题,16．[2019预测]如图，点B，C为⊙O上两动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE.(1)求证：AD∥EC；,解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.∵∠E＝∠BAC，∴∠E＝∠DAC.∵BE∥AC，∴∠E＝∠ACE，∴∠ACE＝∠DAC，∴AD∥EC.,(2)当四边形EBCA是矩形时，∠ACB＝90，即AC⊥BD.∴∠ACB＝∠ACD＝90.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠ABD＝∠D，∴AB＝AD.又∵AC⊥BD，∴BC＝CD＝6.故答案为：6.,(2)连接EA，若BC＝6，则当CD＝________时，四边形EBCA是矩形．,17．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM与CM.(1)若半圆的半径为10.①当∠AOM＝60时，求DM的长；②当AM＝12时，求DM的长．,解：(1)①当∠AOM＝60时，∵OM＝OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A＝∠MOA＝60，∴∠MOD＝30，∠D＝30，∴∠MOD＝∠D.∴DM＝OM＝10.,︵,②如图，过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，∴OF＝10－x.,∵AM＝12，OA＝OM＝10，由勾股定理，知122－x2＝102－(10－x)2，∴x＝，∴AF＝.∵MF⊥OA，DO⊥OA，∴MF∥OD，∴，即，∴AD＝，∴MD＝AD－AM＝.,(2)是定值．当点M位于AC之间时，连接BC，如图．∵C是AB的中点，∴∠B＝45.∵四边形AMCB是圆内接四边形，∴∠CMD＝∠B＝45.当点M位于BC之间时，连接BC，如备用图，由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45.综上所述，在点M运动的过程中，∠CMD的度数是定值，∠CMD＝45.,(2)探究：在点M运动的过程中，∠CMD的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．,︵,︵,︵,