九年级数学上学期期中试卷（含解析） 苏科版3

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江苏省苏州市常熟市2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程为一元二次方程的是（　　） A．3x﹣2=0 B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣4x﹣1=0 D．xy+1=0 2．样本方差的计算式S2= [（x1﹣30）2+（x2﹣30）]2+…+（xn﹣30）2]中，数字20和30分别表示样本中的（　　） A．众数、中位数 B．方差、标准差 C．样本中数据的个数、平均数 D．样本中数据的个数、中位数 3．当用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x时，下列方程变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7 4．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　） A． B．﹣ C．4 D．﹣1 5．已知⊙O的直径为10cm，点P不在⊙O外，则OP的长（　　） A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm 6．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．面积相等的两个圆是等圆 C．三角形的内心到各顶点的距离相等 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 7．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40，则∠ABC的度数为（　　） A．20 B．25 C．40 D．50 8．如图，在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　） A．2周 B．3周 C．4周 D．5周 　 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）： 11．样本﹣3、0、5、6、9的极差是　　． 12．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，则m=　　． 13．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是　　． 14．已知圆锥的母线长是4cm，侧面展开图的面积是18π cm2，则此圆锥的底面半径是　　． 15．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是　　． 16．某楼盘2014年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2016年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程　　． 17．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是　　小时． 18．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　． 19．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：当m=2时，d的取值范围是　　． 20．如图，在半径为2的⊙O中，AB=2，CD=2，AB与CD交于点E，延长AC、DB交于点F，则∠F=　　． 　 三、解答题（本大题共8小题，共70分） 21．（6分）先化简，再求值：（1﹣），其中x满足x2+3x﹣4=0． 22．（10分）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣3=0； （2）3（x﹣2）2=x2﹣4． 23．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=x1x2﹣x1﹣x2，S的值能为1吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由． 24．（8分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点． （1）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=28，求∠P的大小； （2）如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10，求∠P的大小． 25．（8分）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm） （2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积． 26．（9分）如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径的长． （2）如图2，将△ONM沿ON翻转180至△ONG，求证△OMG是等边三角形． （3）求直线ON的解析式． 27．（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 28．（12分）平面直角坐标系中，A（0，4），点P从原点O开始向x轴正方向运动，设P点横坐标为m，以点P为圆心，PO为半径作⊙P交x 轴另一点为C，过点A作⊙P的切线交 x轴于点B，切点为Q． （1）如图1，当B点坐标为（3，0）时，求m； （2）如图2，当△PQB为等腰三角形时，求m； （3）如图3，连接AP，作PE⊥AP交AB于点E，连接CE，求证：CE是⊙P的切线； （4）若在x轴上存在点M（8，0），在点P整个运动过程中，求MQ的最小值（直接写出答案）． 　  2016-2017学年江苏省苏州市常熟市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程为一元二次方程的是（　　） A．3x﹣2=0 B．x2﹣2x﹣3 C．x2﹣4x﹣1=0 D．xy+1=0 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答． 【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误； B、x2﹣2x﹣3不是方程，故本选项错误； C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、该方程中含有2个未知数，属于二元二次方程，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 　 2．样本方差的计算式S2= [（x1﹣30）2+（x2﹣30）]2+…+（xn﹣30）2]中，数字20和30分别表示样本中的（　　） A．众数、中位数 B．方差、标准差 C．样本中数据的个数、平均数 D．样本中数据的个数、中位数 【考点】方差． 【分析】根据方差的计算公式中各数据所表示的意义回答即可． 【解答】解：由方差的计算公式可知：20表示的是样本数据的数量，而30表示的是样本数据的平均数． 故选C． 【点评】考查了方差，在方差公式：S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中，n表示的是样本的数量，表示的是样本的平均数． 　 3．当用配方法解一元二次方程x2﹣3=4x时，下列方程变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=7 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】原方程变形为x2﹣4x=3，再在两边都加上那个22，即可得． 【解答】解：x2﹣4x=3， x2﹣4x+4=3+4，即（x﹣2）2=7， 故选：D． 【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半的平方． 　 4．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　） A． B．﹣ C．4 D．﹣1 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴ba=（﹣）2=． 故选：A． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 　 5．已知⊙O的直径为10cm，点P不在⊙O外，则OP的长（　　） A．小于5cm B．不大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】先求出圆的半径，再根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的直径为10cm， ∴⊙O的半径为5cm． ∵点P不在⊙O外， ∴点P在圆上或圆内， ∴OP≤5cm． 故选B． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 　 6．下列命题中，真命题是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．面积相等的两个圆是等圆 C．三角形的内心到各顶点的距离相等 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 【考点】命题与定理． 【分析】利用圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质及正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，是假命题； B、面积相等的两个圆的半径相等，是等圆，故正确，是真命题； C、三角形的内心到三角形各边的距离相等，故错误，是假命题； D、各角相等的圆内接多边形可能是矩形，故错误，是假命题， 故选B． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理，等圆的定义、三角形的内心的性质及正多边形的定义，属于基础定义，难度不大． 　 7．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40，则∠ABC的度数为（　　） A．20 B．25 C．40 D．50 【考点】切线的性质． 【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数． 【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90． 又∵∠P=40， ∴∠POA=50， ∴∠ABC=∠POA=25． 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径． 　 8．如图，在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 【考点】扇形面积的计算；正方形的性质． 【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解． 【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90，正方形CDEF的顶点C是的中点， ∴∠COD=45， ∴OC==4， ∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积 =π42﹣（2）2 =2π﹣4． 故选：A． 【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 　 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【解答】解：过点O作OD⊥BC于D， 则BC=2BD， ∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180， ∴∠BOC=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=（180﹣∠BOC）=30， ∵⊙O的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4=2， ∴BC=4． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 　 10．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　） A．2周 B．3周 C．4周 D．5周 【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质． 【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数． 【解答】解：圆在三边运动自转周数： =3， 圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360，即一周； 可见，⊙O自转了3+1=4周． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答． 　 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）： 11．样本﹣3、0、5、6、9的极差是　12　． 【考点】极差． 【分析】根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值9，最小值﹣3，再代入公式求值． 【解答】解：由题意可知，数据中最大的值为9，最小值为﹣3，所以极差为9﹣（﹣3）=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值． 　 12．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是一元二次方程，则m=　﹣1　． 【考点】一元二次方程的定义． 【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m=0是关于x的一元二次方程， ∴，解得m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 　 13．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是　30或150　． 【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理． 【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数． 【解答】解：连接OA、OB， ∵AB=OB=OA， ∴∠AOB=60， ∴∠C=30， ∴∠D=180﹣30=150． 故答案为：30或150． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键． 　 14．已知圆锥的母线长是4cm，侧面展开图的面积是18π cm2，则此圆锥的底面半径是　　． 【考点】圆锥的计算． 【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长2． 【解答】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，圆锥的侧面展开图的面积=2πR4=18π， ∴R=， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 　 15．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是　2或　． 【考点】三角形的外接圆与外心． 【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①4为斜边长；②3和4为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【解答】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为4，这个三角形的外接圆半径为2； ②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==5， 因此这个三角形的外接圆半径为． 故答案为：2或． 【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 　 16．某楼盘2014年房价为每平方米8100元，经过两年连续涨价后，2016年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程　8100（1+x）2=12100　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】首先根据题意可得2016年的房价=2015年的房价（1+增长率），2015年的房价=2014年的房价（1+增长率），由此可得方程． 【解答】解：设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意得： 8100（1+x）2=12100， 故答案为：8100（1+x）2=12100． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b． 　 17．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是　6.4　小时． 【考点】加权平均数． 【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算． 【解答】解： =6.4． 故答案为：6.4． 【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键． 　 18．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　2016　． 【考点】根与系数的关系． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根， ∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义． 　 19．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：当m=2时，d的取值范围是　1＜d＜3　． 【考点】点到直线的距离． 【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案． 【解答】解：当d=3时，m=1； 当d=1时，m=3； ∴当1＜d＜3时，m=2， 故答案为：1＜d＜3． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系． 　 20．如图，在半径为2的⊙O中，AB=2，CD=2，AB与CD交于点E，延长AC、DB交于点F，则∠F=　75　． 【考点】圆周角定理． 【分析】作辅助线，根据直径所对的圆周角是90，得到直角△ABH和直角△CDG，利用勾股定理计算DG和BH的长，得到∠CGD=45，∠HAB=30，再利用四点共圆的性质得∠DCF=∠DGA，再根据同弧所对的圆周角相等和三角形的内角和求出∠F的度数． 【解答】解：作直径CG、AH，交⊙O于G、H，连接AG、DG、BH， ∴∠CDG=∠ABH=90， ∵AB=2，CD=2，CG=AH=4， 由勾股定理得：DG===2， BH===2， ∴DG=CD，BH=AH， ∴∠CGD=45，∠HAB=30， ∴∠AHB=60， ∵A、C、D、G四点共圆， ∴∠DCF=∠DGA=∠AGC+∠CGD=∠AGC+45， ∵∠AHB=∠AGC+∠CDF，∠CDF=∠FAB， ∴∠AHB=∠AGC+∠FAB=60， 在△DCF中，∠F=180﹣∠DCF﹣∠CDF， =180﹣∠AGC﹣45﹣∠FAB， =180﹣45﹣60， =75， 故答案为：75． 【点评】本题考查了圆周角定理和四点共圆的性质，熟知在同圆或等圆中：①直径所对的圆周角是90，②同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的对角互补；本题还运用勾股定理求边长，利用边的特殊关系得到等腰直角三角形和30的直角三角形，从而得出结论． 　 三、解答题（本大题共8小题，共70分） 21．先化简，再求值：（1﹣），其中x满足x2+3x﹣4=0． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=， 解x2+3x﹣4=0得x1=﹣4，x2=1． 因为x≠1， 所以当x=﹣4时，原式=． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． 　 22．（10分）（2016秋•常熟市期中）解下列方程： （1）x2﹣6x﹣3=0； （2）3（x﹣2）2=x2﹣4． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）先变形得3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9=12， （x﹣3）2=12， x﹣3=2， 所以x1=3+2，x2=3﹣2； （2）3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）=0， 所以x1=2，x2=4． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 　 23．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0 （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根． （2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=x1x2﹣x1﹣x2，S的值能为1吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）分二次项系数为0和非0两种情况考虑，当k﹣1=0时，原方程为一元一次方程，解方程可得出此时方程有实数根；当k﹣1≠0时，根据根的判别式△=b2﹣4ac，可得出△=4（k﹣1）2+4＞0，进而可得出方程有两个不相等的实数根，综上即可得出结论． （2）假设能，根据根与系数的关系可得出、，将S进行变形代入数据即可得出分式方程，解分式方程得出k值，经检验后即可得出结论． 【解答】（1）证明：①当k﹣1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=2， x=1有一个解； ②当k﹣1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， ∵△=（2k）2﹣42（k﹣1）=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 综合①②得：不论k为何值，方程总有实根． （2）解：假设能，∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根， ∴，， ∴S=x1x2﹣x1﹣x2=x1x2﹣（x1+x2）=1，即， 整理得：2+2k=k﹣1，解得：k=﹣3． 经检验：k=﹣3是分式方程的解． ∴S的值能为1，此时k的值为﹣3． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解分式方程，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键． 　 24．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点． （1）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=28，求∠P的大小； （2）如图②，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10，求∠P的大小． 【考点】切线的性质． 【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案； （2）由AE=CE，OD为半径，可得OD⊥AC，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA=28， ∴∠POC=56， ∵CP是⊙O的切线， ∴∠OCP=90， ∴∠P=34； （2）∵AE=CE，OD为半径， ∴OD⊥AC， ∵∠CAB=10， ∴∠AOE=80， ∴∠DCA=40， ∵∠P=∠DCA﹣∠CAB， ∴∠P=30． 【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 　 25．如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm） （2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高； （2）根据图示，可得2（x2+20x）=3040﹣950，求出x的值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案． 【解答】解：（1）长方体盒子的长是：（30﹣2x）cm； 长方体盒子的宽是（40﹣2x）2=20﹣x（cm） 长方体盒子的高是xcm； （2）根据图示，可得2（x2+20x）=3040﹣950， 解得x1=5，x2=﹣25（不合题意，舍去）， 长方体盒子的体积V=（30﹣25）5（20﹣5）=20515=1500（cm3）． 答：此时长方体盒子的体积为1500cm3． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去． 　 26．如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限． （1）求⊙M的直径的长． （2）如图2，将△ONM沿ON翻转180至△ONG，求证△OMG是等边三角形． （3）求直线ON的解析式． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的长，进而得出OM的长； （2）利用翻折变换的性质得出MN=GN=3，OG=OM=6，进而得出答案； （3）首先求出CM的长，进而得出CN的长，即可得出OC的长，求出N点坐标，即可得出ON的解析式． 【解答】解：（1）解方程x2﹣12x+27=0， （x﹣9）（x﹣3）=0， 解得：x1=9，x2=3， ∵A在B的左侧， ∴OA=3，OB=9， ∴AB=OB﹣OA=6， ∴OM的直径为6； （2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6， ∴OM=OG=MN=6， ∴△OMG是等边三角形． （3）如图2，过N作NC⊥OM，垂足为C， 连结MN，则MN⊥ON， ∵△OMG是等边三角形． ∴∠CMN=60，∠CNM=30， ∴CM=MN=3=， 在Rt△CMN中， CN===， ∴， ∴N的坐标为， 设直线ON的解析式为y=kx， ∴， ∴， ∴直线ON的解析式为． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及勾股定理和等边三角形的性质等知识，根据已知得出N点坐标是解题关键． 　 27．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90，再根据圆的切线的定义证明即可； （3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解：如图，连接OC， ∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合， ∴OM=OA=2=1，CD⊥OA， ∵OC=2， ∴CD=2CM=2=2=2； （2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90， ∴PC===2， ∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90， ∴PC是⊙O的切线； （3）解：GE•GF是定值，证明如下： 如图，连接GA、AF、GB， ∵点G为的中点， ∴=， ∴∠BAG=∠AFG， 又∵∠AGE=∠FGA， ∴△AGE∽△FGA， ∴=， ∴GE•GF=AG2， ∵AB为直径，AB=4， ∴∠BAG=∠ABG=45， ∴AG=2， ∴GE•GF=8． 【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形． 　 28．（12分）（2016秋•常熟市期中）平面直角坐标系中，A（0，4），点P从原点O开始向x轴正方向运动，设P点横坐标为m，以点P为圆心，PO为半径作⊙P交x 轴另一点为C，过点A作⊙P的切线交 x轴于点B，切点为Q． （1）如图1，当B点坐标为（3，0）时，求m； （2）如图2，当△PQB为等腰三角形时，求m； （3）如图3，连接AP，作PE⊥AP交AB于点E，连接CE，求证：CE是⊙P的切线； （4）若在x轴上存在点M（8，0），在点P整个运动过程中，求MQ的最小值（直接写出答案）． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）如图1中，由△PQB∽△AOB， =，由此即可解决问题． （2）如图2中，设OP=PQ=BQ=x，则PB=x，列出方程即可解决问题． （3）如图3中，连接PQ．只要证明△EPC≌△EPQ，推出∠ECP=∠PQE，由此即可证明． （4）以A为圆心OA为半径画圆交AM于点Q，此时MQ最小（两点之间线段最短），设QM=x，在Rt△AOM中，根据OA2+OM2=AM2，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，连接PQ． ∵OP⊥OA， ∴AO是⊙P切线，∵AQ是⊙P切线， ∴AO=AQ=4， ∵OA=4，0B=3， ∴AB==5， ∴BQ=AB﹣AQ=1， ∵∠PBQ=∠OBA，∠PQB=∠AOB=90， ∴△PQB∽△AOB， ∴=， ∴=， ∴PB=， ∴m=OP=OB﹣PB=3﹣=． （2）如图2中，连接PQ． ∵△PQB是等腰直角三角形， ∴OP=PQ=BQ，设OP=PQ=BQ=x，则PB=x， 则有x+x=4， ∴x=4﹣4． ∴m=4﹣4． （3）如图3中，连接PQ． ∵∠APE=90，AQ是切线， ∴∠AQQP=90， ∴∠EPQ+∠APQ=90，∠PAQ+∠APQ=90， ∴∠EPQ=∠PAQ， ∵∠EPC+∠APO=90，∠APO+∠PAO=90， ∴∠EPC=∠PAO， ∵AO、AQ是切线， ∴∠PAO=∠PAQ， ∴∠EPC=∠EPQ， 在△EPC和△EPQ中， ， ∴△EPC≌△EPQ， ∴∠ECP=∠PQE=90， ∴EC是⊙P的切线． （4）如图4中， 以A为圆心OA为半径画圆交AM于点Q，此时MQ最小（两点之间线段最短），设QM=x， 在Rt△AOM中，∵OA2+OM2=AM2， ∴42+82=（4+x）2， 解得x=4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）， ∴MQ的最小值为4﹣4． 【点评】本题考查圆的综合题、切线长定理、全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题最小值问题，属于中考压轴题．