北师大版高中数学选修一《推理与证明》全部教案.doc

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(1)当容器有盖时，所需用料的面积： S=2πr2+2πrh=2πr2+=2πr2++≥3 当且仅当2πr2=,即r=,h==2r,取“=”号.故时用料最省. （2）当容器无盖时，所需用料面积：S=πr2+2πrh=πr2+=πr2++≥3 当且仅当πr2=,r=,h==r.即r=h时用料最省. 作业补充题： 1、设a>0,b>0,c>0且a+b+c=1,求证：8abc≤(1-a)(1-b)(1-c). 2、设a,b,c为一个不等边三角形的三边，求证：abc>(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b). 3、已知a, bÎR+，求证： 第四课时 分析法 【教学目标】 结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。 【教学重点难】理解分析法的思维过程和特点； 运用分析法证（解）题时，规范书写证明过程. 分析法：当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法。使用分析法证明时，要注意表述的规范性，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合使用，以分析法寻求证明的思路，而用综合法进行表述，完成证明过程。 例1、求证： 证：分析法： 综合表述： ∵ ∵21 < 25 只需证明： ∴ 展开得： ∴ 即： ∴ ∴ ∴ 即： 21 < 25（显然成立） ∴ ∴ 例2、设x > 0，y > 0，证明不等式： 证一：（分析法）所证不等式即： 即： 即： 只需证： ∵成立 ∴ 证二：（综合法）∵ ∵x > 0，y > 0， ∴ 例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0 展开得： ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 即证： 即： （显然）∴原式成立 证三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab = 例4、已知，求证：，并求等号成立的条件。 分析：不等式右边是常数，能否用平均值定理？应当可以。（找条件一正、二定、三相等） 如何把左边变形为和的形式？多项式的除法或配凑！ 左==（看到了希望！） = （已知） 当时，由解出当时等号成立。 例5、a>0,b>0,且a +b =1,求证:≤2. 证明: ≤2 (a +)+(b +)+2·≤4 ≤1 ab +≤1 ab +≤1ab≤ ∵a>0,b>0,且a +b =1,∴ab≤()2=成立，故 ≤2. 作业补充题 1.求证:. 2、若a,b>0,2c>a+b,求证: (1)c2>ab ；（2）c - 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。 反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立 例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：（1）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 （2）若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 证：设(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 则三式相乘： (1 - a)b•(1 - b)c•(1 - c)a > ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a•(1 - b)b•(1 - c)c≤ 与①矛盾. ∴(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于 二、放缩法： 在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。 例4、若a, b, c, dÎR+，求证： 证：记m = ∵a, b, c, dÎR+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立 例5、当 n > 2 时，求证： 证：∵n > 2 ∴ ，∴ n > 2时, 例6、求证： 证：∵ ∴ 思考：若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？ 例7、 求证： 证：∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0, 作业补充题 1、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 - a)c, (2 - b)a, (2 - c)b,不可能同时大于1 2、设试证明: 3、设求证：中至少有一个不小于 4、设x > 0, y > 0,, ，求证：a < b 5、证明： 6、 证明：lg9•lg11 < 1 7、 证明：若a > b > c, 则 W 第五课时 数学归纳法 【教学目标】 1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质． 2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想． 4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率． 5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神． 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解 【教学方法】类比启发探究式教学方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容 1． 创设问题情境，启动学生思维 (1) 不完全归纳法引例： 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的． (2) 完全归纳法对比引例： 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明． 在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法． 2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识 （从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．） (1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况． 3． 借助数学史料, 促使学生思辨 （在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？） 问题1 已知＝（n∈N）， (1)分别求；；；． (2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？ （培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．） 问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 问题3 , 当n∈N时，是否都为质数？ 验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合数． 第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣 （在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．） 实例：播放多米诺骨牌录像 关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下． 搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式： (1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n∈都成立． （布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．） 6． 引导学生概括, 形成科学方法 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n取第一个值时结论正确； (2) 假设当n＝k (k∈，k≥) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法． 第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识 （本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．） 例题 在数列{}中, ＝1, (n∈), 先计算，，的值，再推测通项的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用 （课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．） (1)用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝． (2)首项是，公比是q的等比数列的通项公式是． 9． 师生共同小结, 完成概括提升 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考： 用数学归纳法证明： (n∈)时, 其中第二步采用下面的证法： 设n＝k时等式成立, 即, 则当n＝k＋1时, ． 你认为上面的证明正确吗？为什么？ 教后反思： 1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机． 2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展． 3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向． 17 .