八年级数学下学期第一次月考试卷（含解析） 新人教版11

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2015-2016学年陕西省西安七十中八年级（下）第一次月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点． A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高 2．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，4 3．如图，△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 4．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）海里． A．25 B．25 C．50 D．25 5．已知如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（　　） A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm 6．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60”，应该先假设这个三角形中（　　） A．没有一个内角小于60 B．每一个内角小于60 C．至多有一个内角不小于60 D．每一个内角都大于60 7．已知等边三角形的面积为4，则它的边长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 　 二．填空题（每题3分，共24分） 11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=　　　　． 12．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的顶角的度数为　　　　． 13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　． 14．如图所示，在△ABC中，∠B=90，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为　　　　． 15．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　　　　． 16．如图，在△ABC中，BC=6cm，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　　　cm． 17．如图，∠BAC=110，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则∠PAQ=　　　　． 18．如图的螺旋是由一系列的直角三角形组成，△OA0A1为第1个三角形，△OA1A2为第2个三角形，则第n个三角形的面积为　　　　． 　 三．解答题（共46分） 19．如图，在△ABC中，AB=AC，CE，BD分别是AB，AC上的高．求证：BD=CE． 20．如图，△ABC中，AB=AC，ED是腰AB的垂直平分线，∠DBC=30，求∠A的度数． 21．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 22．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G， （1）求证：BF=CG； （2）若AB=7，AC=3，求AF的长． 23．已知，如图，△ABC． （1）用尺规求作点P，使PA=PC，且点P到AC，BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AP，若∠C=60，AC=6，求点AP的长． 24．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数． 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长． 　  2015-2016学年陕西省西安七十中八年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一．选择题（每题3分，共30分） 1．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点． A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答． 【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选B． 　 2．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，， D．2，，4 【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、22+32=13≠42=16，故A选项错误； B、42+52=41≠62=36，故B选项错误； C、12+（）2=3=（）2，此三角形是直角三角形，故C选项正确； D、22+（）2=6≠42=16，故D选项错误． 故选：C． 　 3．如图，△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 【考点】含30度角的直角三角形；垂线段最短． 【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6．此题可解． 【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3； ∵△ABC中，∠C=90，AC=3，∠B=30， ∴AB=6， ∴AP的长不能大于6． 故选：D． 　 4．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是（　　）海里． A．25 B．25 C．50 D．25 【考点】等腰直角三角形；方向角． 【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90，再求出∠CBA=45，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据解直角三角形的知识解答． 【解答】解：根据题意， ∠1=∠2=30， ∵∠ACD=60， ∴∠ACB=30+60=90， ∴∠CBA=75﹣30=45， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵BC=500.5=25， ∴AC=BC=25（海里）． 故选D． 　 5．已知如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（　　） A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC，再根据两个三角形的周长求出AB，然后BC的值，从而得解． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD， ∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC， ∵△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm， ∴AB=60﹣38=22cm， ∴BC=38﹣22=16cm， 即△ABC的腰和底边长分别为22cm和16cm． 故选D． 　 6．用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60”，应该先假设这个三角形中（　　） A．没有一个内角小于60 B．每一个内角小于60 C．至多有一个内角不小于60 D．每一个内角都大于60 【考点】反证法． 【分析】由题意先假设三角形的三个角都小于60成立．然后推出不成立．得出选项． 【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c． 假设，a＜60，b＜60，c＜60， 则a+b+c＜60+60+60， 即，a+b+c＜180与三角形内角和定理a+b+c=180矛盾． 所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60． 故选B． 　 7．已知等边三角形的面积为4，则它的边长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】等边三角形的性质． 【分析】作出等边三角形边上高，利用60的正弦值可表示出高的值，利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D． 设AB=BC=AC=x， 则AD=ABsin∠B=x， 故边长为x的等边三角形的面积为xx=4， 解得：x=4， 故选：C． 　 8．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离． 【分析】过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF=PE，PG=PE，再根据平行线之间的距离的定义判断出EG的长即为AD、BC间的距离． 【解答】解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G， ∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB， ∴PF=PE， 同理可得PG=PE， ∵AD∥BC， ∴点F、P、G三点共线， ∴EG的长即为AD、BC间的距离， ∴平行线AD与BC间的距离为3+3=6， 故选D． 　 9．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质． 【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠BAC′=30，然后利用∠BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 【解答】解：根据题意，AC′=AC=1， ∵∠B′AB=15， ∴∠BAC′=45﹣15=30， ∴C′D=AC′tan30=， ∴S阴影=AC′•C′D=1=． 故选B． 　 10．如图，已知：∠MON=30，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　） A．6 B．12 C．32 D．64 【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60， ∴∠2=120， ∵∠MON=30， ∴∠1=180﹣120﹣30=30， 又∵∠3=60， ∴∠5=180﹣60﹣30=90， ∵∠MON=∠1=30， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60，∠13=60， ∵∠4=∠12=60， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30，∠5=∠8=90， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此类推：A6B6=32B1A2=32． 故选：C． 　 二．填空题（每题3分，共24分） 11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=4． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． 【分析】首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=CB，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长． 【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC， 在Rt△ABD中， ∵AD2+BD2=AB2， ∴AD==4， 故答案为：4． 　 12．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则它的顶角的度数为30或150． 【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质． 【分析】本题要分两种情况解答：当BD在三角形内部以及当BD在三角形外部．再根据等腰三角形的性质进行解答． 【解答】解：本题分两种情况讨论： （1）如图1，当BD在三角形内部时， ∵BD=AB，∠ADB=90， ∴∠A=30； （2）当如图2，BD在三角形外部时， ∵BD=AB，∠ADB=90， ∴∠DAB=30，∠ABC=180﹣∠DAB=30=150． 故答案是：30或150． 　 13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形． 【考点】命题与定理． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”． 　 14．如图所示，在△ABC中，∠B=90，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为7． 【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理． 【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90，AB=3，AC=5， ∴BC===4， ∵△ADE是△CDE翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7． 故答案为：7． 　 15．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是3：5． 【考点】角平分线的性质． 【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线， ∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2， ∴h1=h2， ∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=3：5， 故答案为：3：5． 　 16．如图，在△ABC中，BC=6cm，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是6cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为6cm． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=6cm． 　 17．如图，∠BAC=110，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC，则∠PAQ=40． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】先根据三角形内角和等于180求出∠B+∠C=70，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，所以∠PAB+∠QAC=70，再有条件∠BAC=110就可以求出 ∠PAQ的度数． 【解答】解：∵∠BAC=110， ∴∠B+∠C=180﹣110=70， ∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线， ∴AP=BP，AQ=QC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， ∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C（等边对等角）， ∴∠BAP+∠CAQ=70， ∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110﹣70=40． 故答案为：40． 　 18．如图的螺旋是由一系列的直角三角形组成，△OA0A1为第1个三角形，△OA1A2为第2个三角形，则第n个三角形的面积为． 【考点】勾股定理． 【分析】根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答． 【解答】解：根据勾股定理： 第一个三角形中：OA12=1+1，S1=11； 第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1，S2=OA11=1； 第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1，S3=OA21=1； … 第n个三角形中：Sn=1=． 故答案是：． 　 三．解答题（共46分） 19．如图，在△ABC中，AB=AC，CE，BD分别是AB，AC上的高．求证：BD=CE． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积． 【分析】利用面积法：根据S△ABC=•AB•CE=•AC•BD即可证明．也可以证明△EBC≌△CDB解决问题． 【解答】证明：证法一：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴S△ABC=•AB•CE=•AC•BD， ∵AB=AC ∴CE=BD． 证法二：∵AB=AC， ∴∠EBC=∠DCB， 在△BEC和△CDB中， ， ∴△EBC≌△CDB， ∴BD=CE． 　 20．如图，△ABC中，AB=AC，ED是腰AB的垂直平分线，∠DBC=30，求∠A的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】首先由ED是腰AB的垂直平分线，可得∠AD=BD，即可得∠A=∠ABD，然后设∠A=x，由AB=AC，三角形内角和定理，可得方程：x+x+30+x+30=180，解此方程即可求得答案． 【解答】解：∵ED是腰AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD， 设∠A=x， 则∠ABC=∠ABD+∠CBD=（x+30）， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=（x+30）， ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180， ∴x+x+30+x+30=180， 解得：x=40， 即∠A=40． 　 21．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证； （2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD=BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC ∴∠CAD+∠ACD=90， ∠CBE+∠ACD=90， ∴∠CAD=∠CBE， 在△ADC和△BDF中，， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC， ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AC=2AE， ∴BF=2AE； （2）解：∵△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=， 在Rt△CDF中，CF===2， ∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AF=CF=2， ∴AD=AF+DF=2+． 　 22．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G， （1）求证：BF=CG； （2）若AB=7，AC=3，求AF的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）连接EB、EC，只要证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG． （2）由RT△AEF≌RT△AEG得AF=AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF=CG，易知AB+AC=2AF由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，连接BE、EC， ∵ED⊥BC， D为BC中点， ∴BE=EC， ∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG， ∴FE=EG， 在Rt△BFE和Rt△CGE中， ， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）， ∴BF=CG． （2）解：在RT△AEF和RT△AEG中， ， ∴RT△AEF≌RT△AEG（HL）， ∴AF=AG， ∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）， ∴BF=CG， ∴AB+AC=AF+BF+AG﹣CG=2AF， ∴2AF=10， ∴AF=5． 　 23．已知，如图，△ABC． （1）用尺规求作点P，使PA=PC，且点P到AC，BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AP，若∠C=60，AC=6，求点AP的长． 【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）作AC的中垂线、∠ACB的角平分线，两线交点即为所求作点； （2）过点P作PQ⊥AC于点Q，由角平分线可得∠ACP=∠BCP=∠ACB=30，根据等腰三角形性质知CQ=AQ=AC=3，解直角三角形即可知PA=PC==2． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； （2）过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵PA=PC， ∴CQ=AQ=AC=3， 又∵∠ACP=∠BCP=∠ACB=30， ∴CP===2， ∴AP=2． 　 24．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心． 应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数． 探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理． 【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45，然后即可求出∠APB的度数； 探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解． 【解答】应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30， ∴∠PBD=∠PBC=30， ∴PD=DB=AB， 与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC， ②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC， ③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD， ∴∠APD=45， 故∠APB=90； 探究：解：∵BC=5，AB=3， ∴AC===4， ①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4﹣x）2， ∴x=，即PA=， ②若PA=PC，则PA=2， ③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能． 故PA=2或．