中考数学总复习 第七章 图形的变化 第27节 图形的旋转与中心对称试题

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第27节　图形的旋转与中心对称 一、选择题 1．(2016淮安)下列图形是中心对称图形的是( C ) 2．(2016株洲)如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90，∠B＝50，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是( B ) A．50 B．60 C．70 D．80 ,第2题图)　　,第3题图) 3．(2017自贡预测)在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是( B ) A．① B．② C．③ D．④ 4．(2016临沂)如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论： ①AC＝AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形． 其中正确的个数是( D ) A．0 B．1 C．2 D．3 ,第4题图)　　,第5题图) 5．(导学号　14952417)(2015抚顺)如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E.若AB＝3，则△AEC的面积为( D ) A．3 B．1.5 C．2 D. 二、填空题 6．(2015西宁)若点(a，1)与(－2，b)关于原点对称，则ab＝____． 7．(2016温州)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27，∠B＝40，则∠ACB′＝__46__度． ,第7题图)　　,第8题图) 8．(2015沈阳)如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K.若正方形ABCD的边长为，则AK＝__2－3__． 9．(导学号　14952418)(2016广州)如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论： ①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5；④BC＋FG＝1.5.其中正确的结论是__①②③__. ,第9题图)　　,第10题图) 10．(导学号　14952419)(2017眉山预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__＋1__. 点拨：设AC与BM交于点O，连接AM，可证△ACM为等边三角形，∴AM＝CM＝2，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60，∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝1，OM＝CMsin60＝，∴BM＝BO＋OM＝1＋ 三、解答题 11．(2015江西)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标． 解：(1)∵正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，∴A，A1是对应点，∴AA1的中点是对称中心，∵A(0，4)，D(0，2)，∴AD＝2，∴A1D1＝AD＝2，又∵D1(0，3)，∴A1(0，1)，∴对称中心的坐标为(0，2.5) (2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3) 12.(2015黄石)在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′. (1)如图1，若∠AOB＝90，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′＝BD′；②AC′⊥BD′； (2)如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立？请说明理由． 解：(1)①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，又OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，∴OC＝OD，∴OC′＝OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′＝BD′　②延长AC′交BD′于E，交OB于F，由①中△AOC′≌△BOD′得∠OAC′＝∠OBD′，又∠AFO＝∠BFE，∴∠BEA＝∠AOB＝90，∴AC′⊥BD′　(2)∠AEB＝θ成立，理由：设AC′与OB交于点F，△OCD旋转到△OC′D′，∴OC＝OC′，OD＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′，又∵CD∥AB，∴＝，∴＝，∴＝，又∠AOC′＝∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′＝∠OBD′，又∵∠OFA＝∠EFB，∴∠AEB＝∠AOB＝θ 13．(2017南充预测)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，2，，△ADP绕点A旋转到△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q. (1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； (3)求CQ的长． 解：(1)由旋转得，AP′＝AP，∠BAP′＝∠DAP，∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90，∴△APP′是等腰直角三角形　(2)在Rt△APP′中，∵AP＝1，∴PP′2＝12＋12＝2，又BP′＝DP＝，BP＝2，∴PP′2＋BP2＝BP′2，∴△BPP′是直角三角形，∴∠P′PB＝90，又∠APP′＝45，∴∠BPQ＝180－∠P′PB－∠APP′＝45　(3)过点B作BM⊥AQ于M.∵∠BPQ＝45，∴△PMB为等腰直角三角形，由BP＝2，可求BM＝PM＝2，∴AM＝AP＋PM＝1＋2＝3，在Rt△ABM中，AB＝＝＝，易证△ABM∽△AQB，∴＝，∴AQ＝＝，在Rt△ABQ中，BQ＝＝＝，∴QC＝BC－BQ＝－＝ 14．(导学号　14952420)(2017遂宁预测)数学活动——求重叠部分的面积． 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合． (1)若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分(△DCG)的面积； (2)合作交流：“希望”小组受问题(1)的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分(△DGH)的面积． 解：(1)∵∠ACB＝90，D是AB的中点，∴DC＝DB＝DA，∴∠B＝∠DCB，又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE＝∠B，∴∠FDE＝∠DCB，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB＝90，∴DG⊥AC，又∵DC＝DA，∴G是AC的中点，∴CG＝AC＝8＝4，DG＝BC＝6＝3，∴S△DCG＝CGDG＝43＝6 (2)∵△ABC≌△FDE，∴∠B＝∠1，∵∠C＝90，ED⊥AB，∴∠A＋∠B＝90，∠A＋∠2＝90，∴∠B＝∠2，∴∠1＝∠2，∴GH＝GD，∵∠A＋∠2＝90，∠1＋∠3＝90，∴∠A＝∠3，∴AG＝GD，∴AG＝GH，∴点G为AH的中点，在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，∵D是AB中点，∴AD＝AB＝5，在△ADH与△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ADH＝∠ACB＝90，∴△ADH∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴S△DGH＝S△ADH＝DHAD＝5＝