中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练（五）圆的有关计算、证明与探究试题

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中档题型训练(五)　圆的有关计算、证明与探究 圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系． 　圆的切线性质与判定 【例1】(2016天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由； (2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长． 【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【学生解答】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90，∴∠DAB＋∠DBA＝90.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切； (2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6. 1．(2016毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长． 解：(1)如图，连接AE，AO.∵BE为半圆，∴∠BAE＝90.∵＝，∴∠BAD＝∠EAD＝45，∴∠AFC＝∠B＋45，∴∠CAF＝∠EAC＋45.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45＝∠EAC＋45，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90，∴AC⊥OA，∴AC为⊙O为切线； (2)如图，连接OD.∵＝，∴∠BOD＝∠DOE＝90.在Rt△OFD中 ，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝＝. 2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60，求AD的长． 解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF是线段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90，即∠OCE＋∠FCE＝90，∴∠OEC＋∠FEC＝90，即∠FEO＝90，∴EF为⊙O的切线； (2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60，OA＝OE，∴∠EOA＝60，∴∠COD＝∠EOA＝60.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60，OC＝3，∴CD＝3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90，CD＝3，AC＝6，∴AD＝3. 　圆与相似 【例2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD. (1)弦长AB＝________；(结果保留根号) (2)当∠D＝20时，求∠BOD的度数； (3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程． 【思路分析】(1)结合垂径定理过点O作BC的垂线，再由特殊直角三角形得AB＝OB＝，则AB＝2；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90，此时，∠BOC＝60，∠BOD＝120，∴∠DAC＝60，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝. 【学生解答】解：(1)2；(2)连接OA.∵OA＝OB＝OD，∴∠BAO＝∠B＝30，∠D＝∠DAO＝20，∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50，∴∠BOD＝2∠DAB＝100；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90，此时∠BOC＝60，∠BOD＝120，∴∠DAC＝60，∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO＝90，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝. 3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)＝. 证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90，∴∠NAC＋∠ACN＝90，∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP＝90，∴∠ACN＋∠PCB＝90，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN；(2)连接MN，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵四边形AMNC为⊙O的内接四边形，∴∠ACB＋∠AMN＝180，又∵∠CBP＋∠ABC＝180，∴∠PBC＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴＝. 4．(2016广东中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F. (1)求证：△ACF∽△DAE; (2)若S△AOC＝，求DE的长； (3)连接EF，求证：EF是⊙O的切线． 解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90，又∠ABC＝30，∴∠ACB＝60，又OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90，∴∠CAF＝∠AFC＝30，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90，∴∠D＝∠DEA＝30，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝OA2＝，∴OA＝1，∴BC＝2，OB＝1，又∠D＝∠BEO＝30，∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3；(3)如图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120，∴∠OEM＝∠OFM＝30，∴∠OEB＝∠OEM＝30，即OE平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线． 　圆与锐角三角函数 【例3】(2016菏泽中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若＝，求cos∠ABC的值． 【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由＝，可设CE＝2k(k>0)，则DE＝3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE＝＝2k，则tanE＝＝，所以在Rt△OCE中，tanE＝＝，求得OC＝.在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD＝＝k，从而求出cos∠ABC的值． 【学生解答】解：(1)如图，连接OC. ∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB. ∴∠DAB＝90. ∵OD∥BC, ∴∠DOC＝∠BCO，∠DOA＝∠CBA.∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBA，∴∠DOC＝∠DOA.在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD(SAS)，∴∠OCD＝∠DAB＝90.即OC⊥DE于点C.∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线； (2)由＝，可设CE＝2k(k>0)，则DE＝3k，∴AD＝DC＝k，∴在Rt△DAE中，AE＝＝2k，∴tanE＝＝.∵在Rt△OCE中，tanE＝＝，∴＝，∴OC＝OA＝k，∴在Rt△AOD中，OD＝＝k，∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝＝. 5．(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：DF是⊙O的切线； (3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 解：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90，∴∠EDC＝90；(2)连接DO，∵∠EDC＝90，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90，∴∠ ODF＝90，∴DF是⊙O的切线；(3)在△ACD与△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC，∴＝，∴AC2＝ADAE.又∵AC＝2DE，∴20DE2＝(AE－DE)AE，∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0，∴AE＝5DE，AD＝4DE，在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE.又在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2. 6．(2016自贡模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长⊙O于点E，连接AD，DE，若CF＝2，AF＝3. (1)求证：△ADF∽△AED； (2)求FG的长； (3)求证：tanE＝. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠ADF＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF∽△AED； (2)∵＝，CF＝2，∴FD＝6，∴CD＝DF＋CF＝8，∴CG＝DG＝4，∴FG＝CG－CF＝2； (3)∵AF＝3，FG＝2，∴AG＝＝，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG＝＝.∵∠ADG＝∠E，∴tanE＝.