八年级数学下学期期中试卷（含解析） 新人教版46

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2015-2016学年福建省厦门市凤南中学等六校联考八年级（下）期中数学试卷 一．精心选一选（每小题4分，共40分） 1．如果有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90；③AB=BC；④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　） A．5 B．25 C． D．5或 5．下列命题中正确的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A．9 B．10 C． D． 7．下列根式中属最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是（　　） A．20 B．22 C．29 D．31 9．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（　　） A．26 B．13 C．30 D．6.5 10．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 　 二．细心填一填：（每小题4分，共24分） 11．已知a=，则代数式a2﹣1的值为______． 12．在平行四边形ABCD中，∠A=110，则∠D=______． 13．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为______． 14．已知菱形的两条对角线分别是5cm和8cm，它的面积是______． 15．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB=6，那么对角线AC+BD=______． 16．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=______． 　 三．耐心做一做（共86分） 17．． 18．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=13，BC=5cm，求AC的长． 19．如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）． 20．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．求证四边形AECF是平行四边形． 21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形． 22．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 23．已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求证：四边形DECF是菱形． 24．已知、、均为正整数，请适当选取a、b的值，并求、、所组成三角形的面积． 25．已知两数之积等于1，我们称这两个数互为倒数，如：2=1，=1，（ +）（﹣）=1，我们称2与；与， +与﹣互为倒数．若a+与a﹣互为倒数，求+的倒数． 26．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF； （2）若∠ABC=120，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG的度数． 27．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）设从出发起运动了x秒，且x＞2.5时，Q点的坐标； （2）当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？ 　  2015-2016学年福建省厦门市凤南中学等六校联考八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 　 一．精心选一选（每小题4分，共40分） 1．如果有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 　 2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】结合选项分别进行二次根式的除法运算、乘法运算、加减运算，然后选择正确选项． 【解答】解：A、=7，原式计算正确，故本选项错误； B、=，原式计算正确，故本选项错误； C、+=8，原式计算正确，故本选项错误； D、3﹣=2，原式计算错误，故本选项错误． 故选D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则． 　 3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　） ①AC⊥BD；②∠BAD=90；③AB=BC；④AC=BD． A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可． 【解答】解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确； ②▱ABCD中，∠BAD=90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误； ③▱ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确； D、▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误． 故选A． 【点评】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 　 4．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　） A．5 B．25 C． D．5或 【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【解答】解： 分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是=； ②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是=5； 即第三边长是5或， 故选D． 【点评】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方． 　 5．下列命题中正确的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是菱形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【分析】对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【解答】解：根据菱形的判定，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形， A、B、C错误，D正确． 故选D． 【点评】本题考查菱形的判定方法． 　 6．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A．9 B．10 C． D． 【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求． 【解答】解：如图（1），AB==； 如图（2），AB===10． 故选B． 【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据． 　 7．下列根式中属最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、无法化简，故本选项正确； B、=，故本选项错误； C、=2故本选项错误； D、=，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 　 8．如图，平行四边形ABCD中，AB=10，BC=6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF=7，则四边形EACF的周长是（　　） A．20 B．22 C．29 D．31 【分析】先由平行四边形ABCD，可得，AD=BC=6，CD=AB=10，再由E、F分别是AD、DC的中点，可得AE=AD=3，CF=CD=5，根据三角形中位线定理，可得AC=2EF=14，从而求出四边形EACF的周长． 【解答】解：已知平行四边形ABCD， ∴AD=BC=6，CD=AB=10， 又E、F分别是AD、DC的中点， ∴AE=AD=3，CF=CD=5， ∴由三角形中位线定理得： AC=2EF=27=14， ∴四边形EACF的周长为：EA+AC+CF+EF =3+14+5+7=29， 故选：C． 【点评】此题考查的知识点平行四边形性质和三角形中位线定理的应用，关键是由平行四边形性质得出AD=BC=6，CD=AB=10，再由再由E、F分别是AD、DC的中点，得出AE和CF，根据三角形中位线定理得出AC=2EF=14． 　 9．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（　　） A．26 B．13 C．30 D．6.5 【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长． 【解答】解：由勾股定理知，斜边c==13， ∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知， ∴斜边中线的长=13=6.5． 故选D． 【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半． 　 10．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2． 【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25． 故选C． 【点评】注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系． 　 二．细心填一填：（每小题4分，共24分） 11．已知a=，则代数式a2﹣1的值为　1　． 【分析】把a=代入a2﹣1直接计算即可． 【解答】解：当a=时， a2﹣1=（）2﹣1=1． 故本题答案为：1． 【点评】本题考查实数的运算和代数式的求值，主要考查运算能力． 　 12．在平行四边形ABCD中，∠A=110，则∠D=　70　． 【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D=180，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠D=180， ∵∠A=110， ∴∠D=70． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质推出∠A+∠D=180是解此题的关键． 　 13．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　4.8cm　． 【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm， ∴斜边为=10（cm）， 设斜边上的高为h， 则直角三角形的面积为68=10h， 解得：h=4.8cm， 这个直角三角形斜边上的高为4.8cm． 故答案为：4.8cm． 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键． 　 14．已知菱形的两条对角线分别是5cm和8cm，它的面积是　20cm2　． 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案． 【解答】解：由已知得，菱形的面积=58=20cm2． 故答案为20cm2． 【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，熟练掌握菱形的面积公式是解题关键． 　 15．在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB=6，那么对角线AC+BD=　22　． 【分析】平行四边形对角线互相平分，△ABO的周长即为对角线的一半与一边AB之和，有AB的长，对角线之和则可解． 【解答】解：如图， ∵△ABO的周长为17，AB=6， ∴OA+OB=11， ∴AC+BD=22． 故答案为22． 【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 　 16．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=　2.5　． 【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算． 【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣． 把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1 化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1， 等式两边相对照，因为结果不含， 所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5． 所以2a+b=3﹣0.5=2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键． 　 三．耐心做一做（共86分） 17．． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=3﹣2+3=+3． 【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 　 18．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=13，BC=5cm，求AC的长． 【分析】直接用勾股定理计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB=13，BC=5 ∵AB2=AC2+BC2 ∴AC= =12cm 【点评】此题是勾股定理，主要考查了直角三角形中勾股定理的应用，解本题的关键是分清直角边和斜边． 　 19．如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）． 【分析】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【解答】解：所画图形如下所示，其中点A即为所求． 【点评】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理． 　 20．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．求证四边形AECF是平行四边形． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AF∥CE，又AF=CE，所以四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ∴AF∥CE． 又∵AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 　 21．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE、BE，求证：四边形AEBD是矩形． 【分析】由点O为AB的中点，OE=OD，可得四边形AEBD是平行四边形，又由AB=AC，AD是△ABC的角平分线，根据三线合一的性质，可得∠ADB=90，则可证得四边形AEBD是矩形． 【解答】证明：∵点O为AB的中点， ∴OA=OB， ∵OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90， ∴四边形AEBD是矩形． 【点评】此题考查了矩形的判定与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 　 22．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？ 【分析】首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算． 【解答】解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米， 根据题意，得： （30﹣x）2﹣（x+10）2=202， 解得x=5． 即树的高度是10+5=15米． 【点评】能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键． 　 23．已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求证：四边形DECF是菱形． 【分析】因为DE∥AC，DF∥BC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可． 【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥BC ∴四边形DECF为平行四边形 ∴AC∥DE， ∴∠2=∠3 又∵CD平分∠ACB交AB于D， ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE=EC ∴DECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点评】本题考查菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分． 　 24．已知、、均为正整数，请适当选取a、b的值，并求、、所组成三角形的面积． 【分析】由勾股定理逆定理可知以、、组成的三角形是直角三角形，再根据、、均为正整数，可取可取a=9，b=16，最后由三角形面积公式计算可得． 【解答】解：∵（）2+（）2=（）2 ∴以、、组成的三角形是直角三角形， 又∵、、均为正整数， ∴可取a=9，b=16，则=5， ∴所组成三角形的面积为：34=6． 【点评】本题主要考查二次根式的应用及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理并据此判断出该三角形为直角三角形是关键． 　 25．已知两数之积等于1，我们称这两个数互为倒数，如：2=1，=1，（ +）（﹣）=1，我们称2与；与， +与﹣互为倒数．若a+与a﹣互为倒数，求+的倒数． 【分析】先利用倒数的定义得到a2﹣b=1，即b=a2﹣1，则=，利用二次根式有意义的条件得a=2，则b=3，所以+=4，然后利用倒数定义求解． 【解答】解：∵a+与a﹣互为倒数， ∴（a+）（a﹣）=1， ∴a2﹣b=1，即b=a2﹣1， ∴==， ∴﹣（a﹣2）2≤0 ∴a﹣2=0，解得a=2， ∴b=a2﹣1=4﹣1=3， ∴+=0+=4， 所以+的倒数为． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．利用二次根式有意义的条件确定a的值是解决问题的关键． 　 26．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF； （2）若∠ABC=120，FG∥CE，FG=CE，分别连结DB、DG（如图2），求∠BDG的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD．证出∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，得出∠CEF=∠F，即可得出结论； （2）证出四边形CEGF是菱形，得出EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60．得出△ECG是等边三角形．得出EG=CG，∠GEC=∠EGC=60，得出∠GEC=∠GCF，因此∠BEG=∠DCG，证出AB=BE．BE=DC，由SAS证明△BEG≌△DCG．得出BG=DG，∠1=∠2，求出∠BGD，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD． ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F， ∴CE=CF． （2）解：分别连接GB、GE、GC，如图2所示． ∵AB∥DC，∠ABC=120， ∴∠ECF=∠ABC=120， ∵FG∥CE且FG=CE， ∴四边形CEGF是平行四边形． 由（1）得CE=CF， ∴四边形CEGF是菱形， ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60． ∴△ECG是等边三角形． ∴EG=CG，∠GEC=∠EGC=60， ∴∠GEC=∠GCF， ∴∠BEG=∠DCG， 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE． 在□ABCD中，AB=DC． ∴BE=DC， 在△BEG和△DCG中，， ∴△BEG≌△DCG（SAS）． ∴BG=DG，∠BGE=∠CGD， ∴∠BGD=∠BGE+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠EGC=60． ∴∠BDG==60． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 　 27．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）设从出发起运动了x秒，且x＞2.5时，Q点的坐标； （2）当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？ 【分析】（1）首先得出Q点运动的距离进而表示出Q点坐标即可； （2）利用平行四边形的性质得出QC=OP，即可得出答案． 【解答】解：先求出各个点到终点需要的时间： ∵C（4，3）， ∴OC==5， ∵B（14，3）， ∴BC=14﹣4=10， （1）由题意可知，当x＞2.5时，Q点在CB上运动， 故横坐标为：2x﹣5+4=2x﹣1，纵坐标为3， 故Q点坐标为：（2x﹣1，3）； （2）∵C（4，3），B（14，3）， ∴CB∥OA， ∴CQ∥OP， 当CQ=OP时，四边形OPQC为平行四边形， 即2x﹣5=x， 解得：x=5． 【点评】此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．