八年级数学上学期期中试卷（含解析） 苏科版4

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江苏省盐城市东台市第二教育联盟2016-2017学年八年级（上）期中数学试卷 一．选择题： 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3 3．等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．12或15cm D．18cm或36cm 4．如图，给出下列四组条件： ①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF； ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，CD=3，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 7．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为（　　） A．25 B．12 C．7 D．5 8．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　） A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5 　 二．填空题： 10．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为　　度． 11．如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　　，使△AEF≌△BCD． 12．如图，直角三角形ABC中，点D是斜边AC上的中点，BD=3cm，则AC=　　cm． 13．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是24cm，则BC=　　cm． 14．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是　　． 15．如图，是44正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余12个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有　　个． 16．如图，△ABC中，∠BAC=110，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF=　　． 17．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为　　cm． 18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28，则顶角是　　． 19．如图，Rt△ABC，∠ACB=90，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为　　． 　 三、解答题（本大题共64分．19、20题每题6分，21-25每题8分，26题12分．解答时应写出必要的计算或说明过程） 20．（6分）如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求： （1）到公园两个出入口A、C的距离相等； （2）到公园两边围墙AB、AD的距离相等； 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹） 21．（6分）如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△ABC≌△BAD． 22．（8分）如图，点C、F在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．求证：∠ACF=∠DFE． 23．（8分）如图，若已知每一个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）△ABC的周长为　　，面积为　　； （2）在方格纸上画出一个格点三角形，使其与△ABC全等且有一个公共顶点B； （3）画△A1B1C1，使它与△ABC关于l对称． 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC=10cm，求△DCE的周长． 25．（8分）如图，点D在BC上，AB=15，AD=12，BD=9，AC=13，求△ABC的周长和面积． 26．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E （1）若∠A=40，求∠DCB的度数； （2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长． 27．（10分）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；并判断BE与CD的大小关系为：BE　　CD．（不需说明理由） （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离．已经测得∠ABC=45，∠CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． 　  2016-2017学年江苏省盐城市东台市第二教育联盟八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题： 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 　 2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3 【考点】勾股数． 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 　 3．等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．12或15cm D．18cm或36cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案． 【解答】解：（1）当3cm为腰时，因为3+3=6cm，不能构成三角形，故舍去； （2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长=6+6+3=15cm． 故选B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 　 4．如图，给出下列四组条件： ①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF； ③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E． 其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【考点】全等三角形的判定． 【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断． 【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF． 第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF． 第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF． 第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF． 所以有3组能证明△ABC≌△DEF． 故符合条件的有3组． 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 　 5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC=5，CD=3，则BD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90，进一步在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长即可． 【解答】解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合， ∴△ABD≌△CBD， ∴∠ADB=∠CDB=90， 在Rt△BCD中， BD===4． 故选：D． 【点评】本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用． 　 6．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的应用． 【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． 【解答】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC， 即∠QAE=∠PAE． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意． 　 7．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，C的边长为3，则B的边长为（　　） A．25 B．12 C．7 D．5 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【分析】证△DEF≌△FHG，推出DE=FH=4，根据勾股定理求出FG即可． 【解答】解：∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90， ∴∠EDF+∠DFE=90，∠DFE+∠GFH=90， ∴∠EDF=∠GFH， 在△DEF和△FHG中， ， ∴△DEF≌△FHG（AAS）， ∴DE=FH=4， ∵GH=3， ∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG==5． 故选D． 【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出FH的长． 　 8．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意， 得①或② 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答． 　 9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　） A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5 【考点】角平分线的性质． 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF=SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF=SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为60和35， ∴35+SRt△DEF=60﹣SRt△DGH， ∴SRt△DEF=． 故选D． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 　 二．填空题： 10．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为　100　度． 【考点】轴对称的性质． 【分析】根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠C=∠C′=30， ∴∠B=180﹣∠A﹣∠C =180﹣50﹣30 =100． 故应填100． 【点评】此题考查关于某直线对称的两图形全等，全等三角形的对应角相等以及三角形的内角和定理． 　 11．如图，A，D，F，B在同一直线上，AE=BC，且AE∥BC．添加一个条件　AF=DB　，使△AEF≌△BCD． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据全等三角形的判定推出即可，题目是一道开放型的题目，答案不唯一． 【解答】解：AF=DB， 理由是：∵AE∥BC， ∴∠A=∠B， 在△AEF和△BCD中 ∴△AEF≌△BCD（SAS）， 故答案为：AF=DB． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 　 12．如图，直角三角形ABC中，点D是斜边AC上的中点，BD=3cm，则AC=　6　cm． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【分析】题目给出了直角三角形斜边的中线的长度，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行计算可得答案． 【解答】解：∵点D是斜边AC上的中点，BD=3cm， ∴AC=2BD， =23cm， =6cm． 故答案为：6． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线；熟记直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是正确解答本题的关键． 　 13．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是24cm，则BC=　10　cm． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答． 【解答】解：∵C△DBC=24cm， ∴BD+DC+BC=24cm①， 又∵MN垂直平分AB， ∴AD=BD②， 将②代入①得：AD+DC+BC=24cm， 即AC+BC=24cm， 又∵AC=14cm， ∴BC=24﹣14=10cm． 故填10． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用． 　 14．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM=2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是　10　． 【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；正方形的性质． 【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解． 【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点， ∴连接BNBD，则直线AC即为BD的垂直平分线， ∴BN=ND∴DN+MN=BN+MN连接BM交AC于点P， ∵点 N为AC上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点N运动到点P时， BN+MN=BP+PM=BM， BN+MN的最小值为BM的长度， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=8，CM=8﹣2=6，BCM=90， ∴BM==10， ∴DN+MN的最小值是10． 故答案为10． 【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用． 　 15．如图，是44正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余12个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有　3　个． 【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：1，2，3位置即为符合题意的答案． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 　 16．如图，△ABC中，∠BAC=110，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF=　40　． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD=AD，CF=AF，推出∠B=∠BAD，∠C=∠FAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAD+∠FAC，即可求出答案． 【解答】解：∵E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC， ∴BD=AD，CF=AF， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠FAC， ∵∠BAC=110， ∴∠B+∠C=180﹣∠A=70， ∴∠BAD+∠FAC=70， ∴∠DAF=∠BAC﹣（∠BAD+∠FAC）=110﹣70=40， 故答案为：40． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角． 　 17．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为　3　cm． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE． 【解答】解：由勾股定理得，AB=10． 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90． ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得， DE2+BE2=BD2 即CD2+42=（8﹣CD）2， 解得：CD=3cm． 【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解． 　 18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28，则顶角是　62或118　． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论． 【解答】解：分两种情况： ①当高在三角形内部时（如图1）， ∵∠ABD=28， ∴顶角∠A=90﹣28=62； ②当高在三角形外部时（如图2）， ∵∠ABD=28， ∴顶角∠CAB=90+28=118． 故答案为：62或118． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出62一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 　 19．如图，Rt△ABC，∠ACB=90，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为　　． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90，CE=EF=，ED=AE=，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长． 【解答】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB=90， ∴∠ECF=45， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF=CE，∠EFC=45， ∴∠BFC=∠B′FC=135， ∴∠B′FD=90， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CE， ∴AC•BC=AB•CE， ∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE=， ∴EF=，ED=AE=， ∴DF=EF﹣ED=， ∴B′F=． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 　 三、解答题（本大题共64分．19、20题每题6分，21-25每题8分，26题12分．解答时应写出必要的计算或说明过程） 20．如图所示，要在公园（四边形ABCD）中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求： （1）到公园两个出入口A、C的距离相等； （2）到公园两边围墙AB、AD的距离相等； 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P．（不必写作法，但要保留作图痕迹） 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】首先作出AC的垂直平分线，再作出∠BAD的角平分线，两线的交点P为所求作的点． 【解答】解：如图所示，点P即为所求． 【点评】此题考查作图与应用设计作图，角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是根据要求明确所求点的位置是∠BAD的平分线和边AC的垂直平分线的交点． 　 21．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△ABC≌△BAD． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】根据AAS证明△ABC≌△BAD即可． 【解答】证明：在△ABC与△BAD中， ， ∴：△ABC≌△BAD（AAS）． 【点评】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 　 22．如图，点C、F在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．求证：∠ACF=∠DFE． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】若要证明：∠ACE=∠DFE，则可转化为证明两个角所在的三角形全等即可△ABC≌△DEF即可． 【解答】证明：∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACF=∠DFE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等． 　 23．如图，若已知每一个小正方形的边长为1，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． （1）△ABC的周长为　3++　，面积为　　； （2）在方格纸上画出一个格点三角形，使其与△ABC全等且有一个公共顶点B； （3）画△A1B1C1，使它与△ABC关于l对称． 【考点】作图-轴对称变换． 【分析】（1）先根据勾股定理求出AB及AC的长，进而可得出其周长；再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可； （2）根据全等三角形的性质画出△A′BC′即可； （3）根据对称的特点作出△A1B1C1即可． 【解答】解：（1）∵AB==，AC==， ∴△ABC的周长=3++=3++； △ABC的面积=31=； 故答案为：3++；； （2）、（3）如图所示． 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键． 　 24．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，若BC=10cm，求△DCE的周长． 【考点】等腰直角三角形；角平分线的性质． 【分析】根据等腰直角三角形和角平分线性质得出AD=DE，∠A=∠BED=90，∠ABD=∠EBD，根据AAS证△ABD≌△EBD，推出AB=BE，求出△DCE的周长=DE+EC+CD=BC，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD=DE，∠A=∠BED=90，∠ABD=∠EBD， 在△ABD和△EBD中， ，∴△ABD≌△EBD， ∴AB=BE， ∵AB=AC， ∴BE=AC， ∴△DCE的周长=DE+EC+CD=AD+EC+DC=AC+EC=BE+EC=BC=10cm， 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质的应用，解此题的关键是求出AD=DE，AC=BE，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 　 25．如图，点D在BC上，AB=15，AD=12，BD=9，AC=13，求△ABC的周长和面积． 【考点】勾股定理． 【分析】通过计算得出AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，∠ADB=90，由勾股定理求出CD，得出BC，即可求出△ABC的周长和面积． 【解答】解：∵AD2+BD2=122+92=225，AB2=152=225， ∴AD2+BD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90， ∴∠ADC=90， ∴CD==5， ∴BC=BD+CD=9+5=14， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+14+13=42， △ABC的面积=BC•AD=1412=84． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形周长和面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 　 26．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E （1）若∠A=40，求∠DCB的度数； （2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠DCA的度数，计算即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出BC+AB=16，计算即可． 【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=40， ∴∠ACB=∠B=70， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=40， ∴∠DCB=30； （2）∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC，EC=AE=5， △DCB的周长=BC+BD+DC=BC+BD+DA=BC+AB=16， 则△ABC的周长=AB+BC+AC=26． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 　 27．（10分）（2014•驻马店模拟）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；并判断BE与CD的大小关系为：BE　=　CD．（不需说明理由） （2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离．已经测得∠ABC=45，∠CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长． 【考点】全等三角形的应用． 【分析】（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形CAD与三角形EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）BE=CD，理由与（1）同理； （3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长． 【解答】解：（1）完成图形，如图所示： 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60， ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB， 在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD． 故答案是：=； （2）BE=CD，理由同（1）， ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90， ∴∠CAD=∠EAB， 在△CAD和△EAB中， ， ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90， 则AD=AB=100米，∠ABD=45， ∴BD=100米， 连接CD，则由（2）可得BE=CD， ∵∠ABC=45，∴∠DBC=90， 在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米， 根据勾股定理得：CD==100米， 则BE=CD=100米． 【点评】此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．