八年级数学上学期期中试卷（含解析） 苏科版3

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2015-2016学年江苏省苏州市太仓市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．下面四个QQ表情图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．4的平方根是（　　） A．2 B．16 C．﹣2 D．2 3．在实数3.14，，0，﹣，，中，是无理数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 5．已知等腰三角形的一边为2，一边为5，那么它的周长等于（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．7或10 6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 7．下列各数中，与﹣2互为相反数的是（　　） A． B． C．﹣ D． 8．如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣1、1、2、3，则表示2﹣的点P应在（　　） A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上 9．在等腰△ABC中，∠A=4∠B，则∠C的度数为（　　） A．30 B．60 C．30或80 D．60或80 10．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（　　） A．5 B．5或8 C． D．4或 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．等边三角形的边长为2，则它的周长为　　． 12．使式子有意义的x的取值范围是　　． 13．如图，若△ABE≌△ACF，AB=4，AE=2，则EC的长为　　． 14．若=2，则x的值为　　． 15．如图，在面积为4的等边△ABC的BC边上有一点D，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接BE．则四边形AEBD的面积是　　． 16．若正数m的两个平方根a、b （a≠b）是方程3x+2y=2的一个解，则m的值为　　． 17．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C=30，EF垂直平分AC于点E，交BC于点F．若FC=3，则BF=　　． 18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB=12，BC=8，则DE的长为　　． 　 三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 19．计算：﹣|2﹣|﹣． 20．解下列方程： （1）x2=9 （2）（x﹣1）3+8=0． 21．若a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2，求ba的值． 22．过直线l外一点P用直尺和圆规作直线l的垂线的方法是：以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，交直线l于点A、B；分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C．连结PC，则PC⊥AB． 请根据上述作图方法，用数学表达式补充完整下面的已知条件，并给出证明． 已知：如图，点P、C在直线l的两侧，点A、B在直线l上，且　　，　　． 求证：PC⊥AB． 23．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … （1）表格中的三个值分别为：x=　　；y=　　；z=　　； （2）用公式表示这一规律：当a=4100n（n为整数）时， =　　； （3）利用这一规律，解决下面的问题： 已知≈2.358，则①≈　　；②≈　　． 24．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30，连接AD． （1）若∠BAD=45，求证：△ACD为等腰三角形； （2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数． 25．如图，已知点A、C、E在同一直线上．从下面四个关系式中，取三个式子作为条件，第四个式子作为结论，构成一个真命题，并证明其正确： ①AC=CE，②AB=CD，③AB∥CD，④BC∥DE． 已知：　　，求证：　　．（只要填序号） 26．操作与实践：已知长方形纸片ABCD中，AD=3，AB=4． 操作一：如图①，任意画一条线段EF，将纸片沿EF折叠，使点B落到点B′的位置，EB′与CD交于点G．试说明重叠部分△EFG为等腰三角形； 操作二：如图②，将纸片沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点H．求△B′HC的周长． 27．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE． （1）当∠BAD=60时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 28．探索与运用： （1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD； （2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE； （3）若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角（如图③，∠ABC）、一个外角（∠ACF）和两个都是外角（如图④∠DBC、∠BCE）的角平分线，其它条件不变，则线段DE、BD、CE的数量关系分别是：图③为　　、图④为　　：并从中任选一个结论证明． 　  2015-2016学年江苏省苏州市太仓市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上） 1．下面四个QQ表情图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 　 2．4的平方根是（　　） A．2 B．16 C．﹣2 D．2 【考点】平方根． 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【解答】解：∵（2）2=4， ∴4的平方根是2． 故选A． 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 　 3．在实数3.14，，0，﹣，，中，是无理数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：无理数有：﹣，共有2个． 故选B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 　 4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（　　） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【考点】全等三角形的应用． 【专题】应用题． 【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案． 【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 　 5．已知等腰三角形的一边为2，一边为5，那么它的周长等于（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．7或10 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】根据等腰三角形的定义，可得第三边的长，根据三角形的周长，可得答案． 【解答】解：当2为底时，其它两边都为5，5、5、2可以构成三角形，周长为12； 当2为腰时，其它两边为2和5，因为2+2=4＜5，所以不能构成三角形，故舍去． 所以答案只有12． 故选B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 　 6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【考点】全等三角形的判定． 【专题】作图题． 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑SSS证明三角形全等，从而证明角相等． 【解答】解﹕做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS 证明如下 ∵OM=ON PM=PN OP=OP ∴△ONP≌△OMP（SSS） 所以∠NOP=∠MOP 故OP为∠AOB的平分线． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形在实际生活中的应用．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而轻松确定角平分线． 　 7．下列各数中，与﹣2互为相反数的是（　　） A． B． C．﹣ D． 【考点】实数的性质． 【分析】根据相反数和实数的性质，即可解答． 【解答】解：A、，2与﹣2互为相反数，故正确； B、=﹣2，故错误； C、﹣与2不是相反数，故错误； D、与2不是相反数，故错误； 故选：A． 【点评】本题考查了相反数和实数的性质，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 　 8．如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示数﹣1、1、2、3，则表示2﹣的点P应在（　　） A．线段AO上 B．线段OB上 C．线段BC上 D．线段CD上 【考点】实数与数轴． 【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的取值范围，根据不等式的性质，可得答案． 【解答】解：2＜＜2.5． 由不等式的性质，得 ﹣2.5＜﹣＜﹣2， ﹣0.5＜2﹣＜0． 故选：A． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出的取值范围是解题关键． 　 9．在等腰△ABC中，∠A=4∠B，则∠C的度数为（　　） A．30 B．60 C．30或80 D．60或80 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C=180，而∠A=4∠B=∠C，则有∠B+4∠B+4∠B=180，或∠A=4∠B=4∠C，则有∠B+4∠B+∠B=180，解方程即可得到∠C的度数． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180，∠A=4∠B， ∴当∠A=∠C时， 即4∠B+4∠B+∠B=180， ∴∠B=20∴， ∴∠C=80， 当∠B=∠C时， 即∠B+4∠B+∠B=180， ∴∠B=30， ∴∠C=30， 综上所述：∠C的度数为30或80． 故选C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 　 10．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（　　） A．5 B．5或8 C． D．4或 【考点】等腰三角形的判定． 【专题】动点型． 【分析】没有指明等腰三角形的底边，所以需要分类讨论：AP=AC，AP=PC，AC=PC． 【解答】解：如图，∵在△ABC中，已知∠ACB=90，AB=10cm，AC=8cm， ∴由勾股定理，得BC==6cm． ①当AP=AC时，2t=8，则t=4； ②当AP=PC时，过点P作PD⊥AC于点D，则AD=CD，PD∥BC， ∴PD是△ABC的中位线， ∴点P是AB的中点， ∴2t=5，即t=； ③若AC=PC=8cm时，与PC＜AC矛盾，不和题意． 综上所述，t的值是4或； 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分类讨论，还要注意PC的取值范围． 　 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．等边三角形的边长为2，则它的周长为　6　． 【考点】等边三角形的性质． 【分析】由于等边三角形的三边相等，故能求出它的周长． 【解答】解：因为等边三角形的三边相等，所以周长为32=6．故答案为：6． 【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是利用了等边三角形的三边相等的性质． 　 12．使式子有意义的x的取值范围是　x≥0　． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：有意义的x的取值范围是x≥0． 故答案为：x≥0． 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 　 13．如图，若△ABE≌△ACF，AB=4，AE=2，则EC的长为　2　． 【考点】全等三角形的性质． 【分析】根据全等三角形的对应边相等求出AC的长，结合图形计算即可． 【解答】解：∵△ABE≌△ACF， ∴AC=AB=4， ∴EC=AC﹣AE=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 　 14．若=2，则x的值为　5　． 【考点】算术平方根． 【专题】计算题；实数． 【分析】利用算术平方根的定义计算即可求出x的值． 【解答】解：由=2，得到x﹣1=4， 解得：x=5． 故答案为：5． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 　 15．如图，在面积为4的等边△ABC的BC边上有一点D，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接BE．则四边形AEBD的面积是　4　． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】根据等边三角形的性质得到AE=AD，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60，于是得到∠EAB=∠DAC，推出△AEB≌△ADC，得到S△AEB=S△ADC，即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC与△ADE是等边三角形， ∴AE=AD，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60， ∴∠EAB=∠DAC， 在△AEB与△ADC中， ， ∴△AEB≌△ADC， ∴S△AEB=S△ADC， ∴四边形AEBD的面积=等边△ABC的面积=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，图形的面积的计算，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 　 16．若正数m的两个平方根a、b （a≠b）是方程3x+2y=2的一个解，则m的值为　4　． 【考点】二元一次方程的解；平方根． 【分析】根a、b （a≠b）是正数m的两个平方根，则a和b互为相反数，把x=﹣y代入3x+2y=2求得x，进而求得y的值，然后求得m． 【解答】解：当x=﹣y时，代入3x+2y=2，得3x﹣2x=2， 解得：x=2，则y=﹣2． 则m=22=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了二元一次方程的解以及平方根的性质，正确理解x=﹣y这一关系是关键． 　 17．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C=30，EF垂直平分AC于点E，交BC于点F．若FC=3，则BF=　6　． 【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】连接AF，先由三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出CF=AF，∠CAF=∠C=30，故可得出∠BAF的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AF， ∵∠B=∠C=30， ∴∠BAC=180﹣30﹣30=120． ∵EF垂直平分AC于点E，交BC于点F，FC=3， ∴CF=AF=3，∠CAF=∠C=30， ∴∠BAF=∠BAC﹣∠CAF=120﹣30=90， ∴BF=2AF=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 　 18．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．△ABC的面积为20，AB=12，BC=8，则DE的长为　2　． 【考点】角平分线的性质． 【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作DF⊥BC于F， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF=DE， ∴ABDE+BCDF=20，即12DE+8DF=20， ∴DF=DE=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 　 三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 19．计算：﹣|2﹣|﹣． 【考点】实数的运算． 【分析】先化简二次根式、绝对值，再进行计算即可． 【解答】解：原式=2﹣2++2 =2+． 【点评】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根、二次根式、绝对值等考点的运算． 　 20．解下列方程： （1）x2=9 （2）（x﹣1）3+8=0． 【考点】立方根；平方根． 【分析】（1）直接根据平方根的定义即可得出结论； （2）先移项，再由立方根的定义即可得出结论． 【解答】解：（1）∵（）32=9， ∴x=3； （2）∵移项得，（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2， ∴x=﹣1． 【点评】本题考查的是平方根及立方根，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键． 　 21．若a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2，求ba的值． 【考点】立方根；算术平方根． 【分析】根据a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2，可得a+7=9，2b+2=﹣8，求出a，b的值，即可解答． 【解答】解：由题意得：a+7=9，2b+2=﹣8， ∴a=2，b=5， ∴ba=（﹣5）2=25． 【点评】本题考查的是平方根、立方根及算术平方根的定义，解答此题时要注意一个数的平方根有两个，这是此题的易错点． 　 22．过直线l外一点P用直尺和圆规作直线l的垂线的方法是：以点P为圆心，大于点P到直线l的距离长为半径画弧，交直线l于点A、B；分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C．连结PC，则PC⊥AB． 请根据上述作图方法，用数学表达式补充完整下面的已知条件，并给出证明． 已知：如图，点P、C在直线l的两侧，点A、B在直线l上，且　PA=PB　，　AC=BC　． 求证：PC⊥AB． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】首先根据作图过程可得PA=PB，AC=BC，再根据线段垂直平分线的判定可得PA=PAB，则P在AB的垂直平分线上，由AC=BC，可得C在AB的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得PC是AB的垂直平分线． 【解答】已知：如图，点P、C在直线l的两侧，点A、B在直线l上，且 PA=PB，AC=BC， 证明：∵PA=PB， ∴P在AB的垂直平分线上， ∵AC=BC， ∴C在AB的垂直平分线上， ∴PC是AB的垂直平分线， ∴PC⊥AB． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的判定，以及已知直线的垂线的做法，关键是掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 　 23．我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … （1）表格中的三个值分别为：x=　0.2　；y=　20　；z=　200　； （2）用公式表示这一规律：当a=4100n（n为整数）时， =　210n　； （3）利用这一规律，解决下面的问题： 已知≈2.358，则①≈　0.2358　；②≈　23.58　． 【考点】算术平方根． 【专题】计算题；规律型． 【分析】（1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：x=0.2；y=20；z=200； （2）当a=4100n（n为整数）时， =210n； （3）若≈2.358，则①≈0.2358；②≈23.58． 故答案为：（1）0.2；20；200；（2）210n；（3）0.2358；23.58． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 　 24．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，∠B=30，连接AD． （1）若∠BAD=45，求证：△ACD为等腰三角形； （2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数． 【考点】等腰三角形的判定；直角三角形的性质． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C=30，根据三角形内角和定理求出∠BAC=120，求出∠CAD=∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）有两种情况：①当∠ADC=90时，当∠CAD=90时，求出即可． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠B=30， ∴∠B=∠C=30， ∴∠BAC=180﹣30﹣30=120， ∵∠BAD=45， ∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120﹣45=75，∠ADC=∠B+∠BAD=75， ∴∠ADC=∠CAD， ∴AC=CD， 即△ACD为等腰三角形； （2）解：有两种情况：①当∠ADC=90时， ∵∠B=30， ∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90﹣30=60； ②当∠CAD=90时，∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120﹣90=30； 即∠BAD的度数是60或30． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想． 　 25．如图，已知点A、C、E在同一直线上．从下面四个关系式中，取三个式子作为条件，第四个式子作为结论，构成一个真命题，并证明其正确： ①AC=CE，②AB=CD，③AB∥CD，④BC∥DE． 已知：　①②③　，求证：　④　．（只要填序号） 【考点】全等三角形的判定与性质；命题与定理． 【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠DCE，推出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠E，由平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】已知：①AC=CE，②AB=CD，③AB∥CD， 求证：④BC∥DE． 证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠DCE， 在△ABC与△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE， ∴∠ACB=∠E， ∴BC∥DE． 故答案为：①②③，④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，命题与定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 　 26．操作与实践：已知长方形纸片ABCD中，AD=3，AB=4． 操作一：如图①，任意画一条线段EF，将纸片沿EF折叠，使点B落到点B′的位置，EB′与CD交于点G．试说明重叠部分△EFG为等腰三角形； 操作二：如图②，将纸片沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点H．求△B′HC的周长． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）由矩形的性质可知DC∥AB，根据平行线的性质可知∠GFE=∠FEB，由翻折的性质可知∠GEF=∠BEF，从而得到∠FEB=∠BEF从而得到三角形EFG为等腰三角形； （2）先证明△ADH≌△CB′H，从而得到DH=DB′，然后将△B′HC的周长转化为三角形B′C与DC的和即可． 【解答】解：（1）由折叠的性质可知∠GEF=∠BEF． ∵DC∥AB， ∴∠GFE=∠FEB． ∴∠FEB=∠BEF． ∴EG=FG． ∴△EFG为等腰三角形． （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC． 由翻折的性质可知：BC=CB′，∠B′=∠B=90． ∴AD=CB′，∠D=∠B′． 在△ADH和△CB′H中，， ∴△ADH≌△CB′H． ∴B′H=DH． ∴△B′HC的周长=B′C+B′H+HC=BC+DH+HC=7． 【点评】本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质和判定，证得B′H=DH是解题的关键． 　 27．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE． （1）当∠BAD=60时，求∠CDE的度数； （2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系； （3）深入探究：若∠BAC≠90，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=60，由于AD=AE，于是得到∠ADE=60，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=75﹣45=30； （2）设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45+，于是得到结论； （3）设∠BAD=x，∠C=y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=180﹣2y，由∠BAD=x，于是得到∠DAE=y+x，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90， ∴∠B=∠C=45， ∵∠BAD=60， ∴∠DAE=30， ∵AD=AE， ∴∠AED=75， ∴∠CDE=∠AED=∠C=30； （2）设∠BAD=x， ∴∠CAD=90﹣x， ∵AE=AD， ∴∠AED=45+， ∴∠CDE=x； （3）设∠BAD=x，∠C=y， ∵AB=AC，∠C=y， ∴∠BAC=180﹣2y， ∵∠BAD=x， ∴∠DAE=y+x， ∴x． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 　 28．探索与运用： （1）基本图形：如图①，已知OC是∠AOB的角平分线，DE∥OB，分别交OA、OC于点D、E．求证：DE=OD； （2）在图②中找出这样的基本图形，并利用（1）中的规律解决这个问题：已知△ABC中，两个内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD+CE； （3）若将图②中两个内角的角平分线改为一个内角（如图③，∠ABC）、一个外角（∠ACF）和两个都是外角（如图④∠DBC、∠BCE）的角平分线，其它条件不变，则线段DE、BD、CE的数量关系分别是：图③为　DE=BD﹣CE　、图④为　DE=BD+CE　：并从中任选一个结论证明． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC，根据平行线的性质得到∠DEO=∠BOC，等量代换得到∠DEO=AOC，根据等腰三角形的判定即可得到结论； （2）根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．求证∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DOB=∠DBO，∠COE=∠BCO，即BD=DO，OE=CE，然后利用等量代换即可求出结论； （3）选③证明：由（1）中证明可得：DB=DO，EO=EC，根据线段的和差即可得到结论 【解答】证明：（1）∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC， ∵DE∥OB， ∴∠DEO=∠BOC， ∴∠DEO=AOC， ∴DE=OD； （2）∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴BD=DO，OE=CE， ∴DE=BD+CE； （3）图③：DE=BD﹣CE，图④：DE=BD+CE， 选③证明： 由（1）中证明可得：DB=DO，EO=EC， ∴DE=OD=OE=DB﹣CE． 故答案为：DE=BD﹣CE，DE=BD+CE． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．