广东省2019年中考数学复习 第一部分 知识梳理 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与等边三角形课件.ppt

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第17讲等腰三角形与等边三角形,知识梳理,,1.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的________________.(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“________________”).(3)等腰三角形的两底角相等(简称“______________”).,直线,三线合一,等边对等角,(4)等腰三角形的其他性质：①等腰三角形的底角只能为________________角，不能为________________，但顶角可为直角(或钝角).②等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠B=∠C=,锐,直角(或钝角),2.等腰三角形的判定：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.3.等边三角形的性质：(1)等边三角形的三个内角________________，且都等于________________.(2)等边三角形底边上的高、中线及________________重合(简称“三线合一”).,相等,60,顶角平分线,4.等边三角形的判定：(1)三个角都是60的三角形是等边三角形.(2)有一个角是________________的等腰三角形是等边三角形.(3)三条边相等的三角形是等边三角形.,60,易错题汇总,,1.等腰三角形的一个角是50，则它的底角是()A.50B.50或65C.80D.65,B,2.如图1-17-1，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40，则∠β等于_____________．,20,3.如图1-17-2，∠MON=30，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4,…均为等边三角形．若OA1=1，则△A6B6A7的边长为_____________．（写出最后结果）,32,考点突破,,考点一:等腰三角形的性质和判定,1.（2018年广东改编）如图1-17-3，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．求证：△DEF是等腰三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质，得BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，,∴△ADE≌△CED（SSS）．∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF.∴EF=DF.∴△DEF是等腰三角形．,2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF，如图1-17-4，点B,D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G,∠C=∠EFB=90，∠E=∠ABC=30，AB=DE=4.求证：△EGB是等腰三角形.证明：∵∠C=∠EFB=90，∠E=∠ABC=30，∴∠EBF=60.∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60-30=30=∠E．∴GE=GB.∴△EGB是等腰三角形.,考点二:等边三角形的性质和判定,3.（2018广东改编）如图1-17-5，P1（x1，y1），…,P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数y=(x>0)的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…,△PnAn-1An都是等边三角形，边OA1，A1A2，A2A3，…,An-1An都在x轴上,则点P1的坐标为___________.,,4.（2017恩施）如图1-17-6，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P．求证：∠AOB=60．,证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60.∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴∠CAE=∠CBD.∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60，即∠AOB=60．,变式诊断,,5.（2017内江）如图1-17-7，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.∴∠BAD=∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠BAD+∠B=90，∠EDA+∠BDE=90.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.,6.如图1-17-8，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2.∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C.∴∠B=∠C.∴AB=AC．,7.（2018广东）如图1-17-9,已知Rt△OAB，∠OAB=90，∠ABO=30，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60至△ODC的位置，连接BC．（1）填空：∠OBC=__________；（2）连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度.,60,解：（2）∵OB=4，∠ABO=30，,∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90.,基础训练,,8.如图1-17-10，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=CB，∠1=70，则∠BAC等于()A.40B．55C．70D．110,C,9.（2018遵义）如图1-17-11，△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16，则∠B为__________度．,37,10.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__________cm．,22,11.（2018桂林）如图1-17-12，在△ABC中，∠A=36，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形有__________个．,3,12.（2018娄底）如图1-17-13，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，求出BF的长度．,综合提升,,13.数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1-17-14，当点E在线段AC上时，EF，BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；（2）若AE=2CE，求出△CBF的面积.解：（1）△ABE≌△CBF．证明：∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60.∴∠ABE=∠CBF.∴△ABE≌△CBF．,（2）∵△ABE△CBF，∴S△ABE=S△CBF.∵AE=2CE,,14.如图1-17-15，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB,BC,AC边上，且BE=CF，BD=CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A=40时，求∠DEF的度数；(3)点E是否存在一个合适的位置，使△DEF是等腰直角三角形？若存在，求出此时E点的位置；若不存在，请说明理由.,(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△BDE与△CEF中,,∴△BDE≌△CEF(SAS)．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)解：由(1)知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF.∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠DEF=∠B.∵AB=AC，∠A=40,(3)解：△DEF不可能是等腰直角三角形.理由：假设△DEF是等腰直角三角形，由(1)知，DE=EF,∴∠DEF=90.∴∠BED+∠CEF=90.由(1)知，DE=EF,∴∠BDE=∠CEF.∴∠BED+∠BDE=90.∴∠B=90.而AB=AC，∴∠B=∠C≠90.∴△DEF不可能是等腰直角三角形.,